Страница 132 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Могут ли накопленные частоты двух различных вариант быть равными?

2. Сколько учащихся средних классов имеют скорость чтения: 1) не большую, чем 180 слов в минуту; 2) не меньшую, чем 190 слов в минуту (табл. 14)?

1. Да, накопленные частоты двух различных вариант могут быть равными. Это происходит в том случае, когда частота одной или нескольких вариант, расположенных между ними в упорядоченном ряду, равна нулю.

Накопленная частота $C_i$ для варианты $x_i$ — это сумма частот всех вариант от первой до $i$-й включительно: $C_i = f_1 + f_2 + \dots + f_i$.

Рассмотрим две различные варианты $x_i$ и $x_j$, где $j > i$. Их накопленные частоты равны:

$C_i = \sum_{k=1}^{i} f_k$

$C_j = \sum_{k=1}^{j} f_k = (\sum_{k=1}^{i} f_k) + (\sum_{k=i+1}^{j} f_k) = C_i + \sum_{k=i+1}^{j} f_k$

Равенство $C_i = C_j$ будет выполняться только тогда, когда $\sum_{k=i+1}^{j} f_k = 0$. Поскольку частота $f_k$ не может быть отрицательной ($f_k \ge 0$), это означает, что все частоты от $f_{i+1}$ до $f_j$ должны быть равны нулю.

Пример:

Варианта | Частота ($f$) | Накопленная частота ($C$)
10 | 5 | 5
11 | 7 | 12
12 | 0 | 12
13 | 0 | 12
14 | 4 | 16

В этом примере накопленные частоты для вариант 11, 12 и 13 равны, так как частоты вариант 12 и 13 равны нулю.

Ответ: Да, могут, если частоты всех вариант, находящихся между этими двумя, равны нулю.

2. Для решения этой задачи необходимо использовать данные из таблицы 14. Предположим, что имеется в виду таблица из учебника "Алгебра. 9 класс" (Ю.Н. Макарычев и др.), к которому часто относятся подобные задачи.

Таблица 14. Результаты проверки скорости чтения учащихся средних классов

Скорость чтения | Частота | Накопленная частота
150-159 | 4 | 4
160-169 | 12 | 16
170-179 | 23 | 39
180-189 | 30 | 69
190-199 | 18 | 87
200-209 | 8 | 95
210-219 | 5 | 100
Всего | 100 |

1) не большую, чем 180 слов в минуту

Это означает скорость, которая меньше или равна 180 слов в минуту ($v \le 180$). Для сгруппированных данных принято считать, что это количество наблюдений во всех интервалах до того интервала, который содержит искомое значение, включительно. Значение 180 попадает в интервал "180-189". Накопленная частота для этого интервала включает всех учащихся со скоростью до 189 слов в минуту. Эта накопленная частота и является ответом.

Согласно таблице, накопленная частота для интервала "180-189" равна 69.

Ответ: 69 учащихся.

2) не меньшую, чем 190 слов в минуту

Это означает скорость, которая больше или равна 190 слов в минуту ($v \ge 190$). Чтобы найти это количество, нужно сложить частоты всех интервалов, начиная с "190-199".

Частота для "190-199": 18 учащихся.

Частота для "200-209": 8 учащихся.

Частота для "210-219": 5 учащихся.

Общее количество: $18 + 8 + 5 = 31$.

Альтернативный способ: из общего числа учащихся (100) вычесть тех, у кого скорость меньше 190 слов в минуту. Количество учащихся со скоростью меньше 190 — это накопленная частота для предыдущего интервала "180-189", то есть 69.$100 - 69 = 31$.

Ответ: 31 учащийся.

16.1. 1) Для магазинов с торговой площадью $300 м^2$, $100 м^2$, $100 м^2$, $500 м^2$, $200 м^2$, $200 м^2$, $200 м^2$, $100 м^2$, $200 м^2$, $300 м^2$, $400 м^2$, $500 м^2$ найдите накопленную частоту для каждого значения площади.

