Страница 148 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.3. Используя график функции, найдите множество значений переменной, при которых принимает положительные значения функция:

1) $y = 3x^2 - 12x;$

2) $y = -2x^2 + 5,2x;$

3) $y = -x^2 + 6x - 9;$

4) $y = -x^2 - 2,8x.$

1) $y = 3x^2 - 12x$

Чтобы найти значения переменной $x$, при которых функция принимает положительные значения ($y > 0$), проанализируем её график. Графиком функции $y = 3x^2 - 12x$ является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a = 3$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс, решив уравнение $y = 0$ для нахождения нулей функции:
$3x^2 - 12x = 0$
$3x(x - 4) = 0$
Нули функции: $x_1 = 0$, $x_2 = 4$.

Парабола с ветвями вверх пересекает ось $Ox$ в точках 0 и 4. Схематично это выглядит так:

Функция принимает положительные значения ($y > 0$), когда её график находится выше оси $Ox$. Из графика видно, что это происходит при значениях $x$ левее 0 и правее 4.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (4; +\infty)$.

2) $y = -2x^2 + 5,2x$

Графиком функции $y = -2x^2 + 5,2x$ является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a = -2$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. Найдем нули функции, решив уравнение $y = 0$:
$-2x^2 + 5,2x = 0$
$-2x(x - 2,6) = 0$
Нули функции: $x_1 = 0$, $x_2 = 2,6$.

Парабола с ветвями вниз пересекает ось $Ox$ в точках 0 и 2,6. Схематично это выглядит так:

Функция принимает положительные значения ($y > 0$), когда её график находится выше оси $Ox$. Для параболы с ветвями вниз это происходит между её нулями.

Ответ: $x \in (0; 2,6)$.

3) $y = -x^2 + 6x - 9$

Графиком функции $y = -x^2 + 6x - 9$ является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a = -1$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. Найдем нули функции, решив уравнение $y = 0$:
$-x^2 + 6x - 9 = 0$
$x^2 - 6x + 9 = 0$
$(x - 3)^2 = 0$
Уравнение имеет один корень (двойной кратности): $x = 3$.

Парабола с ветвями вниз касается оси $Ox$ в точке $x = 3$ (это вершина параболы). Схематично это выглядит так:

График функции расположен ниже оси $Ox$ при всех значениях $x$, кроме $x=3$, где $y=0$. Таким образом, нет значений $x$, при которых функция была бы строго положительной ($y > 0$).

Ответ: нет таких значений.

4) $y = -x^2 - 2,8x$

Графиком функции $y = -x^2 - 2,8x$ является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a = -1$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. Найдем нули функции, решив уравнение $y = 0$:
$-x^2 - 2,8x = 0$
$-x(x + 2,8) = 0$
Нули функции: $x_1 = 0$, $x_2 = -2,8$.

Парабола с ветвями вниз пересекает ось $Ox$ в точках -2,8 и 0. Схематично это выглядит так:

Функция принимает положительные значения ($y > 0$), когда её график находится выше оси $Ox$. Для параболы с ветвями вниз это происходит между её нулями.

Ответ: $x \in (-2,8; 0)$.

18.4. Используя график функции, найдите множество значений переменной, при которых принимает отрицательные значения функция:

1) $y = 2x^2 - 6x + 4$;

2) $y = -x^2 + 5x - 6$;

3) $y = x^2 + 4x + 4$;

4) $y = -x^2 - 2.6x - 1.6$.

1)Функция $y = 2x^2 - 6x + 4$ является квадратичной. Ее график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен $2$, что больше нуля ($a > 0$), ветви параболы направлены вверх.

Чтобы найти, где функция принимает отрицательные значения, нужно определить, на каких интервалах ее график лежит ниже оси абсцисс (оси x). Для этого найдем точки пересечения параболы с осью x, решив уравнение $2x^2 - 6x + 4 = 0$.

Разделим обе части уравнения на 2:
$x^2 - 3x + 2 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-(-3) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 1}{2} = 1$
$x_2 = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 1}{2} = 2$

Парабола пересекает ось x в точках $x=1$ и $x=2$. Поскольку ветви направлены вверх, функция принимает отрицательные значения между точками пересечения.

Следовательно, функция отрицательна при $x \in (1; 2)$.
Ответ: $x \in (1; 2)$.

