Страница 134 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16.7. Решите уравнение:

1) $(x - 2)^3 + 13 = 7x + x^3 - 6x^2$;

2) $(3 - x)^3 + 17 = 9x^2 - (x^3 + 10).

1) $(x - 2)^3 + 13 = 7x + x^3 - 6x^2$

Для решения данного уравнения сначала раскроем скобки в левой части, используя формулу куба разности $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

$(x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 - 2^3) + 13 = 7x + x^3 - 6x^2$

Выполним вычисления:

$x^3 - 6x^2 + 12x - 8 + 13 = 7x + x^3 - 6x^2$

Упростим левую часть уравнения, сложив свободные члены:

$x^3 - 6x^2 + 12x + 5 = 7x + x^3 - 6x^2$

Теперь перенесем все слагаемые из правой части в левую с противоположным знаком, чтобы собрать все члены уравнения с одной стороны:

$x^3 - 6x^2 + 12x + 5 - 7x - x^3 + 6x^2 = 0$

Приведем подобные слагаемые. Сгруппируем члены с одинаковыми степенями $x$:

$(x^3 - x^3) + (-6x^2 + 6x^2) + (12x - 7x) + 5 = 0$

После сокращения подобных слагаемых получаем:

$0 + 0 + 5x + 5 = 0$

$5x + 5 = 0$

Решим полученное линейное уравнение:

$5x = -5$

$x = \frac{-5}{5}$

$x = -1$

Ответ: -1.

2) $(3 - x)^3 + 17 = 9x^2 - (x^3 + 10)$

Сначала раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части используем формулу куба разности $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$. В правой части просто сменим знаки у слагаемых в скобках.

$(3^3 - 3 \cdot 3^2 \cdot x + 3 \cdot 3 \cdot x^2 - x^3) + 17 = 9x^2 - x^3 - 10$

Выполним вычисления в левой части:

$(27 - 27x + 9x^2 - x^3) + 17 = 9x^2 - x^3 - 10$

Упростим левую часть, сложив свободные члены:

$44 - 27x + 9x^2 - x^3 = 9x^2 - x^3 - 10$

Перенесем все слагаемые из правой части в левую с противоположным знаком:

$44 - 27x + 9x^2 - x^3 - 9x^2 + x^3 + 10 = 0$

Приведем подобные слагаемые. Сгруппируем члены с одинаковыми степенями $x$ и свободные члены:

$(-x^3 + x^3) + (9x^2 - 9x^2) - 27x + (44 + 10) = 0$

После сокращения подобных слагаемых получаем:

$0 + 0 - 27x + 54 = 0$

$-27x + 54 = 0$

Решим полученное линейное уравнение:

$-27x = -54$

$x = \frac{-54}{-27}$

$x = 2$

Ответ: 2.

16.8. Один тракторист может вспахать поле на 24 часа быстрее, чем другой тракторист. Если это поле они будут пахать вместе, то работу выполнят за 35 часов. Сколько времени потребуется каждому из них для вспашки поля?

Пусть время, за которое первый тракторист может вспахать поле в одиночку, равно $x$ часов. Поскольку он вспахивает поле на 24 часа быстрее второго, время второго тракториста на ту же работу составит $x + 24$ часов.

Производительность труда (скорость выполнения работы) первого тракториста равна $\frac{1}{x}$ поля в час, а производительность второго — $\frac{1}{x+24}$ поля в час.

При совместной работе их производительности складываются. Общая производительность составляет $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+24}$ поля в час.

Известно, что всю работу (вспашку одного поля) они выполняют вместе за 35 часов. Составим уравнение, исходя из формулы Работа = Производительность × Время:

$(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+24}) \cdot 35 = 1$

Разделим обе части уравнения на 35:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+24} = \frac{1}{35}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю:

$\frac{x+24+x}{x(x+24)} = \frac{1}{35}$

$\frac{2x+24}{x^2+24x} = \frac{1}{35}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение), чтобы избавиться от дробей:

$35 \cdot (2x+24) = 1 \cdot (x^2+24x)$

$70x + 840 = x^2 + 24x$

Перенесем все слагаемые в одну часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 24x - 70x - 840 = 0$

$x^2 - 46x - 840 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-46)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-840) = 2116 + 3360 = 5476$

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{5476} = 74$

$x_1 = \frac{-(-46) + 74}{2 \cdot 1} = \frac{46 + 74}{2} = \frac{120}{2} = 60$

$x_2 = \frac{-(-46) - 74}{2 \cdot 1} = \frac{46 - 74}{2} = \frac{-28}{2} = -14$

Поскольку время не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -14$ не имеет физического смысла и не является решением задачи.

