Вопросы, страница 132 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Могут ли накопленные частоты двух различных вариант быть равными?

2. Сколько учащихся средних классов имеют скорость чтения: 1) не большую, чем 180 слов в минуту; 2) не меньшую, чем 190 слов в минуту (табл. 14)?

1. Да, накопленные частоты двух различных вариант могут быть равными. Это происходит в том случае, когда частота одной или нескольких вариант, расположенных между ними в упорядоченном ряду, равна нулю.

Накопленная частота $C_i$ для варианты $x_i$ — это сумма частот всех вариант от первой до $i$-й включительно: $C_i = f_1 + f_2 + \dots + f_i$.

Рассмотрим две различные варианты $x_i$ и $x_j$, где $j > i$. Их накопленные частоты равны:

$C_i = \sum_{k=1}^{i} f_k$

$C_j = \sum_{k=1}^{j} f_k = (\sum_{k=1}^{i} f_k) + (\sum_{k=i+1}^{j} f_k) = C_i + \sum_{k=i+1}^{j} f_k$

Равенство $C_i = C_j$ будет выполняться только тогда, когда $\sum_{k=i+1}^{j} f_k = 0$. Поскольку частота $f_k$ не может быть отрицательной ($f_k \ge 0$), это означает, что все частоты от $f_{i+1}$ до $f_j$ должны быть равны нулю.

Пример:

Варианта | Частота ($f$) | Накопленная частота ($C$)
10 | 5 | 5
11 | 7 | 12
12 | 0 | 12
13 | 0 | 12
14 | 4 | 16

В этом примере накопленные частоты для вариант 11, 12 и 13 равны, так как частоты вариант 12 и 13 равны нулю.

Ответ: Да, могут, если частоты всех вариант, находящихся между этими двумя, равны нулю.

2. Для решения этой задачи необходимо использовать данные из таблицы 14. Предположим, что имеется в виду таблица из учебника "Алгебра. 9 класс" (Ю.Н. Макарычев и др.), к которому часто относятся подобные задачи.

Таблица 14. Результаты проверки скорости чтения учащихся средних классов

Скорость чтения | Частота | Накопленная частота
150-159 | 4 | 4
160-169 | 12 | 16
170-179 | 23 | 39
180-189 | 30 | 69
190-199 | 18 | 87
200-209 | 8 | 95
210-219 | 5 | 100
Всего | 100 |

1) не большую, чем 180 слов в минуту

Это означает скорость, которая меньше или равна 180 слов в минуту ($v \le 180$). Для сгруппированных данных принято считать, что это количество наблюдений во всех интервалах до того интервала, который содержит искомое значение, включительно. Значение 180 попадает в интервал "180-189". Накопленная частота для этого интервала включает всех учащихся со скоростью до 189 слов в минуту. Эта накопленная частота и является ответом.

Согласно таблице, накопленная частота для интервала "180-189" равна 69.

Ответ: 69 учащихся.

2) не меньшую, чем 190 слов в минуту

Это означает скорость, которая больше или равна 190 слов в минуту ($v \ge 190$). Чтобы найти это количество, нужно сложить частоты всех интервалов, начиная с "190-199".

Частота для "190-199": 18 учащихся.

Частота для "200-209": 8 учащихся.

Частота для "210-219": 5 учащихся.

Общее количество: $18 + 8 + 5 = 31$.

Альтернативный способ: из общего числа учащихся (100) вычесть тех, у кого скорость меньше 190 слов в минуту. Количество учащихся со скоростью меньше 190 — это накопленная частота для предыдущего интервала "180-189", то есть 69.$100 - 69 = 31$.

Ответ: 31 учащийся.