2)Функция $y = -x^2 + 5x - 6$ является квадратичной. Ее график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен $-1$, что меньше нуля ($a < 0$), ветви параболы направлены вниз.

Найдем точки пересечения параболы с осью x, решив уравнение $-x^2 + 5x - 6 = 0$.

Умножим обе части уравнения на -1:
$x^2 - 5x + 6 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 1}{2} = 2$
$x_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 1}{2} = 3$

Парабола пересекает ось x в точках $x=2$ и $x=3$. Поскольку ветви направлены вниз, функция принимает отрицательные значения за пределами интервала между точками пересечения.

Следовательно, функция отрицательна при $x \in (-\infty; 2) \cup (3; \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; 2) \cup (3; \infty)$.

3)Функция $y = x^2 + 4x + 4$ является квадратичной. Ее график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен $1$, что больше нуля ($a > 0$), ветви параболы направлены вверх.

Выражение $x^2 + 4x + 4$ является полным квадратом: $y = (x + 2)^2$.

Найдем точки пересечения с осью x: $(x + 2)^2 = 0$.
Уравнение имеет один корень $x = -2$. Это означает, что парабола не пересекает ось x, а касается ее в точке $x = -2$ (вершина параболы).

Так как ветви параболы направлены вверх и она касается оси x, все значения функции, кроме точки касания, положительны. В точке касания $y=0$. Отрицательных значений функция не принимает.

Следовательно, множество значений переменной, при которых функция принимает отрицательные значения, пусто.
Ответ: нет таких значений $x$.

4)Функция $y = -x^2 - 2,6x - 1,6$ является квадратичной. Ее график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен $-1$, что меньше нуля ($a < 0$), ветви параболы направлены вниз.

Найдем точки пересечения параболы с осью x, решив уравнение $-x^2 - 2,6x - 1,6 = 0$.

Умножим обе части уравнения на -1:
$x^2 + 2,6x + 1,6 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (2,6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1,6 = 6,76 - 6,4 = 0,36$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-2,6 - \sqrt{0,36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2,6 - 0,6}{2} = \frac{-3,2}{2} = -1,6$
$x_2 = \frac{-2,6 + \sqrt{0,36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2,6 + 0,6}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Парабола пересекает ось x в точках $x=-1,6$ и $x=-1$. Поскольку ветви направлены вниз, функция принимает отрицательные значения за пределами интервала между точками пересечения.

Следовательно, функция отрицательна при $x \in (-\infty; -1,6) \cup (-1; \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -1,6) \cup (-1; \infty)$.

18.5. Решите квадратное неравенство:

1) $x^2 - x - 56 \geq 0$

2) $-x^2 + x + 72 > 0$

3) $x^2 + x - 90 < 0$

4) $x^2 + x - 210 \leq 0$

5) $2x^2 - 7x + 6 < 0$

6) $25x^2 + 90x + 81 \leq 0$

7) $5x^2 - 12x + 4 > 0$

8) $36x^2 - 84x + 49 > 0$

9) $0.25x^2 - x > -1$

10) $7x^2 + 18x < -5$

11) $-3x^2 + 11x + 4 \leq 0$

12) $9x^2 - 4x - 2 \geq 0$

13) $3y^2 + 7y + 4 < 0$

14) $3y^2 - 6y + 3 > 0$

15) $9y^2 - 6y + 1 < 0$

16) $2y^2 + 9y - 486 \leq 0$

1) Для решения квадратного неравенства $x^2 - x - 56 \ge 0$ сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - x - 56 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-56) = 1 + 224 = 225 = 15^2$.

Найдем корни по формуле: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 15}{2}$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{1 + 15}{2} = 8$ и $x_2 = \frac{1 - 15}{2} = -7$.

Парабола $y = x^2 - x - 56$ имеет ветви, направленные вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Следовательно, квадратичная функция принимает неотрицательные значения ($\ge 0$) на промежутках вне корней, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty; -7] \cup [8; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -7] \cup [8; +\infty)$.

2) Решим неравенство $-x^2 + x + 72 > 0$. Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства: $x^2 - x - 72 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - x - 72 = 0$.

Дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 1 + 288 = 289 = 17^2$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{1 \pm 17}{2}$. Получаем $x_1 = 9$ и $x_2 = -8$.