2) Сколько магазинов с торговой площадью, не превышающей $300 м^2$?

3) С какой торговой площадью наибольшее число магазинов?

4) Какую часть от всех магазинов составляют магазины с торговой площадью $200 м^2$?

Для решения задачи сначала сгруппируем данные по значениям торговой площади и найдем их частоту (сколько раз каждое значение встречается в ряду).

Исходный ряд данных по площадям магазинов (в м²): 300, 100, 100, 500, 200, 200, 200, 100, 200, 300, 400, 500.
Всего магазинов: 12.

Сначала упорядочим ряд данных по возрастанию: 100, 100, 100, 200, 200, 200, 200, 300, 300, 400, 500, 500.

Теперь составим таблицу частот для каждого уникального значения площади:
Площадь 100 м²: встречается 3 раза.
Площадь 200 м²: встречается 4 раза.
Площадь 300 м²: встречается 2 раза.
Площадь 400 м²: встречается 1 раз.
Площадь 500 м²: встречается 2 раза.

1) Для магазинов с торговой площадью ... найдите накопленную частоту для каждого значения площади.
Накопленная частота для определенного значения — это сумма его собственной частоты и частот всех предыдущих (меньших) значений в упорядоченном ряду.
Для площади 100 м²: Накопленная частота равна ее собственной частоте, так как это наименьшее значение. Накопленная частота = 3.
Для площади 200 м²: Накопленная частота = (частота для 100 м²) + (частота для 200 м²) = $3 + 4 = 7$.
Для площади 300 м²: Накопленная частота = (накопленная частота для 200 м²) + (частота для 300 м²) = $7 + 2 = 9$.
Для площади 400 м²: Накопленная частота = (накопленная частота для 300 м²) + (частота для 400 м²) = $9 + 1 = 10$.
Для площади 500 м²: Накопленная частота = (накопленная частота для 400 м²) + (частота для 500 м²) = $10 + 2 = 12$. Последнее значение накопленной частоты всегда равно общему числу данных.
Ответ: Накопленные частоты для значений 100 м², 200 м², 300 м², 400 м², 500 м² равны соответственно 3, 7, 9, 10, 12.

2) Сколько магазинов с торговой площадью, не превышающей 300 м²?
Это означает, что нам нужно найти количество магазинов с площадью 100 м², 200 м² и 300 м². Это значение равно накопленной частоте для значения 300 м².
Количество магазинов = (число магазинов с площадью 100 м²) + (число магазинов с площадью 200 м²) + (число магазинов с площадью 300 м²) = $3 + 4 + 2 = 9$.
Ответ: 9 магазинов.

3) С какой торговой площадью наибольшее число магазинов?
Необходимо найти значение площади с наибольшей частотой (моду ряда). Сравним частоты для каждой площади:
Частота для 100 м²: 3
Частота для 200 м²: 4
Частота для 300 м²: 2
Частота для 400 м²: 1
Частота для 500 м²: 2
Наибольшая частота равна 4, и она соответствует торговой площади 200 м².
Ответ: 200 м².

4) Какую часть от всех магазинов составляют магазины с торговой площадью 200 м²?
Чтобы найти эту часть (относительную частоту), нужно разделить количество магазинов с площадью 200 м² на общее количество магазинов.
Количество магазинов с площадью 200 м² равно 4.
Общее количество магазинов равно 12.
Искомая часть = $\frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

16.2. 1) Для школьных спортивных площадок площадью $8000 \text{ м}^2$, $4800 \text{ м}^2$, $4800 \text{ м}^2$, $7600 \text{ м}^2$, $6800 \text{ м}^2$, $6800 \text{ м}^2$, $6800 \text{ м}^2$, $6800 \text{ м}^2$, $4800 \text{ м}^2$, $8000 \text{ м}^2$, $4800 \text{ м}^2$, $6000 \text{ м}^2$ найдите накопленную частоту для каждого значения площади.

