Страница 140 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

17.4. Ученик по алгебре за III четверть получил оценки, представленные в таблице 28.

Таблица 28

1) Найдите объем генеральной совокупности оценок ученика.

2) Найдите среднее значение его оценок.

3) Какую оценку получил ученик за III четверть?

4) Найдите относительные частоты оценок ученика (заполните таблицу 28).

1) Найдите объем генеральной совокупности оценок ученика.

Объем генеральной совокупности (общее количество оценок) равен сумме абсолютных частот. Абсолютная частота показывает, сколько раз ученик получил каждую конкретную оценку. В таблице указаны абсолютные частоты для оценок "3", "4" и "5". Для оценки "2" стоит прочерк, что означает, что ученик не получал двоек, то есть ее абсолютная частота равна 0.

Сложим все абсолютные частоты, чтобы найти общий объем совокупности $N$:

$N = 0 + 4 + 6 + 5 = 15$

Таким образом, ученик получил всего 15 оценок за III четверть.

Ответ: 15.

2) Найдите среднее значение его оценок.

Среднее значение оценок (средний балл) вычисляется как сумма всех полученных оценок, разделенная на их общее количество. Это также называют средним арифметическим взвешенным.

Сначала найдем сумму всех оценок, умножив каждую оценку на ее абсолютную частоту и сложив результаты:

Сумма оценок = $(2 \cdot 0) + (3 \cdot 4) + (4 \cdot 6) + (5 \cdot 5) = 0 + 12 + 24 + 25 = 61$.

Общее количество оценок, как мы нашли в пункте 1, равно 15.

Теперь разделим сумму оценок на их количество, чтобы найти среднее значение $\bar{x}$:

$\bar{x} = \frac{\text{Сумма всех оценок}}{\text{Общее количество оценок}} = \frac{61}{15}$

Для удобства можно перевести дробь в десятичный вид:

$\frac{61}{15} \approx 4.067$

Ответ: $\frac{61}{15}$ (приблизительно 4.07).

3) Какую оценку получил ученик за III четверть?

Итоговая оценка за четверть обычно выставляется на основе среднего балла. Средний балл ученика, как мы выяснили, составляет $\bar{x} \approx 4.07$.

В школьной практике такой средний балл, как правило, округляется до целого числа, что соответствует итоговой оценке "4" (хорошо).

Ответ: 4.

4) Найдите относительные частоты оценок ученика (заполните таблицу 28).

Относительная частота показывает, какую долю составляет каждая оценка от общего числа оценок. Она вычисляется по формуле: $W = \frac{f}{N}$, где $f$ — это абсолютная частота, а $N$ — общий объем совокупности ($N=15$).

Вычислим относительные частоты для каждой оценки:

- Для оценки "2": $W_2 = \frac{0}{15} = 0$

- Для оценки "3": $W_3 = \frac{4}{15}$

- Для оценки "4": $W_4 = \frac{6}{15}$ (можно сократить до $\frac{2}{5}$)

- Для оценки "5": $W_5 = \frac{5}{15}$ (можно сократить до $\frac{1}{3}$)

Проверим, что сумма относительных частот равна 1: $0 + \frac{4}{15} + \frac{6}{15} + \frac{5}{15} = \frac{0+4+6+5}{15} = \frac{15}{15} = 1$.

Заполненная таблица 28 выглядит следующим образом:

Ответ: Заполненная таблица с относительными частотами представлена выше.

17.5. Для оценок ученика за III четверть составлена таблица относительных частот случайной величины полученных оценок (табл. 29).

Таблица 29

Оценка345

Абсолютная частота 4 6 5

Относительная частота $\frac{4}{15}$ $\frac{6}{15}$ $\frac{5}{15}$

Найдите:

1) среднее арифметическое значение;

2) отклонение случайной величины от ее среднего значения;

3) дисперсию оценок ученика.

