Страница 130 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15.7. Узнайте о росте одноклассников. Составьте вариационный ряд по этим данным и разбейте его на интервалы. Составьте интервальную таблицу частот и постройте гистограмму.

Поскольку задача является практической и требует сбора реальных данных (рост одноклассников), которые недоступны, для демонстрации ее решения будет использован смоделированный набор данных.

Узнайте о росте одноклассников.

Предположим, в результате опроса 25 учеников класса были получены следующие данные об их росте (в сантиметрах):

165, 172, 158, 168, 175, 162, 180, 166, 170, 164, 178, 169, 171, 160, 173, 167, 182, 159, 176, 163, 174, 168, 170, 161, 177.

Общий объем выборки (количество учеников) составляет $n = 25$.

Ответ: Собран гипотетический набор данных о росте 25 учеников.

Составьте вариационный ряд по этим данным и разбейте его на интервалы.

Вариационный ряд — это последовательность данных, упорядоченная по возрастанию. Для нашего набора данных вариационный ряд выглядит следующим образом:

158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 168, 169, 170, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 180, 182.

Далее, разобьем этот ряд на интервалы. Для этого необходимо определить их количество и ширину.

• Найдем размах выборки, то есть разницу между максимальным и минимальным значениями: $R = x_{max} - x_{min} = 182 - 158 = 24$ см.

• Определим оптимальное количество интервалов ($k$). Для этого можно использовать формулу Стерджеса: $k \approx 1 + 3.322 \cdot \log_{10}(n)$. Для нашей выборки из $n=25$ учеников: $k \approx 1 + 3.322 \cdot \log_{10}(25) \approx 1 + 3.322 \cdot 1.398 \approx 5.64$. Округлим полученное значение и выберем $k=5$ интервалов.

• Вычислим ширину каждого интервала ($h$): $h = R/k = 24/5 = 4.8$. Для удобства округлим ширину интервала до целого числа, например, $h=5$ см.

Теперь определим границы интервалов, начиная с минимального значения. Будем использовать полуинтервалы вида $[a, b)$, где левая граница включается, а правая — нет. Последний интервал будет включать обе границы, чтобы в него попало максимальное значение.

1. $[158; 163)$

2. $[163; 168)$

3. $[168; 173)$

4. $[173; 178)$

5. $[178; 183]$

Ответ: Составлен вариационный ряд (158, 159, ..., 182) и на его основе определены 5 интервалов группировки данных с шириной 5 см каждый.

Составьте интервальную таблицу частот и постройте гистограмму.

Теперь подсчитаем частоту — количество учеников, рост которых попадает в каждый из определенных интервалов. Результаты сведем в интервальную таблицу частот.

На основе этой таблицы построим гистограмму. Гистограмма — это столбчатая диаграмма, у которой основания столбцов — это интервалы значений, а высота столбцов соответствует частоте попадания в эти интервалы. Поскольку в нашем случае все интервалы имеют одинаковую ширину, высота столбцов будет прямо пропорциональна частотам.

Ответ: Составлена интервальная таблица частот и на ее основе построена гистограмма распределения роста учеников.

15.8*. Найдите значение числового выражения:

1) $\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} + \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} + \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} \cdot \sqrt{7 - 4\sqrt{3}}$;

2) $(\sqrt{5 - 2\sqrt{6}} + \sqrt{5 + 2\sqrt{6}}) \cdot \sqrt{3} + 3$.

1)

Для решения данного выражения $\sqrt{7-4\sqrt{3}} + \sqrt{7+4\sqrt{3}} + \sqrt{7+4\sqrt{3}} \cdot \sqrt{7-4\sqrt{3}}$ мы будем использовать формулу для извлечения корня из сложного радикала, которая основывается на формулах квадрата суммы и разности: $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.

Шаг 1: Упростим $\sqrt{7-4\sqrt{3}}$.

Представим подкоренное выражение $7-4\sqrt{3}$ в виде $(a-b)^2$. Для этого нам нужно найти такие $a$ и $b$, что $a^2+b^2=7$ и $2ab=4\sqrt{3}$, или $ab=2\sqrt{3}$. Методом подбора находим, что $a=2$ и $b=\sqrt{3}$ удовлетворяют этим условиям, так как $a^2+b^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 = 4+3=7$.