Парабола $y = x^2 - x - 72$ имеет ветви, направленные вверх ($a=1 > 0$). Функция принимает отрицательные значения ($< 0$) между корнями.

Решение неравенства: $x \in (-8; 9)$.

Ответ: $(-8; 9)$.

3) Решим неравенство $x^2 + x - 90 < 0$. Найдем корни уравнения $x^2 + x - 90 = 0$.

Дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-90) = 1 + 360 = 361 = 19^2$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{-1 \pm 19}{2}$. Получаем $x_1 = 9$ и $x_2 = -10$.

Парабола $y = x^2 + x - 90$ имеет ветви, направленные вверх ($a=1 > 0$). Функция принимает отрицательные значения ($< 0$) между корнями.

Решение неравенства: $x \in (-10; 9)$.

Ответ: $(-10; 9)$.

4) Решим неравенство $x^2 + x - 210 \le 0$. Найдем корни уравнения $x^2 + x - 210 = 0$.

Дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-210) = 1 + 840 = 841 = 29^2$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{-1 \pm 29}{2}$. Получаем $x_1 = 14$ и $x_2 = -15$.

Парабола $y = x^2 + x - 210$ имеет ветви, направленные вверх ($a=1 > 0$). Функция принимает неположительные значения ($\le 0$) между корнями, включая сами корни.

Решение неравенства: $x \in [-15; 14]$.

Ответ: $[-15; 14]$.

5) Решим неравенство $2x^2 - 7x + 6 < 0$. Найдем корни уравнения $2x^2 - 7x + 6 = 0$.

Дискриминант: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1 = 1^2$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{7 \pm 1}{4}$. Получаем $x_1 = 2$ и $x_2 = 1.5$.

Парабола $y = 2x^2 - 7x + 6$ имеет ветви, направленные вверх ($a=2 > 0$). Функция принимает отрицательные значения ($< 0$) между корнями.

Решение неравенства: $x \in (1.5; 2)$.

Ответ: $(1.5; 2)$.

6) Решим неравенство $25x^2 + 90x + 81 \le 0$. Заметим, что левая часть является полным квадратом: $25x^2 + 90x + 81 = (5x+9)^2$.

Неравенство принимает вид $(5x+9)^2 \le 0$.

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Он может быть только равен нулю. Поэтому неравенство выполняется только в том случае, когда $(5x+9)^2 = 0$.

Это происходит при $5x+9=0$, откуда $x = -9/5 = -1.8$.

Решением является единственное число.

Ответ: $x = -1.8$.

7) Решим неравенство $5x^2 - 12x + 4 > 0$. Найдем корни уравнения $5x^2 - 12x + 4 = 0$.

Дискриминант: $D = (-12)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 4 = 144 - 80 = 64 = 8^2$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{12 \pm 8}{10}$. Получаем $x_1 = 2$ и $x_2 = 0.4$.

Парабола $y = 5x^2 - 12x + 4$ имеет ветви, направленные вверх ($a=5 > 0$). Функция принимает положительные значения ($> 0$) вне корней.

Решение неравенства: $x \in (-\infty; 0.4) \cup (2; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; 0.4) \cup (2; +\infty)$.

8) Решим неравенство $36x^2 - 84x + 49 > 0$. Левая часть является полным квадратом: $36x^2 - 84x + 49 = (6x-7)^2$.

Неравенство принимает вид $(6x-7)^2 > 0$.

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Он равен нулю при $6x-7=0$, то есть при $x = 7/6$. Во всех остальных случаях квадрат строго положителен.

Таким образом, неравенство верно для всех $x$, кроме $x = 7/6$.

Ответ: $(-\infty; 7/6) \cup (7/6; +\infty)$.

9) Решим неравенство $0.25x^2 - x > -1$. Перенесем -1 в левую часть: $0.25x^2 - x + 1 > 0$.

Умножим обе части на 4, чтобы избавиться от дроби: $x^2 - 4x + 4 > 0$.

Левая часть является полным квадратом: $x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$.

Неравенство принимает вид $(x-2)^2 > 0$.

Квадрат действительного числа положителен всегда, кроме случая, когда он равен нулю. Это происходит при $x-2=0$, то есть при $x = 2$.

Решение: все действительные числа, кроме $x=2$.

Ответ: $(-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

10) Решим неравенство $7x^2 + 18x < -5$. Перенесем -5 в левую часть: $7x^2 + 18x + 5 < 0$.