1) среднее арифметическое значение;
Среднее арифметическое значение (или математическое ожидание) случайной величины $X$ (оценки ученика) можно найти, используя абсолютные или относительные частоты. Общее количество оценок (объем выборки) $N$ равно сумме абсолютных частот: $N = 4 + 6 + 5 = 15$.
Формула среднего арифметического через абсолютные частоты:
$\bar{X} = \frac{\sum x_i n_i}{N}$
Подставим данные из таблицы:
$\bar{X} = \frac{3 \cdot 4 + 4 \cdot 6 + 5 \cdot 5}{15} = \frac{12 + 24 + 25}{15} = \frac{61}{15}$.
Среднее арифметическое также можно вычислить через относительные частоты $W_i = \frac{n_i}{N}$ по формуле:
$\bar{X} = \sum x_i W_i$
$\bar{X} = 3 \cdot \frac{4}{15} + 4 \cdot \frac{6}{15} + 5 \cdot \frac{5}{15} = \frac{12}{15} + \frac{24}{15} + \frac{25}{15} = \frac{61}{15}$.
Оба способа дают одинаковый результат.
Ответ: $\frac{61}{15}$

2) отклонение случайной величины от ее среднего значения;
Отклонение каждого значения случайной величины от ее среднего значения вычисляется по формуле $x_i - \bar{X}$. Мы уже нашли, что среднее значение $\bar{X} = \frac{61}{15}$.
Найдем отклонения для каждой из оценок:
• Для оценки $x_1 = 3$: отклонение равно $3 - \frac{61}{15} = \frac{3 \cdot 15}{15} - \frac{61}{15} = \frac{45 - 61}{15} = -\frac{16}{15}$.
• Для оценки $x_2 = 4$: отклонение равно $4 - \frac{61}{15} = \frac{4 \cdot 15}{15} - \frac{61}{15} = \frac{60 - 61}{15} = -\frac{1}{15}$.
• Для оценки $x_3 = 5$: отклонение равно $5 - \frac{61}{15} = \frac{5 \cdot 15}{15} - \frac{61}{15} = \frac{75 - 61}{15} = \frac{14}{15}$.
Ответ: отклонения для оценок 3, 4 и 5 равны соответственно $-\frac{16}{15}$, $-\frac{1}{15}$ и $\frac{14}{15}$.

3) дисперсию оценок ученика.
Дисперсия ($D(X)$) — это мера разброса значений случайной величины относительно её среднего значения. Она равна среднему значению квадратов отклонений.
Формула для вычисления дисперсии через относительные частоты:
$D(X) = \sum_{i=1}^{k} (x_i - \bar{X})^2 W_i$
Используя отклонения, найденные в предыдущем пункте, получаем:
$D(X) = (-\frac{16}{15})^2 \cdot \frac{4}{15} + (-\frac{1}{15})^2 \cdot \frac{6}{15} + (\frac{14}{15})^2 \cdot \frac{5}{15}$
$D(X) = \frac{256}{225} \cdot \frac{4}{15} + \frac{1}{225} \cdot \frac{6}{15} + \frac{196}{225} \cdot \frac{5}{15}$
$D(X) = \frac{256 \cdot 4 + 1 \cdot 6 + 196 \cdot 5}{225 \cdot 15} = \frac{1024 + 6 + 980}{3375} = \frac{2010}{3375}$.
Сократим дробь на 15: $2010 \div 15 = 134$, $3375 \div 15 = 225$.
$D(X) = \frac{134}{225}$.
Для удобства вычислений можно использовать другую формулу: $D(X) = \overline{X^2} - (\bar{X})^2$.
Сначала найдем среднее значение квадратов $(\overline{X^2})$:
$\overline{X^2} = \sum x_i^2 W_i = 3^2 \cdot \frac{4}{15} + 4^2 \cdot \frac{6}{15} + 5^2 \cdot \frac{5}{15} = \frac{9 \cdot 4 + 16 \cdot 6 + 25 \cdot 5}{15} = \frac{36 + 96 + 125}{15} = \frac{257}{15}$.
Теперь вычислим дисперсию:
$D(X) = \overline{X^2} - (\bar{X})^2 = \frac{257}{15} - (\frac{61}{15})^2 = \frac{257}{15} - \frac{3721}{225} = \frac{257 \cdot 15}{225} - \frac{3721}{225} = \frac{3855 - 3721}{225} = \frac{134}{225}$.
Ответ: $\frac{134}{225}$