Таким образом, $7-4\sqrt{3} = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (2-\sqrt{3})^2$.

Следовательно, $\sqrt{7-4\sqrt{3}} = \sqrt{(2-\sqrt{3})^2} = |2-\sqrt{3}|$. Поскольку $2 > \sqrt{3}$ (т.к. $4 > 3$), то $2-\sqrt{3}$ — положительное число, и модуль можно опустить. Получаем $\sqrt{7-4\sqrt{3}} = 2-\sqrt{3}$.

Шаг 2: Упростим $\sqrt{7+4\sqrt{3}}$.

Аналогично, $7+4\sqrt{3} = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (2+\sqrt{3})^2$.

Тогда $\sqrt{7+4\sqrt{3}} = \sqrt{(2+\sqrt{3})^2} = |2+\sqrt{3}| = 2+\sqrt{3}$.

Шаг 3: Упростим произведение $\sqrt{7+4\sqrt{3}} \cdot \sqrt{7-4\sqrt{3}}$.

Используем свойство $\sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = \sqrt{xy}$ и формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

$\sqrt{(7+4\sqrt{3})(7-4\sqrt{3})} = \sqrt{7^2 - (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{49 - 16 \cdot 3} = \sqrt{49-48} = \sqrt{1} = 1$.

Шаг 4: Подставим упрощенные значения в исходное выражение.

$(2-\sqrt{3}) + (2+\sqrt{3}) + 1 = 2 - \sqrt{3} + 2 + \sqrt{3} + 1 = 4 + 1 = 5$.

Ответ: 5

2)

Рассмотрим выражение $(\sqrt{5-2\sqrt{6}} + \sqrt{5+2\sqrt{6}}) \cdot \sqrt{3} + 3$.

Шаг 1: Упростим выражение в скобках $\sqrt{5-2\sqrt{6}} + \sqrt{5+2\sqrt{6}}$.

Как и в предыдущем примере, используем формулу квадрата суммы/разности.

Для $\sqrt{5-2\sqrt{6}}$ ищем $a$ и $b$ такие, что $a^2+b^2=5$ и $2ab=2\sqrt{6}$, или $ab=\sqrt{6}$. Подходят числа $a=\sqrt{3}$ и $b=\sqrt{2}$, так как $a^2+b^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 = 3+2=5$.

Значит, $5-2\sqrt{6} = (\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{3}-\sqrt{2})^2$.

Тогда $\sqrt{5-2\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2} = |\sqrt{3}-\sqrt{2}|$. Так как $\sqrt{3} > \sqrt{2}$, то $\sqrt{3}-\sqrt{2} > 0$, и получаем $\sqrt{3}-\sqrt{2}$.

Аналогично, $5+2\sqrt{6} = (\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{3}+\sqrt{2})^2$.

Тогда $\sqrt{5+2\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2} = |\sqrt{3}+\sqrt{2}| = \sqrt{3}+\sqrt{2}$.

Шаг 2: Подставим упрощенные корни в скобки.

$(\sqrt{3}-\sqrt{2}) + (\sqrt{3}+\sqrt{2}) = \sqrt{3} - \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{2} = 2\sqrt{3}$.

Шаг 3: Подставим полученный результат в исходное выражение и вычислим.

$(2\sqrt{3}) \cdot \sqrt{3} + 3 = 2 \cdot (\sqrt{3})^2 + 3 = 2 \cdot 3 + 3 = 6 + 3 = 9$.

Ответ: 9

15.9. Найдите корни уравнения:

1) $x^2 - 2|x - 1| - 13 = 0;$

2) $x^2 - 3|x + 3| + 5 = 0;$

3) $4|x| + x^2 + 2x + 8 = 0.$

1) $x^2 - 2|x - 1| - 13 = 0$

Для решения этого уравнения необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от знака выражения под модулем.

Случай 1: $x - 1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$.