Найдем корни уравнения $7x^2 + 18x + 5 = 0$.

Дискриминант: $D = 18^2 - 4 \cdot 7 \cdot 5 = 324 - 140 = 184$. $\sqrt{184} = \sqrt{4 \cdot 46} = 2\sqrt{46}$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{-18 \pm 2\sqrt{46}}{14} = \frac{-9 \pm \sqrt{46}}{7}$.

Парабола $y = 7x^2 + 18x + 5$ имеет ветви вверх ($a=7 > 0$). Функция принимает отрицательные значения ($< 0$) между корнями.

Решение неравенства: $x \in (\frac{-9 - \sqrt{46}}{7}; \frac{-9 + \sqrt{46}}{7})$.

Ответ: $(\frac{-9 - \sqrt{46}}{7}; \frac{-9 + \sqrt{46}}{7})$.

11) Решим неравенство $-3x^2 + 11x + 4 \le 0$. Умножим на -1 и сменим знак: $3x^2 - 11x - 4 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $3x^2 - 11x - 4 = 0$.

Дискриминант: $D = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 121 + 48 = 169 = 13^2$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{11 \pm 13}{6}$. Получаем $x_1 = 4$ и $x_2 = -1/3$.

Парабола $y = 3x^2 - 11x - 4$ имеет ветви вверх ($a=3 > 0$). Функция принимает неотрицательные значения ($\ge 0$) вне корней, включая корни.

Решение неравенства: $x \in (-\infty; -1/3] \cup [4; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -1/3] \cup [4; +\infty)$.

12) Решим неравенство $9x^2 - 4x - 2 \ge 0$. Найдем корни уравнения $9x^2 - 4x - 2 = 0$.

Дискриминант: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-2) = 16 + 72 = 88$. $\sqrt{88} = \sqrt{4 \cdot 22} = 2\sqrt{22}$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{22}}{18} = \frac{2 \pm \sqrt{22}}{9}$.

Парабола $y = 9x^2 - 4x - 2$ имеет ветви вверх ($a=9 > 0$). Функция принимает неотрицательные значения ($\ge 0$) вне корней, включая корни.

Решение неравенства: $x \in (-\infty; \frac{2-\sqrt{22}}{9}] \cup [\frac{2+\sqrt{22}}{9}; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; \frac{2-\sqrt{22}}{9}] \cup [\frac{2+\sqrt{22}}{9}; +\infty)$.

13) Решим неравенство $3y^2 + 7y + 4 < 0$. Найдем корни уравнения $3y^2 + 7y + 4 = 0$.

Дискриминант: $D = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1 = 1^2$.

Корни: $y_{1,2} = \frac{-7 \pm 1}{6}$. Получаем $y_1 = -1$ и $y_2 = -8/6 = -4/3$.

Парабола $z = 3y^2 + 7y + 4$ имеет ветви вверх ($a=3 > 0$). Функция принимает отрицательные значения ($< 0$) между корнями.

Решение неравенства: $y \in (-4/3; -1)$.

Ответ: $(-4/3; -1)$.

14) Решим неравенство $3y^2 - 6y + 3 > 0$. Разделим обе части на 3: $y^2 - 2y + 1 > 0$.

Левая часть является полным квадратом: $y^2 - 2y + 1 = (y-1)^2$.

Неравенство принимает вид $(y-1)^2 > 0$.

Квадрат действительного числа положителен всегда, кроме случая, когда он равен нулю. Это происходит при $y-1=0$, то есть при $y = 1$.

Решение: все действительные числа, кроме $y=1$.

Ответ: $(-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

15) Решим неравенство $9y^2 - 6y + 1 < 0$. Левая часть является полным квадратом: $9y^2 - 6y + 1 = (3y-1)^2$.

Неравенство принимает вид $(3y-1)^2 < 0$.

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Он всегда больше или равен нулю. Следовательно, данное неравенство не имеет решений.

Решений нет.

Ответ: $\emptyset$.

16) Решим неравенство $2y^2 + 9y - 486 \le 0$. Найдем корни уравнения $2y^2 + 9y - 486 = 0$.

Дискриминант: $D = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-486) = 81 + 3888 = 3969 = 63^2$.

Корни: $y_{1,2} = \frac{-9 \pm 63}{4}$. Получаем $y_1 = \frac{54}{4} = 13.5$ и $y_2 = \frac{-72}{4} = -18$.