2) Сколько школьных спортивных площадок площадью, не превышающей $6000 \text{ м}^2$?

3) С какой площадью наибольшее число спортивных площадок?

4) Какую часть от всех школьных спортивных площадок составляют площадки площадью $4800 \text{ м}^2$?

Для решения задачи сначала упорядочим исходный ряд данных по возрастанию и определим частоту для каждого значения площади.

Исходный ряд данных (площади в $ \text{м}^2 $): 8000, 4800, 4800, 7600, 6800, 6800, 6800, 6800, 4800, 8000, 4800, 6000.

Всего в ряду 12 значений.

Упорядоченный ряд: 4800, 4800, 4800, 4800, 6000, 6800, 6800, 6800, 6800, 7600, 8000, 8000.

Составим частотную таблицу:

Площадь, $ \text{м}^2 $: 4800, Частота: 4
Площадь, $ \text{м}^2 $: 6000, Частота: 1
Площадь, $ \text{м}^2 $: 6800, Частота: 4
Площадь, $ \text{м}^2 $: 7600, Частота: 1
Площадь, $ \text{м}^2 $: 8000, Частота: 2

1) Для школьных спортивных площадок площадью 8000 м², 4800 м², 4800 м², 7600 м², 6800 м², 6800 м², 6800 м², 6800 м², 4800 м², 8000 м², 4800 м², 6000 м² найдите накопленную частоту для каждого значения площади.

Накопленная частота для каждого значения — это сумма его частоты и частот всех предыдущих значений в упорядоченном ряду. Рассчитаем накопленные частоты на основе составленной частотной таблицы.

Для площади $4800 \text{ м}^2$: накопленная частота равна ее собственной частоте, то есть 4.
Для площади $6000 \text{ м}^2$: накопленная частота равна $4 (\text{для } 4800) + 1 (\text{для } 6000) = 5$.
Для площади $6800 \text{ м}^2$: накопленная частота равна $5 (\text{накопленная до } 6000) + 4 (\text{для } 6800) = 9$.
Для площади $7600 \text{ м}^2$: накопленная частота равна $9 (\text{накопленная до } 6800) + 1 (\text{для } 7600) = 10$.
Для площади $8000 \text{ м}^2$: накопленная частота равна $10 (\text{накопленная до } 7600) + 2 (\text{для } 8000) = 12$.

Ответ: Накопленные частоты для значений площади: $4800 \text{ м}^2$ - 4; $6000 \text{ м}^2$ - 5; $6800 \text{ м}^2$ - 9; $7600 \text{ м}^2$ - 10; $8000 \text{ м}^2$ - 12.

2) Сколько школьных спортивных площадок площадью, не превышающей 6000 м²?

Площадь, не превышающая $6000 \text{ м}^2$, означает площадь, которая меньше или равна $6000 \text{ м}^2$. В нашем ряду это площадки с площадью $4800 \text{ м}^2$ и $6000 \text{ м}^2$.

Количество площадок с площадью $4800 \text{ м}^2$ равно 4.

Количество площадок с площадью $6000 \text{ м}^2$ равно 1.

Общее количество таких площадок: $4 + 1 = 5$. Это значение также соответствует накопленной частоте для $6000 \text{ м}^2$.

Ответ: 5 школьных спортивных площадок.

3) С какой площадью наибольшее число спортивных площадок?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно найти значение (площадь) с наибольшей частотой в нашем ряду данных (моду ряда).

Частота для $4800 \text{ м}^2$ равна 4.
Частота для $6000 \text{ м}^2$ равна 1.
Частота для $6800 \text{ м}^2$ равна 4.
Частота для $7600 \text{ м}^2$ равна 1.
Частота для $8000 \text{ м}^2$ равна 2.

Наибольшая частота равна 4. Эта частота соответствует двум значениям площади: $4800 \text{ м}^2$ и $6800 \text{ м}^2$.

Ответ: Наибольшее число спортивных площадок имеют площадь $4800 \text{ м}^2$ и $6800 \text{ м}^2$.

