Страница 147 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Как называется множество, которое образуют все значения переменной, удовлетворяющие квадратному неравенству?

2. При каких значениях коэффициента $a$ и дискриминанта $D$ решением квадратного неравенства является пустое множество?

3. В каком случае ветви параболы $y = ax^2 + bx + c$ направлены вверх; вниз?

4. Равносильны ли неравенства: $-x^2 - 5x + 3 < 0$ и $x^2 + 5x - 3 < 0$?

1. Множество всех значений переменной, которые обращают неравенство в верное числовое неравенство, называется множеством решений неравенства или просто решением неравенства. Это множество может быть интервалом, объединением интервалов, отдельными точками или пустым множеством.

Ответ: Множество решений неравенства.

2. Решением квадратного неравенства является пустое множество, когда график соответствующей квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ целиком расположен так, что ни одна его точка не удовлетворяет условию неравенства. Это зависит от знака старшего коэффициента $a$ (который определяет направление ветвей параболы) и знака дискриминанта $D = b^2 - 4ac$ (который определяет количество точек пересечения с осью Ox).

Рассмотрим четыре вида квадратных неравенств:

• Для неравенства $ax^2 + bx + c > 0$ решением будет пустое множество, если парабола полностью расположена ниже оси Ox или касается ее. Это возможно, только если ветви параболы направлены вниз ($a < 0$) и она не имеет точек выше оси Ox. Условие: $a < 0$ и $D \leq 0$.

• Для неравенства $ax^2 + bx + c \geq 0$ решением будет пустое множество, если парабола полностью расположена строго ниже оси Ox. Это возможно, только если ветви параболы направлены вниз ($a < 0$) и она не пересекает ось Ox. Условие: $a < 0$ и $D < 0$.

• Для неравенства $ax^2 + bx + c < 0$ решением будет пустое множество, если парабола полностью расположена выше оси Ox или касается ее. Это возможно, только если ветви параболы направлены вверх ($a > 0$) и она не имеет точек ниже оси Ox. Условие: $a > 0$ и $D \leq 0$.

• Для неравенства $ax^2 + bx + c \leq 0$ решением будет пустое множество, если парабола полностью расположена строго выше оси Ox. Это возможно, только если ветви параболы направлены вверх ($a > 0$) и она не пересекает ось Ox. Условие: $a > 0$ и $D < 0$.

Ответ: Пустое множество является решением в следующих случаях:
1) для $ax^2 + bx + c > 0$ при $a < 0$ и $D \leq 0$;
2) для $ax^2 + bx + c \geq 0$ при $a < 0$ и $D < 0$;
3) для $ax^2 + bx + c < 0$ при $a > 0$ и $D \leq 0$;
4) для $ax^2 + bx + c \leq 0$ при $a > 0$ и $D < 0$.

3. Направление ветвей параболы, заданной уравнением $y = ax^2 + bx + c$, определяется знаком старшего коэффициента $a$.
• Если коэффициент $a > 0$, то ветви параболы направлены вверх.
• Если коэффициент $a < 0$, то ветви параболы направлены вниз.

Ответ: Ветви параболы направлены вверх при $a > 0$ и вниз при $a < 0$.

4. Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают. Проверим, равносильны ли данные неравенства.

Первое неравенство: $-x^2 - 5x + 3 < 0$.
Умножим обе части этого неравенства на $-1$. При умножении на отрицательное число знак неравенства необходимо изменить на противоположный:
$(-1) \cdot (-x^2 - 5x + 3) > (-1) \cdot 0$
$x^2 + 5x - 3 > 0$

Второе неравенство: $x^2 + 5x - 3 < 0$.