Парабола $z = 2y^2 + 9y - 486$ имеет ветви вверх ($a=2 > 0$). Функция принимает неположительные значения ($\le 0$) между корнями, включая корни.

Решение неравенства: $y \in [-18; 13.5]$.

Ответ: $[-18; 13.5]$.

18.6. Решите неравенство:

1) $5x^2 - 7x - 6 > 0;$

2) $3x^2 - 8x + 11 < 0;$

3) $-x^2 - 2x - 6 \ge 0;$

4) $-2x^2 - 9x + 11 \le 0;$

5) $5x^2 - 6 \le 0;$

6) $x^2 - 7x + 6 > 0;$

7) $5x^2 - x + 6 < 0;$

8) $-7x^2 + 12x + 4 > 0;$

9) $\frac{2}{3}x^2 - \frac{1}{6}x - \frac{1}{2} > 0;$

10) $\frac{2}{5}x^2 + \frac{1}{10}x - \frac{1}{2} \le 0;$

11) $\frac{3}{7}x^2 + \frac{1}{14}x - \frac{1}{2} \ge 0;$

12) $1\frac{1}{3}x^2 - 2\frac{5}{6}x + 1\frac{1}{2} > 0.$

1)

Решим неравенство $5x^2 - 7x - 6 > 0$.
Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $5x^2 - 7x - 6 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-6) = 49 + 120 = 169 = 13^2$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 13}{2 \cdot 5} = \frac{-6}{10} = -0.6$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 13}{2 \cdot 5} = \frac{20}{10} = 2$
Графиком функции $y = 5x^2 - 7x - 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент $a=5 > 0$. Парабола пересекает ось Ox в точках $x = -0.6$ и $x = 2$.
Неравенство $5x^2 - 7x - 6 > 0$ выполняется на тех промежутках, где парабола находится выше оси Ox, то есть вне интервала между корнями.

Ответ: $x \in (-\infty; -0.6) \cup (2; +\infty)$.

2)

Решим неравенство $3x^2 - 8x + 11 < 0$.
Рассмотрим функцию $y = 3x^2 - 8x + 11$ и найдем нули, решив уравнение $3x^2 - 8x + 11 = 0$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 11 = 64 - 132 = -68$.
Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось Ox.
Коэффициент $a=3 > 0$, поэтому ветви параболы направлены вверх. Следовательно, вся парабола расположена выше оси Ox, и значения функции $y = 3x^2 - 8x + 11$ всегда положительны.
Неравенство $3x^2 - 8x + 11 < 0$ требует найти значения $x$, при которых функция отрицательна. Таких значений не существует.

Ответ: решений нет ($x \in \emptyset$).

3)

Решим неравенство $-x^2 - 2x - 6 \ge 0$.
Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства: $x^2 + 2x + 6 \le 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + 2x + 6 = 0$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 4 - 24 = -20$.
Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Парабола $y = x^2 + 2x + 6$ не пересекает ось Ox.
Коэффициент $a=1 > 0$, ветви параболы направлены вверх, значит, функция всегда принимает положительные значения.
Неравенство $x^2 + 2x + 6 \le 0$ требует, чтобы функция была меньше или равна нулю, что невозможно.
Ответ: решений нет ($x \in \emptyset$).

4)

Решим неравенство $-2x^2 - 9x + 11 \le 0$.
Умножим обе части на -1, изменив знак: $2x^2 + 9x - 11 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $2x^2 + 9x - 11 = 0$.
Дискриминант: $D = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-11) = 81 + 88 = 169 = 13^2$.
$x_1 = \frac{-9 - 13}{2 \cdot 2} = \frac{-22}{4} = -5.5$
$x_2 = \frac{-9 + 13}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$
Графиком $y = 2x^2 + 9x - 11$ является парабола с ветвями вверх ($a=2 > 0$). Она положительна или равна нулю вне интервала между корнями.

Ответ: $x \in (-\infty; -5.5] \cup [1; +\infty)$.

5)

Решим неравенство $5x^2 - 6 \le 0$.
Найдем корни уравнения $5x^2 - 6 = 0$.
$5x^2 = 6 \implies x^2 = \frac{6}{5} \implies x = \pm\sqrt{\frac{6}{5}} = \pm\frac{\sqrt{30}}{5}$.
Парабола $y = 5x^2 - 6$ имеет ветви вверх ($a=5 > 0$). Неравенство $\le 0$ выполняется между корнями, включая сами корни.