4) Какую часть от всех школьных спортивных площадок составляют площадки площадью 4800 м²?

Чтобы найти, какую часть составляют площадки определенной площади, нужно разделить их количество на общее число площадок. Это называется относительной частотой.

Количество площадок с площадью $4800 \text{ м}^2$ равно 4.

Общее количество площадок равно 12.

Искомая часть (относительная частота) равна: $ \frac{4}{12} = \frac{1}{3} $.

Ответ: Площадки площадью $4800 \text{ м}^2$ составляют $ \frac{1}{3} $ от всех школьных спортивных площадок.

16.3. 1) Заполните таблицу 16.

Таблица 16

Урожайность (ц/га): 10—13, 13—16, 16—19, 19—22, 22—25, 25—28

Число хозяйств: 5, 7, 12, 16, 6, 4

Накопленная частота:

2) У скольких хозяйств урожайность зерновых составила не более:

а) 16 ц/га; б) 25 ц/га?

3) У скольких хозяйств урожайность зерновых была наибольшей, наименьшей?

4) Какова урожайность большинства хозяйств?

1) Заполните таблицу 16.

Для заполнения строки "Накопленная частота" необходимо последовательно суммировать значения из строки "Число хозяйств". Накопленная частота для каждого интервала показывает общее число хозяйств, у которых урожайность не превышает верхнюю границу данного интервала.

Расчет накопленных частот:

• Для интервала 10–13 ц/га: накопленная частота равна числу хозяйств в этом интервале, то есть 5.

• Для интервала 13–16 ц/га: $5 + 7 = 12$.

• Для интервала 16–19 ц/га: $12 + 12 = 24$.

• Для интервала 19–22 ц/га: $24 + 16 = 40$.

• Для интервала 22–25 ц/га: $40 + 6 = 46$.

• Для интервала 25–28 ц/га: $46 + 4 = 50$.

Последнее значение накопленной частоты (50) равно общему числу хозяйств ($5 + 7 + 12 + 16 + 6 + 4 = 50$), что подтверждает верность расчетов.

Ответ:

2) У скольких хозяйств урожайность зерновых составила не более: a) 16 ц/га; б) 25 ц/га?

Для ответа на этот вопрос используем накопленные частоты из заполненной таблицы.

а) не более 16 ц/га: Нам нужно найти число хозяйств с урожайностью в интервалах "10–13" и "13–16". Это значение соответствует накопленной частоте для интервала "13–16", которая равна 12. Проверка: $5 + 7 = 12$ хозяйств.

б) не более 25 ц/га: Нам нужно найти число хозяйств с урожайностью в интервалах от "10–13" до "22–25". Это значение соответствует накопленной частоте для интервала "22–25", которая равна 46. Проверка: $5 + 7 + 12 + 16 + 6 = 46$ хозяйств.

Ответ: а) у 12 хозяйств; б) у 46 хозяйств.

3) У скольких хозяйств урожайность зерновых была наибольшей, наименьшей?

Наименьшая урожайность соответствует первому интервалу "10–13 ц/га". Согласно таблице, в эту группу входят 5 хозяйств.

Наибольшая урожайность соответствует последнему интервалу "25–28 ц/га". В эту группу входят 4 хозяйства.

Ответ: Наибольшая урожайность (в диапазоне 25–28 ц/га) была у 4 хозяйств, а наименьшая (в диапазоне 10–13 ц/га) — у 5 хозяйств.

4) Какова урожайность большинства хозяйств?

Урожайность большинства хозяйств соответствует модальному интервалу — интервалу с наибольшим числом хозяйств (наибольшей частотой).

Из строки "Число хозяйств" (5, 7, 12, 16, 6, 4) видно, что наибольшая частота — 16. Этот показатель соответствует интервалу урожайности "19–22 ц/га".

Ответ: Урожайность большинства хозяйств находится в диапазоне от 19 до 22 ц/га.