Таким образом, исходные неравенства равносильны неравенствам $x^2 + 5x - 3 > 0$ и $x^2 + 5x - 3 < 0$.
Рассмотрим квадратичную функцию $y = x^2 + 5x - 3$. Ветви параболы направлены вверх ($a=1 > 0$). Найдем ее корни:
$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 25 + 12 = 37$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня: $x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{37}}{2}$.
Решением неравенства $x^2 + 5x - 3 > 0$ являются значения $x$, при которых парабола находится выше оси Ox, то есть $x \in (-\infty; \frac{-5-\sqrt{37}}{2}) \cup (\frac{-5+\sqrt{37}}{2}; +\infty)$.
Решением неравенства $x^2 + 5x - 3 < 0$ являются значения $x$, при которых парабола находится ниже оси Ox, то есть $x \in (\frac{-5-\sqrt{37}}{2}; \frac{-5+\sqrt{37}}{2})$.
Множества решений не совпадают. Следовательно, неравенства не являются равносильными.

Ответ: Нет, неравенства не равносильны.

18.1. Используя график функции, найдите множество значений переменной, при которых принимает неотрицательные значения функция:

1) $y = x^2 - 9$; 2) $y = 2x^2 - 6$; 3) $y = 5 - x^2$; 4) $y = 6 - 2x^2$.

1)

Рассмотрим функцию $y = x^2 - 9$. Это квадратичная функция, ее график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число), ветви параболы направлены вверх.

Чтобы найти, при каких значениях $x$ функция принимает неотрицательные значения ($y \ge 0$), сначала найдем точки, в которых функция равна нулю ($y=0$). Это точки пересечения графика с осью абсцисс (Ox).

$x^2 - 9 = 0$

$(x - 3)(x + 3) = 0$

$x_1 = 3$, $x_2 = -3$

Вершина параболы находится в точке $(0, -9)$.

Изобразим схематический график функции. Парабола пересекает ось Ox в точках $x = -3$ и $x = 3$ и ее ветви направлены вверх.

Из графика видно, что значения функции неотрицательны ($y \ge 0$), когда график находится на оси Ox или выше нее. Это происходит на двух промежутках: от $-\infty$ до $-3$ включительно и от $3$ включительно до $+\infty$.

Ответ: $(-\infty, -3] \cup [3, \infty)$.

2)

Рассмотрим функцию $y = 2x^2 - 6$. Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 2 (положительное число), поэтому ветви параболы направлены вверх.

Найдем точки пересечения графика с осью Ox, решив уравнение $y = 0$:

$2x^2 - 6 = 0$

$2x^2 = 6$

$x^2 = 3$

$x_1 = \sqrt{3}$, $x_2 = -\sqrt{3}$

Вершина параболы находится в точке $(0, -6)$.

Изобразим схематический график. Парабола пересекает ось Ox в точках $x = -\sqrt{3}$ и $x = \sqrt{3}$ и ее ветви направлены вверх.

Функция принимает неотрицательные значения ($y \ge 0$) на участках, где ее график лежит на оси Ox или выше. Из графика видно, что это выполняется при $x \le -\sqrt{3}$ и при $x \ge \sqrt{3}$.

Ответ: $(-\infty, -\sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}, \infty)$.

3)

Рассмотрим функцию $y = 5 - x^2$. Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен -1 (отрицательное число), поэтому ветви параболы направлены вниз.

Найдем точки пересечения графика с осью Ox, решив уравнение $y = 0$:

$5 - x^2 = 0$

$x^2 = 5$

$x_1 = \sqrt{5}$, $x_2 = -\sqrt{5}$

Вершина параболы находится в точке $(0, 5)$.

Изобразим схематический график. Парабола пересекает ось Ox в точках $x = -\sqrt{5}$ и $x = \sqrt{5}$ и ее ветви направлены вниз.

Функция принимает неотрицательные значения ($y \ge 0$), когда ее график находится на оси Ox или выше нее. Из графика видно, что это происходит на промежутке между корнями, включая сами корни.

Ответ: $[-\sqrt{5}, \sqrt{5}]$.

4)

Рассмотрим функцию $y = 6 - 2x^2$. Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен -2 (отрицательное число), поэтому ветви параболы направлены вниз.

Найдем точки пересечения графика с осью Ox, решив уравнение $y = 0$:

$6 - 2x^2 = 0$

$2x^2 = 6$

$x^2 = 3$

$x_1 = \sqrt{3}$, $x_2 = -\sqrt{3}$

Вершина параболы находится в точке $(0, 6)$.