Таким образом, время, необходимое первому трактористу для вспашки поля, составляет $x = 60$ часов.

Время, необходимое второму трактористу, составляет $x + 24 = 60 + 24 = 84$ часа.

Ответ: первому трактористу для вспашки поля требуется 60 часов, а второму — 84 часа.

16.9. Решите неравенство:

1) $(x-2)^2 < 9$;

2) $(x+3)^2 > 4$;

3) $| |x| - 2 | \le 4$;

4) $| |x| - 6 | < 4$.

1) Дано неравенство $(x-2)^2 < 9$. Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем извлечь квадратный корень из обеих частей. Важно помнить, что $\sqrt{a^2} = |a|$. Применяя это правило, получаем:
$\sqrt{(x-2)^2} < \sqrt{9}$
$|x-2| < 3$
Неравенство вида $|f(x)| < c$ (где $c>0$) равносильно двойному неравенству $-c < f(x) < c$. В нашем случае это:
$-3 < x-2 < 3$
Чтобы найти $x$, прибавим 2 ко всем трём частям неравенства:
$-3 + 2 < x < 3 + 2$
$-1 < x < 5$
Таким образом, решением является интервал.
Ответ: $x \in (-1; 5)$.

2) Дано неравенство $(x+3)^2 > 4$. Аналогично первому пункту, извлечем квадратный корень из обеих частей:
$\sqrt{(x+3)^2} > \sqrt{4}$
$|x+3| > 2$
Неравенство вида $|f(x)| > c$ (где $c>0$) равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) > c$ или $f(x) < -c$. В нашем случае это:
$\left[ \begin{gathered} x+3 > 2 \\ x+3 < -2 \end{gathered} \right.$
Решим каждое неравенство отдельно:
1) $x+3 > 2 \implies x > 2 - 3 \implies x > -1$
2) $x+3 < -2 \implies x < -2 - 3 \implies x < -5$
Объединяя полученные решения, получаем множество.
Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (-1; +\infty)$.

3) Дано неравенство $||x| - 2| \le 4$. Сначала раскроем внешний модуль. Неравенство вида $|f(x)| \le c$ (где $c \ge 0$) равносильно двойному неравенству $-c \le f(x) \le c$. Применим это правило:
$-4 \le |x| - 2 \le 4$
Прибавим 2 ко всем частям двойного неравенства:
$-4 + 2 \le |x| \le 4 + 2$
$-2 \le |x| \le 6$
Это двойное неравенство эквивалентно системе из двух неравенств:
$\begin{cases} |x| \ge -2 \\ |x| \le 6 \end{cases}$
Первое неравенство, $|x| \ge -2$, выполняется для любого действительного числа $x$, так как модуль любого числа всегда неотрицателен, а значит, больше или равен -2.
Второе неравенство, $|x| \le 6$, равносильно двойному неравенству $-6 \le x \le 6$.
Решением системы является пересечение решений обоих неравенств, то есть $x \in [-6; 6]$.
Ответ: $x \in [-6; 6]$.

4) Дано неравенство $||x| - 6| < 4$. Раскроем внешний модуль. Неравенство вида $|f(x)| < c$ равносильно двойному неравенству $-c < f(x) < c$:
$-4 < |x| - 6 < 4$
Прибавим 6 ко всем частям неравенства:
$-4 + 6 < |x| < 4 + 6$
$2 < |x| < 10$
Это двойное неравенство для модуля эквивалентно системе из двух неравенств:
$\begin{cases} |x| > 2 \\ |x| < 10 \end{cases}$
Решим каждое неравенство:
1) $|x| > 2$ эквивалентно $x < -2$ или $x > 2$. Решение: $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.
2) $|x| < 10$ эквивалентно $-10 < x < 10$. Решение: $x \in (-10; 10)$.
Итоговое решение — это пересечение множеств решений этих двух неравенств. На числовой прямой это соответствует интервалам от -10 до -2 и от 2 до 10.
Ответ: $x \in (-10; -2) \cup (2; 10)$.

