Номер 18.3, страница 148 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.3. Используя график функции, найдите множество значений переменной, при которых принимает положительные значения функция:

1) $y = 3x^2 - 12x;$

2) $y = -2x^2 + 5,2x;$

3) $y = -x^2 + 6x - 9;$

4) $y = -x^2 - 2,8x.$

1) $y = 3x^2 - 12x$

Чтобы найти значения переменной $x$, при которых функция принимает положительные значения ($y > 0$), проанализируем её график. Графиком функции $y = 3x^2 - 12x$ является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a = 3$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс, решив уравнение $y = 0$ для нахождения нулей функции:
$3x^2 - 12x = 0$
$3x(x - 4) = 0$
Нули функции: $x_1 = 0$, $x_2 = 4$.

Парабола с ветвями вверх пересекает ось $Ox$ в точках 0 и 4. Схематично это выглядит так:

Функция принимает положительные значения ($y > 0$), когда её график находится выше оси $Ox$. Из графика видно, что это происходит при значениях $x$ левее 0 и правее 4.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (4; +\infty)$.

2) $y = -2x^2 + 5,2x$

Графиком функции $y = -2x^2 + 5,2x$ является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a = -2$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. Найдем нули функции, решив уравнение $y = 0$:
$-2x^2 + 5,2x = 0$
$-2x(x - 2,6) = 0$
Нули функции: $x_1 = 0$, $x_2 = 2,6$.

Парабола с ветвями вниз пересекает ось $Ox$ в точках 0 и 2,6. Схематично это выглядит так:

Функция принимает положительные значения ($y > 0$), когда её график находится выше оси $Ox$. Для параболы с ветвями вниз это происходит между её нулями.

Ответ: $x \in (0; 2,6)$.

3) $y = -x^2 + 6x - 9$

Графиком функции $y = -x^2 + 6x - 9$ является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a = -1$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. Найдем нули функции, решив уравнение $y = 0$:
$-x^2 + 6x - 9 = 0$
$x^2 - 6x + 9 = 0$
$(x - 3)^2 = 0$
Уравнение имеет один корень (двойной кратности): $x = 3$.

Парабола с ветвями вниз касается оси $Ox$ в точке $x = 3$ (это вершина параболы). Схематично это выглядит так:

График функции расположен ниже оси $Ox$ при всех значениях $x$, кроме $x=3$, где $y=0$. Таким образом, нет значений $x$, при которых функция была бы строго положительной ($y > 0$).

Ответ: нет таких значений.

4) $y = -x^2 - 2,8x$

Графиком функции $y = -x^2 - 2,8x$ является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a = -1$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. Найдем нули функции, решив уравнение $y = 0$:
$-x^2 - 2,8x = 0$
$-x(x + 2,8) = 0$
Нули функции: $x_1 = 0$, $x_2 = -2,8$.

Парабола с ветвями вниз пересекает ось $Ox$ в точках -2,8 и 0. Схематично это выглядит так:

Функция принимает положительные значения ($y > 0$), когда её график находится выше оси $Ox$. Для параболы с ветвями вниз это происходит между её нулями.

Ответ: $x \in (-2,8; 0)$.