Изобразим схематический график. Парабола пересекает ось Ox в точках $x = -\sqrt{3}$ и $x = \sqrt{3}$ и ее ветви направлены вниз.

Функция принимает неотрицательные значения ($y \ge 0$), когда ее график находится на оси Ox или выше нее. Из графика видно, что это выполняется для всех $x$ между $-\sqrt{3}$ и $\sqrt{3}$, включая эти точки.

Ответ: $[-\sqrt{3}, \sqrt{3}]$.

18.2. Используя график функции, найдите множество значений переменной, при которых принимает неположительные значения функция:

1) $y = 2x^2 - 6x;$

2) $y = -3x^2 + 5x;$

3) $y = -x^2 + 4x - 4;$

4) $y = -2x^2 - 2,6x.$

Для решения задачи "Используя график функции, найдите множество значений переменной, при которых принимает неположительные значения функция" необходимо для каждой квадратичной функции определить направление ветвей параболы и ее точки пересечения с осью абсцисс (нули функции). Неположительные значения означают $y \le 0$, то есть та часть графика, которая лежит на оси Ox или ниже нее.

1) $y = 2x^2 - 6x$

Графиком данной функции является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $2$, он положителен ($a > 0$), следовательно, ветви параболы направлены вверх. Найдем нули функции, решив уравнение $2x^2 - 6x = 0$. Вынесем общий множитель за скобки: $2x(x - 3) = 0$. Корнями уравнения являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$. Это точки, в которых парабола пересекает ось Ox. Так как ветви параболы направлены вверх, функция принимает неположительные значения ($y \le 0$) на промежутке между корнями, включая сами корни.

Ответ: $x \in [0, 3]$.

2) $y = -3x^2 + 5x$

Графиком функции является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $-3$, он отрицателен ($a < 0$), поэтому ветви параболы направлены вниз. Найдем нули функции, решив уравнение $-3x^2 + 5x = 0$. Вынесем $x$ за скобки: $x(-3x + 5) = 0$. Корнями являются $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{5}{3}$. Поскольку ветви параболы направлены вниз, функция принимает неположительные значения ($y \le 0$) на участках левее меньшего корня и правее большего корня. Таким образом, график находится на оси Ox или ниже нее при $x \le 0$ или $x \ge \frac{5}{3}$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0] \cup [\frac{5}{3}, +\infty)$.

3) $y = -x^2 + 4x - 4$

Графиком функции является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $-1$, он отрицателен ($a < 0$), значит, ветви параболы направлены вниз. Найдем нули функции, решив уравнение $-x^2 + 4x - 4 = 0$. Умножим уравнение на $-1$: $x^2 - 4x + 4 = 0$. Это выражение является полным квадратом: $(x - 2)^2 = 0$. Уравнение имеет один корень $x = 2$ (кратности 2). Это означает, что парабола не пересекает ось Ox, а касается ее в своей вершине в точке $(2, 0)$. Так как ветви параболы направлены вниз, вся парабола расположена ниже оси Ox, за исключением точки касания, где $y=0$. Следовательно, функция принимает неположительные значения ($y \le 0$) при всех действительных значениях $x$.

Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.

4) $y = -2x^2 - 2,6x$

Графиком функции является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $-2$, он отрицателен ($a < 0$), поэтому ветви параболы направлены вниз. Найдем нули функции, решив уравнение $-2x^2 - 2,6x = 0$. Вынесем $-x$ за скобки: $-x(2x + 2,6) = 0$. Корнями являются $x_1 = 0$ и $2x + 2,6 = 0 \Rightarrow 2x = -2,6 \Rightarrow x_2 = -1,3$. Так как ветви параболы направлены вниз, функция принимает неположительные значения ($y \le 0$) на участках левее меньшего корня ($-1,3$) и правее большего корня ($0$), включая сами корни.

Ответ: $x \in (-\infty, -1,3] \cup [0, +\infty)$.