16.10. Найдите среднее арифметическое и среднее геометрическое двух чисел:

1) 6 и 12;

2) $\sqrt{15}$ и $\sqrt{60}$;

3) $\sqrt{16,9}$ и $\sqrt{0,1}$.

Для нахождения среднего арифметического и среднего геометрического двух чисел используются следующие определения:

Среднее арифметическое двух чисел $a$ и $b$ — это их сумма, деленная на два: $M_a = \frac{a + b}{2}$.

Среднее геометрическое двух неотрицательных чисел $a$ и $b$ — это квадратный корень из их произведения: $M_g = \sqrt{ab}$.

Применим эти формулы для каждой пары чисел.

1) 6 и 12

Находим среднее арифметическое чисел 6 и 12:

$M_a = \frac{6 + 12}{2} = \frac{18}{2} = 9$

Находим среднее геометрическое чисел 6 и 12:

$M_g = \sqrt{6 \cdot 12} = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$

Ответ: среднее арифметическое равно 9, среднее геометрическое равно $6\sqrt{2}$.

2) $\sqrt{15}$ и $\sqrt{60}$

Находим среднее арифметическое чисел $\sqrt{15}$ и $\sqrt{60}$. Сначала упростим $\sqrt{60}$:

$\sqrt{60} = \sqrt{4 \cdot 15} = 2\sqrt{15}$

Теперь вычислим среднее арифметическое:

$M_a = \frac{\sqrt{15} + \sqrt{60}}{2} = \frac{\sqrt{15} + 2\sqrt{15}}{2} = \frac{3\sqrt{15}}{2}$

Находим среднее геометрическое чисел $\sqrt{15}$ и $\sqrt{60}$:

$M_g = \sqrt{\sqrt{15} \cdot \sqrt{60}} = \sqrt{\sqrt{15 \cdot 60}} = \sqrt{\sqrt{900}} = \sqrt{30}$

Ответ: среднее арифметическое равно $\frac{3\sqrt{15}}{2}$, среднее геометрическое равно $\sqrt{30}$.

3) $\sqrt{16,9}$ и $\sqrt{0,1}$

Находим среднее арифметическое чисел $\sqrt{16,9}$ и $\sqrt{0,1}$:

$M_a = \frac{\sqrt{16,9} + \sqrt{0,1}}{2} = \frac{\sqrt{\frac{169}{10}} + \sqrt{\frac{1}{10}}}{2} = \frac{\frac{13}{\sqrt{10}} + \frac{1}{\sqrt{10}}}{2} = \frac{\frac{14}{\sqrt{10}}}{2} = \frac{7}{\sqrt{10}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе: $\frac{7}{\sqrt{10}} = \frac{7\sqrt{10}}{10}$.

Находим среднее геометрическое чисел $\sqrt{16,9}$ и $\sqrt{0,1}$:

$M_g = \sqrt{\sqrt{16,9} \cdot \sqrt{0,1}} = \sqrt{\sqrt{16,9 \cdot 0,1}} = \sqrt{\sqrt{1,69}} = \sqrt{1,3}$

Ответ: среднее арифметическое равно $\frac{7\sqrt{10}}{10}$, среднее геометрическое равно $\sqrt{1,3}$.

16.11. Для данного ряда чисел 1; 5; 1; 2; 1; 2; 3; 2; 4; 5; 2; 4; 4; 5; 6; 5; 6 составьте таблицу частот и найдите накопленную частоту варианты 3. Начертите гистограмму.

Составьте таблицу частот

Для решения задачи сначала проанализируем предоставленный ряд чисел: 1; 5; 1; 2; 1; 2; 3; 2; 4; 5; 2; 4; 4; 5; 6; 5; 6.

Общий объем выборки (количество чисел в ряду) $N = 17$.

Уникальные значения в этом ряду, называемые вариантами ($x_i$), это числа 1, 2, 3, 4, 5, 6. Теперь для каждой варианты посчитаем её частоту ($n_i$) — количество раз, которое она встречается в ряду.