17.6. Выпишите все свои оценки за III четверть по алгебре, геометрии и физике. Составьте по каждому из них:

1) таблицу абсолютных частот;

2) таблицу относительных частот;

3) среднее арифметическое значение;

4) дисперсию.

Поскольку в задаче требуется использовать свои оценки, а я являюсь искусственным интеллектом, я приведу решение на основе гипотетических (вымышленных) данных. Вы можете подставить свои реальные оценки и выполнить расчеты по аналогии, используя представленные формулы и ход решения.

Алгебра

Предположим, за III четверть по алгебре были получены следующие 10 оценок: 5, 4, 4, 3, 5, 4, 5, 4, 3, 5.

Общее количество оценок (объем выборки) $n = 10$.

1) таблицу абсолютных частот;

Абсолютная частота — это количество раз, которое встречается каждая оценка в ряду данных. Сгруппируем оценки:

• Оценка «3» встречается 2 раза.
• Оценка «4» встречается 4 раза.
• Оценка «5» встречается 4 раза.

Сумма частот: $2 + 4 + 4 = 10$, что соответствует общему количеству оценок.

Ответ: Таблица абсолютных частот для оценок по алгебре:

2) таблицу относительных частот;

Относительная частота — это отношение абсолютной частоты к общему числу данных. Формула: $W_k = \frac{n_k}{n}$.

• Для оценки «3»: $W_1 = \frac{2}{10} = 0.2$
• Для оценки «4»: $W_2 = \frac{4}{10} = 0.4$
• Для оценки «5»: $W_3 = \frac{4}{10} = 0.4$

Сумма относительных частот: $0.2 + 0.4 + 0.4 = 1$.

Ответ: Таблица относительных частот для оценок по алгебре:

3) среднее арифметическое значение;

Среднее арифметическое ($\bar{x}$) вычисляется по формуле: $\bar{x} = \frac{\sum x_k \cdot n_k}{n}$.

$\bar{x} = \frac{3 \cdot 2 + 4 \cdot 4 + 5 \cdot 4}{10} = \frac{6 + 16 + 20}{10} = \frac{42}{10} = 4.2$.

Ответ: Среднее арифметическое значение оценок по алгебре равно $4.2$.

4) дисперсию.

Дисперсия ($D(X)$) — это мера разброса данных, вычисляемая как среднее квадратов отклонений от среднего. Формула: $D(X) = \frac{\sum (x_k - \bar{x})^2 \cdot n_k}{n}$.

$\bar{x} = 4.2$.

$D(X) = \frac{(3 - 4.2)^2 \cdot 2 + (4 - 4.2)^2 \cdot 4 + (5 - 4.2)^2 \cdot 4}{10}$

$D(X) = \frac{(-1.2)^2 \cdot 2 + (-0.2)^2 \cdot 4 + (0.8)^2 \cdot 4}{10}$

$D(X) = \frac{1.44 \cdot 2 + 0.04 \cdot 4 + 0.64 \cdot 4}{10}$

$D(X) = \frac{2.88 + 0.16 + 2.56}{10} = \frac{5.6}{10} = 0.56$.

Ответ: Дисперсия оценок по алгебре равна $0.56$.

Геометрия

Предположим, за III четверть по геометрии были получены следующие 8 оценок: 4, 3, 4, 5, 4, 3, 4, 5.

Общее количество оценок $n = 8$.

