Номер 17.5, страница 140 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

17.5. Для оценок ученика за III четверть составлена таблица относительных частот случайной величины полученных оценок (табл. 29).

Таблица 29

Оценка345

Абсолютная частота 4 6 5

Относительная частота $\frac{4}{15}$ $\frac{6}{15}$ $\frac{5}{15}$

Найдите:

1) среднее арифметическое значение;

2) отклонение случайной величины от ее среднего значения;

3) дисперсию оценок ученика.

1) среднее арифметическое значение;
Среднее арифметическое значение (или математическое ожидание) случайной величины $X$ (оценки ученика) можно найти, используя абсолютные или относительные частоты. Общее количество оценок (объем выборки) $N$ равно сумме абсолютных частот: $N = 4 + 6 + 5 = 15$.
Формула среднего арифметического через абсолютные частоты:
$\bar{X} = \frac{\sum x_i n_i}{N}$
Подставим данные из таблицы:
$\bar{X} = \frac{3 \cdot 4 + 4 \cdot 6 + 5 \cdot 5}{15} = \frac{12 + 24 + 25}{15} = \frac{61}{15}$.
Среднее арифметическое также можно вычислить через относительные частоты $W_i = \frac{n_i}{N}$ по формуле:
$\bar{X} = \sum x_i W_i$
$\bar{X} = 3 \cdot \frac{4}{15} + 4 \cdot \frac{6}{15} + 5 \cdot \frac{5}{15} = \frac{12}{15} + \frac{24}{15} + \frac{25}{15} = \frac{61}{15}$.
Оба способа дают одинаковый результат.
Ответ: $\frac{61}{15}$

2) отклонение случайной величины от ее среднего значения;
Отклонение каждого значения случайной величины от ее среднего значения вычисляется по формуле $x_i - \bar{X}$. Мы уже нашли, что среднее значение $\bar{X} = \frac{61}{15}$.
Найдем отклонения для каждой из оценок:
• Для оценки $x_1 = 3$: отклонение равно $3 - \frac{61}{15} = \frac{3 \cdot 15}{15} - \frac{61}{15} = \frac{45 - 61}{15} = -\frac{16}{15}$.
• Для оценки $x_2 = 4$: отклонение равно $4 - \frac{61}{15} = \frac{4 \cdot 15}{15} - \frac{61}{15} = \frac{60 - 61}{15} = -\frac{1}{15}$.
• Для оценки $x_3 = 5$: отклонение равно $5 - \frac{61}{15} = \frac{5 \cdot 15}{15} - \frac{61}{15} = \frac{75 - 61}{15} = \frac{14}{15}$.
Ответ: отклонения для оценок 3, 4 и 5 равны соответственно $-\frac{16}{15}$, $-\frac{1}{15}$ и $\frac{14}{15}$.

3) дисперсию оценок ученика.
Дисперсия ($D(X)$) — это мера разброса значений случайной величины относительно её среднего значения. Она равна среднему значению квадратов отклонений.
Формула для вычисления дисперсии через относительные частоты:
$D(X) = \sum_{i=1}^{k} (x_i - \bar{X})^2 W_i$
Используя отклонения, найденные в предыдущем пункте, получаем:
$D(X) = (-\frac{16}{15})^2 \cdot \frac{4}{15} + (-\frac{1}{15})^2 \cdot \frac{6}{15} + (\frac{14}{15})^2 \cdot \frac{5}{15}$
$D(X) = \frac{256}{225} \cdot \frac{4}{15} + \frac{1}{225} \cdot \frac{6}{15} + \frac{196}{225} \cdot \frac{5}{15}$
$D(X) = \frac{256 \cdot 4 + 1 \cdot 6 + 196 \cdot 5}{225 \cdot 15} = \frac{1024 + 6 + 980}{3375} = \frac{2010}{3375}$.
Сократим дробь на 15: $2010 \div 15 = 134$, $3375 \div 15 = 225$.
$D(X) = \frac{134}{225}$.
Для удобства вычислений можно использовать другую формулу: $D(X) = \overline{X^2} - (\bar{X})^2$.
Сначала найдем среднее значение квадратов $(\overline{X^2})$:
$\overline{X^2} = \sum x_i^2 W_i = 3^2 \cdot \frac{4}{15} + 4^2 \cdot \frac{6}{15} + 5^2 \cdot \frac{5}{15} = \frac{9 \cdot 4 + 16 \cdot 6 + 25 \cdot 5}{15} = \frac{36 + 96 + 125}{15} = \frac{257}{15}$.
Теперь вычислим дисперсию:
$D(X) = \overline{X^2} - (\bar{X})^2 = \frac{257}{15} - (\frac{61}{15})^2 = \frac{257}{15} - \frac{3721}{225} = \frac{257 \cdot 15}{225} - \frac{3721}{225} = \frac{3855 - 3721}{225} = \frac{134}{225}$.
Ответ: $\frac{134}{225}$