- Варианта 1 встречается 3 раза ($n_1 = 3$).
- Варианта 2 встречается 4 раза ($n_2 = 4$).
- Варианта 3 встречается 1 раз ($n_3 = 1$).
- Варианта 4 встречается 3 раза ($n_4 = 3$).
- Варианта 5 встречается 4 раза ($n_5 = 4$).
- Варианта 6 встречается 2 раза ($n_6 = 2$).

Проверим сумму частот: $3 + 4 + 1 + 3 + 4 + 2 = 17$, что соответствует общему объему выборки.

На основе этих данных можно составить таблицу частот. В таблицу также добавим столбец с накопленной частотой ($N_{накопл}$), которая для каждой варианты рассчитывается как сумма её частоты и частот всех предыдущих вариант.

Ответ:

Таблица частот для данного ряда чисел:

Найдите накопленную частоту варианты 3

Накопленная частота для определенной варианты — это сумма частоты самой этой варианты и частот всех вариант, которые ей предшествуют в упорядоченном по возрастанию ряду. Для нахождения накопленной частоты варианты 3, необходимо сложить частоты вариант 1, 2 и 3.

Используя данные из таблицы частот:

Частота варианты 1: $n_1 = 3$

Частота варианты 2: $n_2 = 4$

Частота варианты 3: $n_3 = 1$

Расчет накопленной частоты для варианты 3:

$N_{накопл}(3) = n_1 + n_2 + n_3 = 3 + 4 + 1 = 8$

Этот же результат можно увидеть в соответствующей строке таблицы частот, приведенной выше.

Ответ: Накопленная частота для варианты 3 равна 8.

Начертите гистограмму

Гистограмма частот — это диаграмма, состоящая из прямоугольников, основания которых расположены на оси абсцисс (оси вариант), а высоты пропорциональны частотам этих вариант. Для построения гистограммы используем полученные частоты.

Ответ:

Гистограмма частот для данного ряда чисел:

16.12. Найдите среднее арифметическое чисел и квадратный корень от него, используя таблицу В. Брадиса:

1) 4; 7 и 8;

2) −6,8; 9,2 и 18,6;

3) 2,5; 3,7 и 8,68;

4) −1,2; 2,3 и 12,7.

1) Сначала найдем среднее арифметическое чисел 4, 7 и 8. Для этого нужно сложить числа и разделить полученную сумму на их количество.
Среднее арифметическое: $M = \frac{4 + 7 + 8}{3} = \frac{19}{3} \approx 6,333$
Теперь найдем квадратный корень из полученного числа, используя таблицу Брадиса. Нам нужно найти $\sqrt{6,333}$.
В таблице квадратных корней находим значение для 6,33, которое равно 2,516. Затем, используя поправку для четвертой значащей цифры 3, прибавляем 0,001.
$\sqrt{6,333} \approx 2,516 + 0,001 = 2,517$.
Ответ: среднее арифметическое $\approx 6,333$; квадратный корень $\approx 2,517$.

2) Найдем среднее арифметическое чисел -6,8; 9,2 и 18,6.
Среднее арифметическое: $M = \frac{-6,8 + 9,2 + 18,6}{3} = \frac{21}{3} = 7$.
Теперь найдем квадратный корень из 7 с помощью таблицы Брадиса.
$\sqrt{7} = \sqrt{7,00}$. По таблице находим, что $\sqrt{7,00} \approx 2,646$.
Ответ: среднее арифметическое 7; квадратный корень $\approx 2,646$.

3) Найдем среднее арифметическое чисел 2,5; 3,7 и 8,68.
Среднее арифметическое: $M = \frac{2,5 + 3,7 + 8,68}{3} = \frac{14,88}{3} = 4,96$.
Теперь найдем квадратный корень из 4,96 с помощью таблицы Брадиса.
По таблице находим, что $\sqrt{4,96} \approx 2,227$.
Ответ: среднее арифметическое 4,96; квадратный корень $\approx 2,227$.

4) Найдем среднее арифметическое чисел -1,2; 2,3 и 12,7.
Среднее арифметическое: $M = \frac{-1,2 + 2,3 + 12,7}{3} = \frac{13,8}{3} = 4,6$.
Теперь найдем квадратный корень из 4,6 с помощью таблицы Брадиса.
$\sqrt{4,6} = \sqrt{4,60}$. По таблице находим, что $\sqrt{4,60} \approx 2,145$.
Ответ: среднее арифметическое 4,6; квадратный корень $\approx 2,145$.