Страница 141 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

17.7. Дана таблица 30 относительных частот случайной величины:

Таблица 30

X -2 -1 $x_3$ 4

Относительная частота $\frac{3}{10}$ $\frac{1}{10}$ $p_3$ $\frac{2}{5}$

Найдите $x_3$ и $p_3$, если $\bar{X} = 1\frac{1}{10}$.

Для нахождения неизвестных $p_3$ и $x_3$ необходимо использовать два основных свойства ряда распределения случайной величины: сумма всех относительных частот равна 1, а среднее значение вычисляется как сумма произведений значений случайной величины на их относительные частоты.

1. Нахождение относительной частоты $p_3$.
Сумма всех относительных частот в таблице распределения должна быть равна 1. Запишем это в виде уравнения:
$p_1 + p_2 + p_3 + p_4 = 1$
Подставим известные значения из таблицы: $p_1 = \frac{3}{10}$, $p_2 = \frac{1}{10}$, $p_4 = \frac{2}{5}$.
$\frac{3}{10} + \frac{1}{10} + p_3 + \frac{2}{5} = 1$
Для удобства вычислений приведем дробь $\frac{2}{5}$ к знаменателю 10:
$\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{4}{10}$
Теперь уравнение выглядит так:
$\frac{3}{10} + \frac{1}{10} + p_3 + \frac{4}{10} = 1$
Сложим известные дроби:
$\frac{3+1+4}{10} + p_3 = 1$
$\frac{8}{10} + p_3 = 1$
Выразим $p_3$:
$p_3 = 1 - \frac{8}{10} = \frac{10}{10} - \frac{8}{10} = \frac{2}{10}$

2. Нахождение значения $x_3$.
Среднее значение (или выборочная средняя) случайной величины $\bar{X}$ вычисляется по формуле:
$\bar{X} = x_1 p_1 + x_2 p_2 + x_3 p_3 + x_4 p_4$
По условию $\bar{X} = 1\frac{1}{10}$, что равно $\frac{11}{10}$. Подставим в формулу все известные значения, включая найденное $p_3 = \frac{2}{10}$:
$\frac{11}{10} = (-2) \cdot \frac{3}{10} + (-1) \cdot \frac{1}{10} + x_3 \cdot \frac{2}{10} + 4 \cdot \frac{4}{10}$
Выполним умножение:
$\frac{11}{10} = -\frac{6}{10} - \frac{1}{10} + \frac{2x_3}{10} + \frac{16}{10}$
Чтобы упростить уравнение, умножим обе его части на 10:
$11 = -6 - 1 + 2x_3 + 16$
Приведем подобные слагаемые в правой части:
$11 = (-6 - 1 + 16) + 2x_3$
$11 = 9 + 2x_3$
Теперь найдем $x_3$:
$2x_3 = 11 - 9$
$2x_3 = 2$
$x_3 = 1$

Ответ: $x_3=1, p_3=\frac{2}{10}$.

17.8. В г. Петропавловске 6 июля 2017 г. зафиксирована следующая температура воздуха (табл. 31).

Таблица 31

По данной таблице найдите:

1. 1) объем выборки;
2. 2) среднюю температуру воздуха;
3. 3) дисперсию.

1) объем выборки
Объем выборки — это количество элементов в наборе данных. В представленной таблице зафиксировано 5 измерений температуры. Таким образом, объем выборки $n$ равен 5.
Ответ: 5

2) среднюю температуру воздуха
Средняя температура воздуха, или выборочное среднее $\bar{x}$, вычисляется по формуле среднего арифметического: сумма всех значений, деленная на их количество.
Данные значения температуры: $10, 12, 13, 16, 17$.
Объем выборки: $n = 5$.
Рассчитаем сумму температур:
$10 + 12 + 13 + 16 + 17 = 68$
Теперь найдем среднее значение:
$\bar{x} = \frac{10 + 12 + 13 + 16 + 17}{5} = \frac{68}{5} = 13.6$ °C.
Ответ: 13,6 °C

3) дисперсию
Дисперсия ($D$) — это мера разброса данных, равная среднему арифметическому квадратов отклонений значений от их среднего значения.
Формула для вычисления дисперсии:
$D = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}$
Среднее значение мы уже нашли: $\bar{x} = 13.6$ °C. Теперь рассчитаем квадрат отклонения для каждого измерения температуры:
$(10 - 13.6)^2 = (-3.6)^2 = 12.96$
$(12 - 13.6)^2 = (-1.6)^2 = 2.56$
$(13 - 13.6)^2 = (-0.6)^2 = 0.36$
$(16 - 13.6)^2 = (2.4)^2 = 5.76$
$(17 - 13.6)^2 = (3.4)^2 = 11.56$
Найдем сумму этих квадратов:
$12.96 + 2.56 + 0.36 + 5.76 + 11.56 = 33.2$
Теперь разделим полученную сумму на объем выборки $n=5$, чтобы найти дисперсию:
$D = \frac{33.2}{5} = 6.64$
Ответ: 6,64

17.9. В таблице 32 приведена выборка массы (в кг) учащихся 12 лет.

Таблица 32

По данным таблицы:

1) составьте вариационный ряд;

2) составьте таблицу абсолютных частот и таблицу относительных частот;

3) найдите объем выборки и среднее арифметическое значение;

4) найдите дисперсию.

1) составьте вариационный ряд;

Для составления вариационного ряда необходимо расположить все значения выборки в порядке возрастания. Сначала посчитаем, сколько раз встречается каждое значение (варианта):

• 55 кг: 2 раза
• 56 кг: 7 раз
• 57 кг: 5 раз
• 58 кг: 5 раз
• 59 кг: 6 раз

Теперь запишем упорядоченный ряд:

55, 55, 56, 56, 56, 56, 56, 56, 56, 57, 57, 57, 57, 57, 58, 58, 58, 58, 58, 59, 59, 59, 59, 59, 59.

