Номер 15.9, страница 130 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15.9. Найдите корни уравнения:

1) $x^2 - 2|x - 1| - 13 = 0;$

2) $x^2 - 3|x + 3| + 5 = 0;$

3) $4|x| + x^2 + 2x + 8 = 0.$

1) $x^2 - 2|x - 1| - 13 = 0$

Для решения этого уравнения необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от знака выражения под модулем.

Случай 1: $x - 1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$.

В этом случае $|x - 1| = x - 1$. Уравнение принимает вид:

$x^2 - 2(x - 1) - 13 = 0$

$x^2 - 2x + 2 - 13 = 0$

$x^2 - 2x - 11 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-11) = 4 + 44 = 48$.

Корни уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{48}}{2} = \frac{2 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 1 \pm 2\sqrt{3}$.

Получаем два корня: $x_1 = 1 + 2\sqrt{3}$ и $x_2 = 1 - 2\sqrt{3}$.

Проверим, удовлетворяют ли эти корни условию $x \ge 1$.

Корень $x_1 = 1 + 2\sqrt{3}$. Так как $2\sqrt{3} > 0$, то $1 + 2\sqrt{3} > 1$. Этот корень подходит.

Корень $x_2 = 1 - 2\sqrt{3}$. Так как $2\sqrt{3} \approx 3.46$, то $1 - 2\sqrt{3} < 1$. Этот корень не подходит.

Случай 2: $x - 1 < 0$, то есть $x < 1$.

В этом случае $|x - 1| = -(x - 1) = 1 - x$. Уравнение принимает вид:

$x^2 - 2(1 - x) - 13 = 0$

$x^2 - 2 + 2x - 13 = 0$

$x^2 + 2x - 15 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна -2, а произведение равно -15. Корни: $x_3 = -5$ и $x_4 = 3$.

Проверим, удовлетворяют ли эти корни условию $x < 1$.

Корень $x_3 = -5$. Так как $-5 < 1$, этот корень подходит.

Корень $x_4 = 3$. Так как $3 > 1$, этот корень не подходит.

Объединяя результаты из обоих случаев, получаем два корня уравнения.

Ответ: $-5; 1 + 2\sqrt{3}$.

2) $x^2 - 3|x + 3| + 5 = 0$

Рассмотрим два случая, раскрывая модуль.

Случай 1: $x + 3 \ge 0$, то есть $x \ge -3$.

В этом случае $|x + 3| = x + 3$. Уравнение принимает вид:

$x^2 - 3(x + 3) + 5 = 0$

$x^2 - 3x - 9 + 5 = 0$

$x^2 - 3x - 4 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно -4. Корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.

Проверим, удовлетворяют ли эти корни условию $x \ge -3$.

Корень $x_1 = 4$. Так как $4 \ge -3$, этот корень подходит.

Корень $x_2 = -1$. Так как $-1 \ge -3$, этот корень тоже подходит.

Случай 2: $x + 3 < 0$, то есть $x < -3$.

В этом случае $|x + 3| = -(x + 3) = -x - 3$. Уравнение принимает вид:

$x^2 - 3(-x - 3) + 5 = 0$

$x^2 + 3x + 9 + 5 = 0$

$x^2 + 3x + 14 = 0$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 9 - 56 = -47$.

Так как $D < 0$, действительных корней в этом случае нет.

Объединяя результаты, получаем два корня уравнения.

Ответ: $-1; 4$.

3) $4|x| + x^2 + 2x + 8 = 0$

Рассмотрим два случая в зависимости от знака $x$.

Случай 1: $x \ge 0$.

В этом случае $|x| = x$. Уравнение принимает вид:

$4x + x^2 + 2x + 8 = 0$

$x^2 + 6x + 8 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна -6, а произведение равно 8. Корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = -4$.

Проверим, удовлетворяют ли эти корни условию $x \ge 0$.

Корень $x_1 = -2$. Так как $-2 < 0$, этот корень не подходит.

Корень $x_2 = -4$. Так как $-4 < 0$, этот корень тоже не подходит.

В этом случае решений нет.

Случай 2: $x < 0$.

В этом случае $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:

$4(-x) + x^2 + 2x + 8 = 0$

$x^2 - 2x + 8 = 0$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 4 - 32 = -28$.

Так как $D < 0$, действительных корней в этом случае нет.

Поскольку ни в одном из случаев решений нет, уравнение не имеет корней.

Альтернативное рассуждение: преобразуем левую часть уравнения $x^2 + 2x + 8 + 4|x| = 0$.

Выделим полный квадрат: $x^2 + 2x + 8 = (x^2 + 2x + 1) + 7 = (x+1)^2 + 7$.

Так как $(x+1)^2 \ge 0$ для любого $x$, то $(x+1)^2 + 7 \ge 7$.

Выражение $4|x| \ge 0$ для любого $x$.

Следовательно, левая часть уравнения является суммой двух слагаемых: $(x+1)^2 + 7$ и $4|x|$. Первое слагаемое всегда не меньше 7, а второе не меньше 0. Их сумма всегда будет не меньше 7 и, следовательно, не может быть равна нулю.

$(x+1)^2 + 7 + 4|x| \ge 7 + 0 = 7$.

Таким образом, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.