Страница 142 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

17.11. 1) Две бригады, работая одновременно, обработали участок земли за 12 часов. За какое время могла бы обработать этот участок каждая из бригад в отдельности, если их производительности относятся как $3 : 2$?

2) Одна бригада может убрать все поле за 12 дней. Другой бригаде для выполнения той же работы нужно $75\%$ этого времени. После того как в течение 5 дней работала одна первая бригада, к ней присоединилась вторая, и обе вместе закончили работу. Сколько дней бригады работали вместе?

1) Примем весь объем работы за 1.
Пусть $p_1$ и $p_2$ — производительности первой и второй бригад соответственно (часть работы в час), а $t_1$ и $t_2$ — время, за которое каждая бригада выполнит всю работу в отдельности.
Тогда $p_1 = 1/t_1$ и $p_2 = 1/t_2$.
Поскольку две бригады, работая одновременно, обработали участок за 12 часов, их совместная производительность $p_1 + p_2$ равна:
$p_1 + p_2 = \frac{1}{12}$
По условию, производительности бригад относятся как 3:2, то есть $\frac{p_1}{p_2} = \frac{3}{2}$.
Введем коэффициент пропорциональности $k$. Тогда производительность первой бригады $p_1 = 3k$, а второй — $p_2 = 2k$.
Подставим эти значения в уравнение для совместной производительности:
$3k + 2k = \frac{1}{12}$
$5k = \frac{1}{12}$
$k = \frac{1}{12 \times 5} = \frac{1}{60}$
Теперь можем найти производительность каждой бригады:
$p_1 = 3k = 3 \times \frac{1}{60} = \frac{1}{20}$ (часть участка в час)
$p_2 = 2k = 2 \times \frac{1}{60} = \frac{1}{30}$ (часть участка в час)
Время, необходимое каждой бригаде для выполнения всей работы в одиночку, — это величина, обратная производительности:
Время для первой бригады: $t_1 = \frac{1}{p_1} = \frac{1}{1/20} = 20$ часов.
Время для второй бригады: $t_2 = \frac{1}{p_2} = \frac{1}{1/30} = 30$ часов.
Ответ: первая бригада могла бы обработать участок за 20 часов, а вторая — за 30 часов.

2) Примем всю работу по уборке поля за 1.
Первая бригада убирает все поле за 12 дней. Следовательно, её производительность $p_1 = \frac{1}{12}$ поля в день.
Второй бригаде нужно 75% от этого времени. Найдем время работы для второй бригады:
$t_2 = 12 \times 75\% = 12 \times 0.75 = 12 \times \frac{3}{4} = 9$ дней.
Производительность второй бригады $p_2 = \frac{1}{9}$ поля в день.
Первая бригада работала одна 5 дней. За это время она выполнила часть работы:
$W_1 = p_1 \times 5 = \frac{1}{12} \times 5 = \frac{5}{12}$ поля.
После этого осталось выполнить:
$W_{ост} = 1 - W_1 = 1 - \frac{5}{12} = \frac{7}{12}$ поля.
Эту оставшуюся часть работы бригады выполняли вместе. Найдем их совместную производительность:
$p_{совм} = p_1 + p_2 = \frac{1}{12} + \frac{1}{9}$
Приведем дроби к общему знаменателю 36:
$p_{совм} = \frac{3}{36} + \frac{4}{36} = \frac{7}{36}$ поля в день.
Теперь найдем, сколько дней $T$ бригады работали вместе, чтобы выполнить оставшуюся работу:
$T = \frac{W_{ост}}{p_{совм}} = \frac{7/12}{7/36} = \frac{7}{12} \times \frac{36}{7} = \frac{36}{12} = 3$ дня.
Ответ: бригады работали вместе 3 дня.

17.12. Решите неравенство:

1) $2x - 3 > 5;$

2) $0,5x + 3 \leq 1.$

1) Дано линейное неравенство $2x - 3 > 5$.
Для его решения изолируем слагаемое с переменной $x$ в левой части. Перенесем $-3$ из левой части в правую, изменив знак на противоположный:
$2x > 5 + 3$
Выполним сложение в правой части:
$2x > 8$
Теперь разделим обе части неравенства на коэффициент при $x$, то есть на $2$. Так как $2$ является положительным числом, знак неравенства сохраняется:
$x > \frac{8}{2}$
$x > 4$
Решением неравенства является множество всех чисел, которые строго больше $4$. В виде интервала это записывается как $(4; +\infty)$.
Ответ: $x \in (4; +\infty)$.