Ответ: 55, 55, 56, 56, 56, 56, 56, 56, 56, 57, 57, 57, 57, 57, 58, 58, 58, 58, 58, 59, 59, 59, 59, 59, 59.

2) составьте таблицу абсолютных частот и таблицу относительных частот;

Абсолютная частота ($n_i$) — это количество повторений каждой варианты в выборке. Объем выборки $n = 25$. Относительная частота ($W_i$) вычисляется по формуле $W_i = \frac{n_i}{n}$.

Составим сводную таблицу частот:

Ответ: Таблицы абсолютных и относительных частот представлены выше.

3) найдите объем выборки и среднее арифметическое значение;

Объем выборки ($n$) — это общее количество наблюдений. В таблице 5 строк и 5 столбцов, следовательно, $n = 5 \times 5 = 25$.

Среднее арифметическое значение ($\bar{x}$) вычисляется по формуле для взвешенного среднего:

$\bar{x} = \frac{\sum x_i n_i}{n} = \frac{x_1 n_1 + x_2 n_2 + \dots + x_k n_k}{n}$

Используя данные из таблицы частот:

$\bar{x} = \frac{55 \cdot 2 + 56 \cdot 7 + 57 \cdot 5 + 58 \cdot 5 + 59 \cdot 6}{25} = \frac{110 + 392 + 285 + 290 + 354}{25} = \frac{1431}{25} = 57.24$

Ответ: Объем выборки $n = 25$, среднее арифметическое значение $\bar{x} = 57.24$ кг.

4) найдите дисперсию.

Дисперсия ($D$) — это мера разброса данных вокруг среднего значения. Она вычисляется по формуле:

$D = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2 n_i}{n}$

Используя найденное среднее значение $\bar{x} = 57.24$, рассчитаем сумму квадратов отклонений:

• $(55 - 57.24)^2 \cdot 2 = (-2.24)^2 \cdot 2 = 5.0176 \cdot 2 = 10.0352$
• $(56 - 57.24)^2 \cdot 7 = (-1.24)^2 \cdot 7 = 1.5376 \cdot 7 = 10.7632$
• $(57 - 57.24)^2 \cdot 5 = (-0.24)^2 \cdot 5 = 0.0576 \cdot 5 = 0.288$
• $(58 - 57.24)^2 \cdot 5 = (0.76)^2 \cdot 5 = 0.5776 \cdot 5 = 2.888$
• $(59 - 57.24)^2 \cdot 6 = (1.76)^2 \cdot 6 = 3.0976 \cdot 6 = 18.5856$

Сумма этих значений: $10.0352 + 10.7632 + 0.288 + 2.888 + 18.5856 = 42.56$.

Теперь найдем дисперсию:

$D = \frac{42.56}{25} = 1.7024$

Ответ: Дисперсия $D = 1.7024$ (кг$^2$).

17.10. Постройте график функции $y = |x^2 + 2x - 3|$. Используя график функции, найдите:

1) множество значений функции;

2) ось симметрии.

Для построения графика функции $y = |x^2 + 2x - 3|$ сначала построим график параболы $y_1 = x^2 + 2x - 3$, а затем применим к нему преобразование модуля.

Шаг 1: Анализ и построение параболы $y_1 = x^2 + 2x - 3$.

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительный), следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$:

$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$.

$y_в = f(x_в) = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-1, -4)$.

Найдем точки пересечения параболы с осями координат:

• С осью абсцисс (Ox), для этого решим уравнение $x^2 + 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$. Точки пересечения: $(1, 0)$ и $(-3, 0)$.
• С осью ординат (Oy), для этого подставим $x=0$: $y_1 = 0^2 + 2(0) - 3 = -3$. Точка пересечения: $(0, -3)$.

Шаг 2: Применение преобразования модуля.

График функции $y = |f(x)|$ получается из графика $y = f(x)$ путем отражения той части графика, которая находится ниже оси Ox, симметрично относительно этой оси. Часть графика, находящаяся выше или на оси Ox, остается без изменений.

В нашем случае, часть параболы $y_1 = x^2 + 2x - 3$ на интервале $(-3, 1)$ находится ниже оси Ox. Эту часть мы отражаем вверх. В результате:

• Точки $(-3, 0)$ и $(1, 0)$ остаются на месте.
• Вершина $(-1, -4)$ переходит в точку $(-1, 4)$.
• Точка пересечения с осью Oy $(0, -3)$ переходит в точку $(0, 3)$.

Итоговый график функции $y = |x^2 + 2x - 3|$ показан на рисунке ниже.

Используя построенный график, ответим на вопросы.

1) множество значений функции;

Множество значений функции — это совокупность всех значений, которые может принимать $y$. Из графика видно, что наименьшее значение функции равно 0 (в точках $x=-3$ и $x=1$). Так как ветви графика уходят вверх в бесконечность, наибольшего значения у функции нет. Следовательно, функция принимает все неотрицательные значения.

Ответ: $E(y) = [0; +\infty)$.

2) ось симметрии.

Ось симметрии — это прямая, относительно которой график функции симметричен. Исходная парабола $y_1 = x^2 + 2x - 3$ была симметрична относительно прямой $x = -1$, проходящей через ее вершину. Преобразование модуля сохранило эту симметрию. На графике видно, что его левая и правая части симметричны относительно вертикальной прямой, проходящей через точку $(-1, 4)$.

Ответ: $x = -1$.