1) таблицу абсолютных частот;

• Оценка «3» встречается 2 раза.
• Оценка «4» встречается 4 раза.
• Оценка «5» встречается 2 раза.

Ответ: Таблица абсолютных частот для оценок по геометрии:

2) таблицу относительных частот;

• Для оценки «3»: $W_1 = \frac{2}{8} = 0.25$
• Для оценки «4»: $W_2 = \frac{4}{8} = 0.5$
• Для оценки «5»: $W_3 = \frac{2}{8} = 0.25$

Ответ: Таблица относительных частот для оценок по геометрии:

3) среднее арифметическое значение;

$\bar{x} = \frac{3 \cdot 2 + 4 \cdot 4 + 5 \cdot 2}{8} = \frac{6 + 16 + 10}{8} = \frac{32}{8} = 4$.

Ответ: Среднее арифметическое значение оценок по геометрии равно $4$.

4) дисперсию.

$\bar{x} = 4$.

$D(X) = \frac{(3 - 4)^2 \cdot 2 + (4 - 4)^2 \cdot 4 + (5 - 4)^2 \cdot 2}{8}$

$D(X) = \frac{(-1)^2 \cdot 2 + 0^2 \cdot 4 + 1^2 \cdot 2}{8}$

$D(X) = \frac{1 \cdot 2 + 0 + 1 \cdot 2}{8} = \frac{2 + 2}{8} = \frac{4}{8} = 0.5$.

Ответ: Дисперсия оценок по геометрии равна $0.5$.

Физика

Предположим, за III четверть по физике были получены следующие 12 оценок: 3, 4, 3, 5, 4, 4, 3, 5, 4, 4, 3, 4.

Общее количество оценок $n = 12$.

1) таблицу абсолютных частот;

• Оценка «3» встречается 4 раза.
• Оценка «4» встречается 6 раз.
• Оценка «5» встречается 2 раза.

Ответ: Таблица абсолютных частот для оценок по физике:

2) таблицу относительных частот;

• Для оценки «3»: $W_1 = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$
• Для оценки «4»: $W_2 = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$
• Для оценки «5»: $W_3 = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$

Ответ: Таблица относительных частот для оценок по физике (в виде дробей для точности):

3) среднее арифметическое значение;

$\bar{x} = \frac{3 \cdot 4 + 4 \cdot 6 + 5 \cdot 2}{12} = \frac{12 + 24 + 10}{12} = \frac{46}{12} = \frac{23}{6} \approx 3.83$.

Ответ: Среднее арифметическое значение оценок по физике равно $\frac{23}{6}$ (или примерно $3.83$).

4) дисперсию.

Для точности используем $\bar{x} = \frac{23}{6}$.

$D(X) = \frac{(3 - \frac{23}{6})^2 \cdot 4 + (4 - \frac{23}{6})^2 \cdot 6 + (5 - \frac{23}{6})^2 \cdot 2}{12}$

$D(X) = \frac{(\frac{18-23}{6})^2 \cdot 4 + (\frac{24-23}{6})^2 \cdot 6 + (\frac{30-23}{6})^2 \cdot 2}{12}$

$D(X) = \frac{(-\frac{5}{6})^2 \cdot 4 + (\frac{1}{6})^2 \cdot 6 + (\frac{7}{6})^2 \cdot 2}{12}$

$D(X) = \frac{\frac{25}{36} \cdot 4 + \frac{1}{36} \cdot 6 + \frac{49}{36} \cdot 2}{12} = \frac{\frac{100}{36} + \frac{6}{36} + \frac{98}{36}}{12}$

$D(X) = \frac{\frac{204}{36}}{12} = \frac{204}{36 \cdot 12} = \frac{17 \cdot 12}{3 \cdot 12 \cdot 12} = \frac{17}{36} \approx 0.472$.

Ответ: Дисперсия оценок по физике равна $\frac{17}{36}$ (или примерно $0.472$).