Страница 119 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Как направлены ветви параболы: если $a > 0$; $a < 0$?

2. Как расположена ось симметрии любой параболы?

3. Может ли ось симметрии параболы совпадать с осью $OY$; $OX$?

4. Может ли квадратное уравнение быть математической моделью задачи?

5. Чем является вспомогательная модель решения задачи с помощью квадратного уравнения?

1. Как направлены ветви параболы: если a > 0; a < 0?

Направление ветвей параболы, которая является графиком квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$, определяется знаком старшего коэффициента $a$. Если коэффициент $a$ — положительное число ($a > 0$), то ветви параболы направлены вверх. Если же коэффициент $a$ — отрицательное число ($a < 0$), то ветви параболы направлены вниз.

Ответ: если $a > 0$, ветви параболы направлены вверх; если $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Как расположена ось симметрии любой параболы?

Осью симметрии любой параболы, заданной уравнением $y = ax^2 + bx + c$, является вертикальная прямая, которая проходит через вершину параболы. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Соответственно, уравнение оси симметрии — это $x = -\frac{b}{2a}$. Эта прямая всегда параллельна оси ординат (оси OY).

Ответ: ось симметрии параболы — это вертикальная прямая с уравнением $x = -\frac{b}{2a}$, она проходит через вершину параболы и параллельна оси OY.

3. Может ли ось симметрии параболы совпадать с осью OY; OX?

Ось симметрии параболы $y = ax^2 + bx + c$ может совпадать с осью OY. Ось OY имеет уравнение $x = 0$. Ось симметрии параболы имеет уравнение $x = -\frac{b}{2a}$. Их совпадение возможно, если $-\frac{b}{2a} = 0$, что выполняется при $b = 0$. Таким образом, для функций вида $y = ax^2 + c$ ось симметрии совпадает с осью OY.

Ось симметрии параболы не может совпадать с осью OX. Ось OX — это горизонтальная прямая ($y = 0$), в то время как ось симметрии параболы $y = f(x)$ — это всегда вертикальная прямая ($x = \text{const}$). Вертикальная и горизонтальная прямые не могут совпадать.

Ответ: ось симметрии параболы может совпадать с осью OY (если $b=0$), но не может совпадать с осью OX.

4. Может ли квадратное уравнение быть математической моделью задачи?

Да, может. Математическая модель — это представление реальной задачи на языке математики. Квадратные уравнения часто служат моделями для решения задач в физике, геометрии, экономике и других областях. Например, расчет траектории полета снаряда, нахождение размеров участка земли с заданной площадью или определение точек безубыточности предприятия — все это примеры задач, которые могут быть сведены к решению квадратного уравнения.

Ответ: да, квадратное уравнение может быть математической моделью задачи, и это широко применяется в науке и технике.

5. Чем является вспомогательная модель решения задачи с помощью квадратного уравнения?

При решении задачи, математической моделью которой является квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$, в качестве вспомогательной модели выступает квадратичная функция $y = ax^2 + bx + c$ и ее график — парабола. Эта графическая модель помогает визуализировать задачу: корни уравнения соответствуют точкам пересечения параболы с осью абсцисс, а вершина параболы может указывать на искомое максимальное или минимальное значение (например, максимальная высота, минимальная стоимость). Анализ графика помогает лучше понять суть задачи и интерпретировать полученные решения.

Ответ: вспомогательной моделью является квадратичная функция $y = ax^2 + bx + c$ и ее график — парабола.