В этом случае $|x - 1| = x - 1$. Уравнение принимает вид:

$x^2 - 2(x - 1) - 13 = 0$

$x^2 - 2x + 2 - 13 = 0$

$x^2 - 2x - 11 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-11) = 4 + 44 = 48$.

Корни уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{48}}{2} = \frac{2 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 1 \pm 2\sqrt{3}$.

Получаем два корня: $x_1 = 1 + 2\sqrt{3}$ и $x_2 = 1 - 2\sqrt{3}$.

Проверим, удовлетворяют ли эти корни условию $x \ge 1$.

Корень $x_1 = 1 + 2\sqrt{3}$. Так как $2\sqrt{3} > 0$, то $1 + 2\sqrt{3} > 1$. Этот корень подходит.

Корень $x_2 = 1 - 2\sqrt{3}$. Так как $2\sqrt{3} \approx 3.46$, то $1 - 2\sqrt{3} < 1$. Этот корень не подходит.

Случай 2: $x - 1 < 0$, то есть $x < 1$.

В этом случае $|x - 1| = -(x - 1) = 1 - x$. Уравнение принимает вид:

$x^2 - 2(1 - x) - 13 = 0$

$x^2 - 2 + 2x - 13 = 0$

$x^2 + 2x - 15 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна -2, а произведение равно -15. Корни: $x_3 = -5$ и $x_4 = 3$.

Проверим, удовлетворяют ли эти корни условию $x < 1$.

Корень $x_3 = -5$. Так как $-5 < 1$, этот корень подходит.

Корень $x_4 = 3$. Так как $3 > 1$, этот корень не подходит.

Объединяя результаты из обоих случаев, получаем два корня уравнения.

Ответ: $-5; 1 + 2\sqrt{3}$.

2) $x^2 - 3|x + 3| + 5 = 0$

Рассмотрим два случая, раскрывая модуль.

Случай 1: $x + 3 \ge 0$, то есть $x \ge -3$.

В этом случае $|x + 3| = x + 3$. Уравнение принимает вид:

$x^2 - 3(x + 3) + 5 = 0$

$x^2 - 3x - 9 + 5 = 0$

$x^2 - 3x - 4 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно -4. Корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.

Проверим, удовлетворяют ли эти корни условию $x \ge -3$.

Корень $x_1 = 4$. Так как $4 \ge -3$, этот корень подходит.

Корень $x_2 = -1$. Так как $-1 \ge -3$, этот корень тоже подходит.

Случай 2: $x + 3 < 0$, то есть $x < -3$.

В этом случае $|x + 3| = -(x + 3) = -x - 3$. Уравнение принимает вид:

$x^2 - 3(-x - 3) + 5 = 0$

$x^2 + 3x + 9 + 5 = 0$

$x^2 + 3x + 14 = 0$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 9 - 56 = -47$.

Так как $D < 0$, действительных корней в этом случае нет.

Объединяя результаты, получаем два корня уравнения.

Ответ: $-1; 4$.

3) $4|x| + x^2 + 2x + 8 = 0$

Рассмотрим два случая в зависимости от знака $x$.

Случай 1: $x \ge 0$.

В этом случае $|x| = x$. Уравнение принимает вид:

$4x + x^2 + 2x + 8 = 0$

$x^2 + 6x + 8 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна -6, а произведение равно 8. Корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = -4$.

Проверим, удовлетворяют ли эти корни условию $x \ge 0$.

Корень $x_1 = -2$. Так как $-2 < 0$, этот корень не подходит.

Корень $x_2 = -4$. Так как $-4 < 0$, этот корень тоже не подходит.

В этом случае решений нет.

Случай 2: $x < 0$.

В этом случае $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:

$4(-x) + x^2 + 2x + 8 = 0$

$x^2 - 2x + 8 = 0$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 4 - 32 = -28$.

Так как $D < 0$, действительных корней в этом случае нет.

Поскольку ни в одном из случаев решений нет, уравнение не имеет корней.

Альтернативное рассуждение: преобразуем левую часть уравнения $x^2 + 2x + 8 + 4|x| = 0$.

Выделим полный квадрат: $x^2 + 2x + 8 = (x^2 + 2x + 1) + 7 = (x+1)^2 + 7$.

