Номер 17.11, страница 142 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

17.11. 1) Две бригады, работая одновременно, обработали участок земли за 12 часов. За какое время могла бы обработать этот участок каждая из бригад в отдельности, если их производительности относятся как $3 : 2$?

2) Одна бригада может убрать все поле за 12 дней. Другой бригаде для выполнения той же работы нужно $75\%$ этого времени. После того как в течение 5 дней работала одна первая бригада, к ней присоединилась вторая, и обе вместе закончили работу. Сколько дней бригады работали вместе?

1) Примем весь объем работы за 1.
Пусть $p_1$ и $p_2$ — производительности первой и второй бригад соответственно (часть работы в час), а $t_1$ и $t_2$ — время, за которое каждая бригада выполнит всю работу в отдельности.
Тогда $p_1 = 1/t_1$ и $p_2 = 1/t_2$.
Поскольку две бригады, работая одновременно, обработали участок за 12 часов, их совместная производительность $p_1 + p_2$ равна:
$p_1 + p_2 = \frac{1}{12}$
По условию, производительности бригад относятся как 3:2, то есть $\frac{p_1}{p_2} = \frac{3}{2}$.
Введем коэффициент пропорциональности $k$. Тогда производительность первой бригады $p_1 = 3k$, а второй — $p_2 = 2k$.
Подставим эти значения в уравнение для совместной производительности:
$3k + 2k = \frac{1}{12}$
$5k = \frac{1}{12}$
$k = \frac{1}{12 \times 5} = \frac{1}{60}$
Теперь можем найти производительность каждой бригады:
$p_1 = 3k = 3 \times \frac{1}{60} = \frac{1}{20}$ (часть участка в час)
$p_2 = 2k = 2 \times \frac{1}{60} = \frac{1}{30}$ (часть участка в час)
Время, необходимое каждой бригаде для выполнения всей работы в одиночку, — это величина, обратная производительности:
Время для первой бригады: $t_1 = \frac{1}{p_1} = \frac{1}{1/20} = 20$ часов.
Время для второй бригады: $t_2 = \frac{1}{p_2} = \frac{1}{1/30} = 30$ часов.
Ответ: первая бригада могла бы обработать участок за 20 часов, а вторая — за 30 часов.

2) Примем всю работу по уборке поля за 1.
Первая бригада убирает все поле за 12 дней. Следовательно, её производительность $p_1 = \frac{1}{12}$ поля в день.
Второй бригаде нужно 75% от этого времени. Найдем время работы для второй бригады:
$t_2 = 12 \times 75\% = 12 \times 0.75 = 12 \times \frac{3}{4} = 9$ дней.
Производительность второй бригады $p_2 = \frac{1}{9}$ поля в день.
Первая бригада работала одна 5 дней. За это время она выполнила часть работы:
$W_1 = p_1 \times 5 = \frac{1}{12} \times 5 = \frac{5}{12}$ поля.
После этого осталось выполнить:
$W_{ост} = 1 - W_1 = 1 - \frac{5}{12} = \frac{7}{12}$ поля.
Эту оставшуюся часть работы бригады выполняли вместе. Найдем их совместную производительность:
$p_{совм} = p_1 + p_2 = \frac{1}{12} + \frac{1}{9}$
Приведем дроби к общему знаменателю 36:
$p_{совм} = \frac{3}{36} + \frac{4}{36} = \frac{7}{36}$ поля в день.
Теперь найдем, сколько дней $T$ бригады работали вместе, чтобы выполнить оставшуюся работу:
$T = \frac{W_{ост}}{p_{совм}} = \frac{7/12}{7/36} = \frac{7}{12} \times \frac{36}{7} = \frac{36}{12} = 3$ дня.
Ответ: бригады работали вместе 3 дня.