Ответ: $x \in [-\sqrt{\frac{6}{5}}; \sqrt{\frac{6}{5}}]$.

6)

Решим неравенство $x^2 - 7x + 6 > 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 7x + 6 = 0$.
По теореме Виета, $x_1 + x_2 = 7$ и $x_1 \cdot x_2 = 6$. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 6$.
Парабола $y = x^2 - 7x + 6$ с ветвями вверх ($a=1 > 0$) положительна вне интервала между корнями.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (6; +\infty)$.

7)

Решим неравенство $5x^2 - x + 6 < 0$.
Найдем корни уравнения $5x^2 - x + 6 = 0$.
Дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 6 = 1 - 120 = -119$.
Так как $D < 0$ и $a=5 > 0$, парабола $y = 5x^2 - x + 6$ целиком лежит выше оси Ox и принимает только положительные значения. Следовательно, неравенство $5x^2 - x + 6 < 0$ не имеет решений.
Ответ: решений нет ($x \in \emptyset$).

8)

Решим неравенство $-7x^2 + 12x + 4 > 0$.
Умножим на -1: $7x^2 - 12x - 4 < 0$.
Найдем корни уравнения $7x^2 - 12x - 4 = 0$.
Дискриминант: $D = (-12)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-4) = 144 + 112 = 256 = 16^2$.
$x_1 = \frac{12 - 16}{2 \cdot 7} = \frac{-4}{14} = -\frac{2}{7}$
$x_2 = \frac{12 + 16}{2 \cdot 7} = \frac{28}{14} = 2$
Парабола $y = 7x^2 - 12x - 4$ с ветвями вверх ($a=7>0$) отрицательна на интервале между корнями.

Ответ: $x \in (-\frac{2}{7}; 2)$.

9)

Решим неравенство $\frac{2}{3}x^2 - \frac{1}{6}x - \frac{1}{2} > 0$.
Умножим обе части на 6, чтобы избавиться от дробей: $4x^2 - x - 3 > 0$.
Найдем корни уравнения $4x^2 - x - 3 = 0$.
Дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49 = 7^2$.
$x_1 = \frac{1 - 7}{2 \cdot 4} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4}$
$x_2 = \frac{1 + 7}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1$
Парабола $y = 4x^2 - x - 3$ с ветвями вверх ($a=4>0$) положительна вне интервала между корнями.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{3}{4}) \cup (1; +\infty)$.

10)

Решим неравенство $\frac{2}{5}x^2 + \frac{1}{10}x - \frac{1}{2} \le 0$.
Умножим обе части на 10: $4x^2 + x - 5 \le 0$.
Найдем корни уравнения $4x^2 + x - 5 = 0$.
Дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 1 + 80 = 81 = 9^2$.
$x_1 = \frac{-1 - 9}{2 \cdot 4} = \frac{-10}{8} = -\frac{5}{4}$
$x_2 = \frac{-1 + 9}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1$
Парабола $y = 4x^2 + x - 5$ с ветвями вверх ($a=4>0$) отрицательна или равна нулю на отрезке между корнями.

Ответ: $x \in [-\frac{5}{4}; 1]$.

11)

Решим неравенство $\frac{3}{7}x^2 + \frac{1}{14}x - \frac{1}{2} \ge 0$.
Умножим обе части на 14: $6x^2 + x - 7 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $6x^2 + x - 7 = 0$.
Дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-7) = 1 + 168 = 169 = 13^2$.
$x_1 = \frac{-1 - 13}{2 \cdot 6} = \frac{-14}{12} = -\frac{7}{6}$
$x_2 = \frac{-1 + 13}{2 \cdot 6} = \frac{12}{12} = 1$
Парабола $y = 6x^2 + x - 7$ с ветвями вверх ($a=6>0$) положительна или равна нулю вне отрезка между корнями.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{7}{6}] \cup [1; +\infty)$.