Так как $(x+1)^2 \ge 0$ для любого $x$, то $(x+1)^2 + 7 \ge 7$.

Выражение $4|x| \ge 0$ для любого $x$.

Следовательно, левая часть уравнения является суммой двух слагаемых: $(x+1)^2 + 7$ и $4|x|$. Первое слагаемое всегда не меньше 7, а второе не меньше 0. Их сумма всегда будет не меньше 7 и, следовательно, не может быть равна нулю.

$(x+1)^2 + 7 + 4|x| \ge 7 + 0 = 7$.

Таким образом, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.

15.10. Постройте функцию по данным, указанным в таблице 13.

Таблица 13

Для построения графика функции $y=x^2-2x$ по данным из таблицы, необходимо проанализировать функцию и использовать указанные точки для построения.

1. Функция: $y=x^2-2x$. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола.
2. Направление ветвей: Коэффициент при $x^2$ равен $1$ (положительное число), значит, ветви параболы направлены вверх.
3. Вершина параболы: Координаты вершины $(x_0, y_0)$ находятся по формулам:
$x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-2)}{2 \cdot 1} = 1$.
$y_0 = (1)^2 - 2(1) = 1 - 2 = -1$.
Вершина параболы находится в точке $(1, -1)$.
4. Точки из таблицы: В таблице приведены следующие пары координат $(x, y)$: $(-2, 8)$, $(-1, 3)$, $(-0.5, 1.25)$, $(0, 0)$, $(0.5, -0.75)$, $(1, -1)$, $(1.5, 0.75)$, $(2, 0)$, $(2.5, 1.25)$, $(3, 3)$. Эти точки являются опорными для построения графика.

На координатной плоскости OXY отметим все точки, указанные в таблице. Затем, зная, что график является параболой с вершиной в точке $(1, -1)$ и ветвями вверх, соединим отмеченные точки плавной кривой.

Ответ: График функции $y=x^2-2x$ построен на координатной плоскости. Это парабола с вершиной в точке $(1, -1)$, ветви которой направлены вверх. Красными точками на графике отмечены данные из таблицы.

15.11. На полигоне частот (рис. 27) представлены данные о распределении сотрудников банка по возрастным группам.

Рис. 27

1) Найдите относительную частоту (в %) возрастной категории сотрудников старше 40 лет.

2) Найдите относительную частоту (в %) возрастной категории сотрудников не старше 39 лет.

Для решения задачи воспользуемся данными, представленными на полигоне частот. Полигон показывает относительную частоту распределения сотрудников по пяти возрастным группам.

Определим по графику относительную частоту для каждой возрастной группы:

• 25–29 лет: 0,05
• 30–34 года: 0,10
• 35–39 лет: 0,35
• 40–44 года: 0,30
• 45–50 лет: 0,20

1) Найдите относительную частоту (в %) возрастной категории сотрудников старше 40 лет.
Категория "сотрудники старше 40 лет" включает в себя две возрастные группы: "40–44 года" и "45–50 лет". Чтобы найти общую относительную частоту для этой категории, нужно сложить относительные частоты этих двух групп.
Относительная частота группы 40–44 года: $0,3$.
Относительная частота группы 45–50 лет: $0,2$.
Суммарная относительная частота: $0,3 + 0,2 = 0,5$.
Чтобы выразить это значение в процентах, умножим его на 100:
$0,5 \times 100\% = 50\%$.
Ответ: 50%.

2) Найдите относительную частоту (в %) возрастной категории сотрудников не старше 39 лет.
Категория "сотрудники не старше 39 лет" (то есть до 39 лет включительно) включает в себя три возрастные группы: "25–29 лет", "30–34 года" и "35–39 лет". Чтобы найти общую относительную частоту, сложим относительные частоты этих трех групп.
Относительная частота группы 25–29 лет: $0,05$.
Относительная частота группы 30–34 года: $0,1$.
Относительная частота группы 35–39 лет: $0,35$.
Суммарная относительная частота: $0,05 + 0,1 + 0,35 = 0,5$.
Чтобы выразить это значение в процентах, умножим его на 100:
$0,5 \times 100\% = 50\%$.
Ответ: 50%.