Номер 17.7, страница 141 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

17.7. Дана таблица 30 относительных частот случайной величины:

Таблица 30

X -2 -1 $x_3$ 4

Относительная частота $\frac{3}{10}$ $\frac{1}{10}$ $p_3$ $\frac{2}{5}$

Найдите $x_3$ и $p_3$, если $\bar{X} = 1\frac{1}{10}$.

Для нахождения неизвестных $p_3$ и $x_3$ необходимо использовать два основных свойства ряда распределения случайной величины: сумма всех относительных частот равна 1, а среднее значение вычисляется как сумма произведений значений случайной величины на их относительные частоты.

1. Нахождение относительной частоты $p_3$.
Сумма всех относительных частот в таблице распределения должна быть равна 1. Запишем это в виде уравнения:
$p_1 + p_2 + p_3 + p_4 = 1$
Подставим известные значения из таблицы: $p_1 = \frac{3}{10}$, $p_2 = \frac{1}{10}$, $p_4 = \frac{2}{5}$.
$\frac{3}{10} + \frac{1}{10} + p_3 + \frac{2}{5} = 1$
Для удобства вычислений приведем дробь $\frac{2}{5}$ к знаменателю 10:
$\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{4}{10}$
Теперь уравнение выглядит так:
$\frac{3}{10} + \frac{1}{10} + p_3 + \frac{4}{10} = 1$
Сложим известные дроби:
$\frac{3+1+4}{10} + p_3 = 1$
$\frac{8}{10} + p_3 = 1$
Выразим $p_3$:
$p_3 = 1 - \frac{8}{10} = \frac{10}{10} - \frac{8}{10} = \frac{2}{10}$

2. Нахождение значения $x_3$.
Среднее значение (или выборочная средняя) случайной величины $\bar{X}$ вычисляется по формуле:
$\bar{X} = x_1 p_1 + x_2 p_2 + x_3 p_3 + x_4 p_4$
По условию $\bar{X} = 1\frac{1}{10}$, что равно $\frac{11}{10}$. Подставим в формулу все известные значения, включая найденное $p_3 = \frac{2}{10}$:
$\frac{11}{10} = (-2) \cdot \frac{3}{10} + (-1) \cdot \frac{1}{10} + x_3 \cdot \frac{2}{10} + 4 \cdot \frac{4}{10}$
Выполним умножение:
$\frac{11}{10} = -\frac{6}{10} - \frac{1}{10} + \frac{2x_3}{10} + \frac{16}{10}$
Чтобы упростить уравнение, умножим обе его части на 10:
$11 = -6 - 1 + 2x_3 + 16$
Приведем подобные слагаемые в правой части:
$11 = (-6 - 1 + 16) + 2x_3$
$11 = 9 + 2x_3$
Теперь найдем $x_3$:
$2x_3 = 11 - 9$
$2x_3 = 2$
$x_3 = 1$

Ответ: $x_3=1, p_3=\frac{2}{10}$.