Номер 15.8, страница 130 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15.8*. Найдите значение числового выражения:

1) $\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} + \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} + \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} \cdot \sqrt{7 - 4\sqrt{3}}$;

2) $(\sqrt{5 - 2\sqrt{6}} + \sqrt{5 + 2\sqrt{6}}) \cdot \sqrt{3} + 3$.

1)

Для решения данного выражения $\sqrt{7-4\sqrt{3}} + \sqrt{7+4\sqrt{3}} + \sqrt{7+4\sqrt{3}} \cdot \sqrt{7-4\sqrt{3}}$ мы будем использовать формулу для извлечения корня из сложного радикала, которая основывается на формулах квадрата суммы и разности: $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.

Шаг 1: Упростим $\sqrt{7-4\sqrt{3}}$.

Представим подкоренное выражение $7-4\sqrt{3}$ в виде $(a-b)^2$. Для этого нам нужно найти такие $a$ и $b$, что $a^2+b^2=7$ и $2ab=4\sqrt{3}$, или $ab=2\sqrt{3}$. Методом подбора находим, что $a=2$ и $b=\sqrt{3}$ удовлетворяют этим условиям, так как $a^2+b^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 = 4+3=7$.

Таким образом, $7-4\sqrt{3} = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (2-\sqrt{3})^2$.

Следовательно, $\sqrt{7-4\sqrt{3}} = \sqrt{(2-\sqrt{3})^2} = |2-\sqrt{3}|$. Поскольку $2 > \sqrt{3}$ (т.к. $4 > 3$), то $2-\sqrt{3}$ — положительное число, и модуль можно опустить. Получаем $\sqrt{7-4\sqrt{3}} = 2-\sqrt{3}$.

Шаг 2: Упростим $\sqrt{7+4\sqrt{3}}$.

Аналогично, $7+4\sqrt{3} = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (2+\sqrt{3})^2$.

Тогда $\sqrt{7+4\sqrt{3}} = \sqrt{(2+\sqrt{3})^2} = |2+\sqrt{3}| = 2+\sqrt{3}$.

Шаг 3: Упростим произведение $\sqrt{7+4\sqrt{3}} \cdot \sqrt{7-4\sqrt{3}}$.

Используем свойство $\sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = \sqrt{xy}$ и формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

$\sqrt{(7+4\sqrt{3})(7-4\sqrt{3})} = \sqrt{7^2 - (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{49 - 16 \cdot 3} = \sqrt{49-48} = \sqrt{1} = 1$.

Шаг 4: Подставим упрощенные значения в исходное выражение.

$(2-\sqrt{3}) + (2+\sqrt{3}) + 1 = 2 - \sqrt{3} + 2 + \sqrt{3} + 1 = 4 + 1 = 5$.

Ответ: 5

2)

Рассмотрим выражение $(\sqrt{5-2\sqrt{6}} + \sqrt{5+2\sqrt{6}}) \cdot \sqrt{3} + 3$.

Шаг 1: Упростим выражение в скобках $\sqrt{5-2\sqrt{6}} + \sqrt{5+2\sqrt{6}}$.

Как и в предыдущем примере, используем формулу квадрата суммы/разности.

Для $\sqrt{5-2\sqrt{6}}$ ищем $a$ и $b$ такие, что $a^2+b^2=5$ и $2ab=2\sqrt{6}$, или $ab=\sqrt{6}$. Подходят числа $a=\sqrt{3}$ и $b=\sqrt{2}$, так как $a^2+b^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 = 3+2=5$.

Значит, $5-2\sqrt{6} = (\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{3}-\sqrt{2})^2$.

Тогда $\sqrt{5-2\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2} = |\sqrt{3}-\sqrt{2}|$. Так как $\sqrt{3} > \sqrt{2}$, то $\sqrt{3}-\sqrt{2} > 0$, и получаем $\sqrt{3}-\sqrt{2}$.

Аналогично, $5+2\sqrt{6} = (\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{3}+\sqrt{2})^2$.

Тогда $\sqrt{5+2\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2} = |\sqrt{3}+\sqrt{2}| = \sqrt{3}+\sqrt{2}$.

Шаг 2: Подставим упрощенные корни в скобки.

$(\sqrt{3}-\sqrt{2}) + (\sqrt{3}+\sqrt{2}) = \sqrt{3} - \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{2} = 2\sqrt{3}$.

Шаг 3: Подставим полученный результат в исходное выражение и вычислим.

$(2\sqrt{3}) \cdot \sqrt{3} + 3 = 2 \cdot (\sqrt{3})^2 + 3 = 2 \cdot 3 + 3 = 6 + 3 = 9$.

Ответ: 9