12)

Решим неравенство $1\frac{1}{3}x^2 - 2\frac{5}{6}x + 1\frac{1}{2} > 0$.
Переведем смешанные дроби в неправильные: $\frac{4}{3}x^2 - \frac{17}{6}x + \frac{3}{2} > 0$.
Умножим обе части на 6: $8x^2 - 17x + 9 > 0$.
Найдем корни уравнения $8x^2 - 17x + 9 = 0$.
Дискриминант: $D = (-17)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 9 = 289 - 288 = 1$.
$x_1 = \frac{17 - 1}{2 \cdot 8} = \frac{16}{16} = 1$
$x_2 = \frac{17 + 1}{2 \cdot 8} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$
Парабола $y = 8x^2 - 17x + 9$ с ветвями вверх ($a=8>0$) положительна вне интервала между корнями.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (\frac{9}{8}; +\infty)$.

18.7. Решите неравенство:

1) $(x - 3)^2 > 4;$

2) $(x + 3)^2 \le 16;$

3) $(2x - 3)^2 > 25;$

4) $(2x + 7)^2 \le 169.$

1) Решим неравенство $(x - 3)^2 > 4$.
Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств:
$x - 3 > \sqrt{4}$ или $x - 3 < -\sqrt{4}$
$x - 3 > 2$ или $x - 3 < -2$
$x > 5$ или $x < 1$
Таким образом, решение представляет собой объединение двух интервалов.
Альтернативный метод (через разность квадратов):
Перенесем 4 в левую часть:
$(x - 3)^2 - 4 > 0$
Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$((x - 3) - 2)((x - 3) + 2) > 0$
$(x - 5)(x - 1) > 0$
Рассмотрим функцию $y = (x - 5)(x - 1)$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Она пересекает ось Ox в точках $x=1$ и $x=5$. Значения функции положительны при $x$ левее меньшего корня и правее большего корня.
Следовательно, $x \in (-\infty; 1) \cup (5; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; 1) \cup (5; +\infty)$.

2) Решим неравенство $(x + 3)^2 \le 16$.
Это неравенство равносильно двойному неравенству:
$-\sqrt{16} \le x + 3 \le \sqrt{16}$
$-4 \le x + 3 \le 4$
Вычтем 3 из всех частей неравенства:
$-4 - 3 \le x \le 4 - 3$
$-7 \le x \le 1$
Альтернативный метод (через разность квадратов):
$(x + 3)^2 - 16 \le 0$
$((x + 3) - 4)((x + 3) + 4) \le 0$
$(x - 1)(x + 7) \le 0$
Рассмотрим параболу $y = (x - 1)(x + 7)$ с ветвями вверх. Корни уравнения $(x - 1)(x + 7) = 0$ равны $x_1 = -7$ и $x_2 = 1$. Значения функции неположительны (меньше или равны нулю) между корнями, включая сами корни.
Следовательно, $x \in [-7; 1]$.
Ответ: $[-7; 1]$.

3) Решим неравенство $(2x - 3)^2 > 25$.
Неравенство равносильно совокупности:
$2x - 3 > \sqrt{25}$ или $2x - 3 < -\sqrt{25}$
$2x - 3 > 5$ или $2x - 3 < -5$
$2x > 8$ или $2x < -2$
$x > 4$ или $x < -1$
Альтернативный метод (через разность квадратов):
$(2x - 3)^2 - 25 > 0$
$((2x - 3) - 5)((2x - 3) + 5) > 0$
$(2x - 8)(2x + 2) > 0$
$4(x - 4)(x + 1) > 0$
$(x - 4)(x + 1) > 0$
Корни соответствующего уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = 4$. Ветви параболы $y=(x - 4)(x + 1)$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями.
Следовательно, $x \in (-\infty; -1) \cup (4; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; -1) \cup (4; +\infty)$.

4) Решим неравенство $(2x + 7)^2 \le 169$.
Неравенство равносильно двойному неравенству, так как $169 = 13^2$:
$-\sqrt{169} \le 2x + 7 \le \sqrt{169}$
$-13 \le 2x + 7 \le 13$
Вычтем 7 из всех частей:
$-13 - 7 \le 2x \le 13 - 7$
$-20 \le 2x \le 6$
Разделим все части на 2:
$-10 \le x \le 3$
Альтернативный метод (через разность квадратов):
$(2x + 7)^2 - 169 \le 0$
$((2x + 7) - 13)((2x + 7) + 13) \le 0$
$(2x - 6)(2x + 20) \le 0$
$4(x - 3)(x + 10) \le 0$
$(x - 3)(x + 10) \le 0$
Корни соответствующего уравнения: $x_1 = -10$ и $x_2 = 3$. Ветви параболы $y=(x - 3)(x + 10)$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется на отрезке между корнями.
Следовательно, $x \in [-10; 3]$.
Ответ: $[-10; 3]$.

