Номер 18.7, страница 148 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.7. Решите неравенство:

1) $(x - 3)^2 > 4;$

2) $(x + 3)^2 \le 16;$

3) $(2x - 3)^2 > 25;$

4) $(2x + 7)^2 \le 169.$

1) Решим неравенство $(x - 3)^2 > 4$.
Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств:
$x - 3 > \sqrt{4}$ или $x - 3 < -\sqrt{4}$
$x - 3 > 2$ или $x - 3 < -2$
$x > 5$ или $x < 1$
Таким образом, решение представляет собой объединение двух интервалов.
Альтернативный метод (через разность квадратов):
Перенесем 4 в левую часть:
$(x - 3)^2 - 4 > 0$
Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$((x - 3) - 2)((x - 3) + 2) > 0$
$(x - 5)(x - 1) > 0$
Рассмотрим функцию $y = (x - 5)(x - 1)$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Она пересекает ось Ox в точках $x=1$ и $x=5$. Значения функции положительны при $x$ левее меньшего корня и правее большего корня.
Следовательно, $x \in (-\infty; 1) \cup (5; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; 1) \cup (5; +\infty)$.

2) Решим неравенство $(x + 3)^2 \le 16$.
Это неравенство равносильно двойному неравенству:
$-\sqrt{16} \le x + 3 \le \sqrt{16}$
$-4 \le x + 3 \le 4$
Вычтем 3 из всех частей неравенства:
$-4 - 3 \le x \le 4 - 3$
$-7 \le x \le 1$
Альтернативный метод (через разность квадратов):
$(x + 3)^2 - 16 \le 0$
$((x + 3) - 4)((x + 3) + 4) \le 0$
$(x - 1)(x + 7) \le 0$
Рассмотрим параболу $y = (x - 1)(x + 7)$ с ветвями вверх. Корни уравнения $(x - 1)(x + 7) = 0$ равны $x_1 = -7$ и $x_2 = 1$. Значения функции неположительны (меньше или равны нулю) между корнями, включая сами корни.
Следовательно, $x \in [-7; 1]$.
Ответ: $[-7; 1]$.

3) Решим неравенство $(2x - 3)^2 > 25$.
Неравенство равносильно совокупности:
$2x - 3 > \sqrt{25}$ или $2x - 3 < -\sqrt{25}$
$2x - 3 > 5$ или $2x - 3 < -5$
$2x > 8$ или $2x < -2$
$x > 4$ или $x < -1$
Альтернативный метод (через разность квадратов):
$(2x - 3)^2 - 25 > 0$
$((2x - 3) - 5)((2x - 3) + 5) > 0$
$(2x - 8)(2x + 2) > 0$
$4(x - 4)(x + 1) > 0$
$(x - 4)(x + 1) > 0$
Корни соответствующего уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = 4$. Ветви параболы $y=(x - 4)(x + 1)$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями.
Следовательно, $x \in (-\infty; -1) \cup (4; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; -1) \cup (4; +\infty)$.

4) Решим неравенство $(2x + 7)^2 \le 169$.
Неравенство равносильно двойному неравенству, так как $169 = 13^2$:
$-\sqrt{169} \le 2x + 7 \le \sqrt{169}$
$-13 \le 2x + 7 \le 13$
Вычтем 7 из всех частей:
$-13 - 7 \le 2x \le 13 - 7$
$-20 \le 2x \le 6$
Разделим все части на 2:
$-10 \le x \le 3$
Альтернативный метод (через разность квадратов):
$(2x + 7)^2 - 169 \le 0$
$((2x + 7) - 13)((2x + 7) + 13) \le 0$
$(2x - 6)(2x + 20) \le 0$
$4(x - 3)(x + 10) \le 0$
$(x - 3)(x + 10) \le 0$
Корни соответствующего уравнения: $x_1 = -10$ и $x_2 = 3$. Ветви параболы $y=(x - 3)(x + 10)$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется на отрезке между корнями.
Следовательно, $x \in [-10; 3]$.
Ответ: $[-10; 3]$.