Номер 9.21, страница 81 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.21.

1) $2a^3 + 5a^2 + 2a;$

2) $a^3 - a^2 - 42a;$

3) $-6a^3 + 13a^2 - 6a;$

4) $-9a^3 + 12a^2 - 4a.$

1) Для разложения многочлена $2a^3 + 5a^2 + 2a$ на множители, сначала вынесем общий множитель $a$ за скобки: $a(2a^2 + 5a + 2)$. Затем разложим на множители квадратный трехчлен $2a^2 + 5a + 2$. Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2a^2 + 5a + 2 = 0$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$. Корни уравнения равны: $a_1 = \frac{-5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$ и $a_2 = \frac{-5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$. Разложение квадратного трехчлена имеет вид $2(a - a_1)(a - a_2) = 2(a - (-\frac{1}{2}))(a - (-2)) = 2(a + \frac{1}{2})(a + 2) = (2a + 1)(a + 2)$. Итоговое разложение всего выражения: $a(2a + 1)(a + 2)$. Ответ: $a(a+2)(2a+1)$.

2) В выражении $a^3 - a^2 - 42a$ вынесем общий множитель $a$ за скобки, получим $a(a^2 - a - 42)$. Далее разложим на множители квадратный трехчлен $a^2 - a - 42$. Для этого решим уравнение $a^2 - a - 42 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $1$, а их произведение равно $-42$. Этими числами являются $7$ и $-6$. Таким образом, $a_1=7$, $a_2=-6$. Разложение квадратного трехчлена: $(a-7)(a-(-6)) = (a-7)(a+6)$. Итоговое разложение всего выражения: $a(a-7)(a+6)$. Ответ: $a(a+6)(a-7)$.

3) Для разложения многочлена $-6a^3 + 13a^2 - 6a$ на множители, вынесем за скобки общий множитель $-a$: $-a(6a^2 - 13a + 6)$. Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $6a^2 - 13a + 6$. Найдем корни уравнения $6a^2 - 13a + 6 = 0$. Дискриминант $D = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 6 = 169 - 144 = 25$. Корни уравнения: $a_1 = \frac{13 + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{13 + 5}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$ и $a_2 = \frac{13 - \sqrt{25}}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$. Разложение квадратного трехчлена: $6(a - \frac{3}{2})(a - \frac{2}{3}) = 2 \cdot 3 \cdot (a - \frac{3}{2})(a - \frac{2}{3}) = (2(a - \frac{3}{2}))(3(a - \frac{2}{3})) = (2a - 3)(3a - 2)$. Итоговое разложение всего выражения: $-a(2a - 3)(3a - 2)$. Ответ: $-a(2a-3)(3a-2)$.

4) В выражении $-9a^3 + 12a^2 - 4a$ вынесем общий множитель $-a$ за скобки: $-a(9a^2 - 12a + 4)$. Выражение в скобках $9a^2 - 12a + 4$ является формулой квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. В нашем случае $x=3a$ и $y=2$. Проверяем: $(3a)^2 - 2 \cdot (3a) \cdot 2 + 2^2 = 9a^2 - 12a + 4$. Таким образом, $9a^2 - 12a + 4 = (3a - 2)^2$. Итоговое разложение всего выражения: $-a(3a - 2)^2$. Ответ: $-a(3a-2)^2$.