18.8. Найдите коэффициенты $p$ и $q$ функции:

1) $y = x^2 + px + q$, если известно, что она принимает отрицательные значения только при $-3 < x < 4$;

2) $y = -2x^2 + px + q$, если известно, что она принимает положительные значения только при $-2 < x < 6$;

3) $y = -3x^2 + px + q$, если известно, что она принимает неположительные значения только при $x \in (-\infty; -3] \cup [4; +\infty)$;

4) $y = 5x^2 + px + q$, если известно, что она принимает неотрицательные значения только при $x \in (-\infty; -4] \cup [6; +\infty)$.

1) Дана функция $y = x^2 + px + q$. По условию, функция принимает отрицательные значения ($y < 0$) только на интервале $(-3; 4)$.

Графиком данной квадратичной функции является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a=1$, что больше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Парабола с ветвями вверх принимает отрицательные значения между своими корнями. Таким образом, числа $x_1 = -3$ и $x_2 = 4$ являются корнями уравнения $x^2 + px + q = 0$.

По теореме Виета для приведенного квадратного уравнения ($a=1$):

$x_1 + x_2 = -p \implies -3 + 4 = -p \implies 1 = -p \implies p = -1$

$x_1 \cdot x_2 = q \implies (-3) \cdot 4 = q \implies q = -12$

Ответ: $p = -1, q = -12$.

2) Дана функция $y = -2x^2 + px + q$. По условию, функция принимает положительные значения ($y > 0$) только на интервале $(-2; 6)$.

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ равен $a=-2 < 0$. Парабола с ветвями вниз принимает положительные значения между своими корнями. Следовательно, $x_1 = -2$ и $x_2 = 6$ являются корнями уравнения $-2x^2 + px + q = 0$.

По обобщенной теореме Виета для уравнения $ax^2+bx+c=0$ ($x_1+x_2 = -b/a$, $x_1 \cdot x_2 = c/a$), где в нашем случае $a=-2$, $b=p$, $c=q$:

$x_1 + x_2 = -p/a \implies -2 + 6 = -p/(-2) \implies 4 = p/2 \implies p = 8$

$x_1 \cdot x_2 = q/a \implies (-2) \cdot 6 = q/(-2) \implies -12 = q/(-2) \implies q = 24$

Ответ: $p = 8, q = 24$.

3) Дана функция $y = -3x^2 + px + q$. По условию, функция принимает неположительные значения ($y \le 0$) только при $x \in (-\infty; -3] \cup [4; +\infty)$.

Графиком является парабола с ветвями вниз ($a = -3 < 0$). Такая парабола принимает неположительные значения на промежутках вне своих корней, включая сами корни. Следовательно, $x_1 = -3$ и $x_2 = 4$ являются корнями уравнения $-3x^2 + px + q = 0$.

По обобщенной теореме Виета ($a=-3, b=p, c=q$):

$x_1 + x_2 = -p/a \implies -3 + 4 = -p/(-3) \implies 1 = p/3 \implies p = 3$

$x_1 \cdot x_2 = q/a \implies (-3) \cdot 4 = q/(-3) \implies -12 = q/(-3) \implies q = 36$

Ответ: $p = 3, q = 36$.

4) Дана функция $y = 5x^2 + px + q$. По условию, функция принимает неотрицательные значения ($y \ge 0$) только при $x \in (-\infty; -4] \cup [6; +\infty)$.

Графиком является парабола с ветвями вверх ($a = 5 > 0$). Такая парабола принимает неотрицательные значения на промежутках вне своих корней, включая сами корни. Следовательно, $x_1 = -4$ и $x_2 = 6$ являются корнями уравнения $5x^2 + px + q = 0$.

По обобщенной теореме Виета ($a=5, b=p, c=q$):

$x_1 + x_2 = -p/a \implies -4 + 6 = -p/5 \implies 2 = -p/5 \implies p = -10$

$x_1 \cdot x_2 = q/a \implies (-4) \cdot 6 = q/5 \implies -24 = q/5 \implies q = -120$

Ответ: $p = -10, q = -120$.