2) Дано линейное неравенство $0,5x + 3 \le 1$.
Перенесем слагаемое $3$ из левой части в правую, изменив его знак на противоположный:
$0,5x \le 1 - 3$
Выполним вычитание в правой части:
$0,5x \le -2$
Разделим обе части неравенства на коэффициент при $x$, то есть на $0,5$. Так как $0,5$ — положительное число, знак неравенства не меняется:
$x \le \frac{-2}{0,5}$
$x \le -4$
Решением неравенства является множество всех чисел, которые меньше или равны $-4$. В виде числового промежутка это записывается как $(-\infty; -4]$.
Ответ: $x \in (-\infty; -4]$.

17.13. Постройте график функции $y = x^2 - 4$. Используя график, найдите, при каких значениях $x$ функция принимает неположительные значения.

Постройте график функции $y = x^2 - 4$

Графиком данной функции является парабола. Для ее построения выполним следующие шаги:

1. Определим направление ветвей параболы. Коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.Координата $x_0$ вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Для функции $y = x^2 - 4$ имеем $a=1, b=0, c=-4$.$x_0 = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0$.Для нахождения $y_0$ подставим $x_0$ в уравнение функции:$y_0 = 0^2 - 4 = -4$.Таким образом, вершина параболы находится в точке $(0; -4)$.

3. Найдем точки пересечения графика с осями координат.
С осью ординат (Oy): Полагаем $x=0$, получаем $y = 0^2 - 4 = -4$. Точка пересечения — $(0; -4)$, что совпадает с вершиной.
С осью абсцисс (Ox): Полагаем $y=0$, получаем уравнение $x^2 - 4 = 0$.$x^2 = 4$, откуда $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$.Точки пересечения — $(-2; 0)$ и $(2; 0)$.

4. Для большей точности найдем несколько дополнительных точек. В силу симметрии параболы относительно оси Oy, значения y для $x$ и $-x$ будут одинаковы.
При $x = \pm 1$, $y = (\pm 1)^2 - 4 = 1 - 4 = -3$. Точки: $(-1; -3)$ и $(1; -3)$.
При $x = \pm 3$, $y = (\pm 3)^2 - 4 = 9 - 4 = 5$. Точки: $(-3; 5)$ и $(3; 5)$.

На основе найденных точек строим график:

Используя график, найдите, при каких значениях $x$ функция принимает неположительные значения

Неположительные значения функции — это те значения, при которых $y \le 0$. На графике это соответствует той части параболы, которая находится на оси Ox или ниже нее.

Глядя на график, мы видим, что парабола пересекает ось Ox в точках $x=-2$ и $x=2$. Между этими точками график находится ниже оси Ox. Следовательно, условия $y \le 0$ выполняются для всех $x$ из отрезка от -2 до 2.

Математически это записывается как $x \in [-2; 2]$.

Ответ: функция принимает неположительные значения при $x \in [-2; 2]$.

17.14. Постройте график функции $y = x^2 - 2x$. Используя график, найдите значения $x$, при которых функция принимает:

1) отрицательные значения;

2) положительные значения.

Для построения графика функции $y = x^2 - 2x$ определим его основные параметры. Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительный), следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.

$y_v = (1)^2 - 2(1) = 1 - 2 = -1$.

Вершина параболы находится в точке $(1, -1)$.

Найдем точки пересечения графика с осями координат:

С осью Oy (при $x=0$): $y = 0^2 - 2 \cdot 0 = 0$. Точка пересечения — $(0, 0)$.

С осью Ox (при $y=0$): $x^2 - 2x = 0 \Rightarrow x(x - 2) = 0$. Точки пересечения — $x_1=0$ и $x_2=2$. То есть, $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

Для большей точности найдем еще несколько точек. Возьмем точки, симметричные относительно оси симметрии параболы $x=1$:

При $x=-1$: $y = (-1)^2 - 2(-1) = 1 + 2 = 3$. Точка $(-1, 3)$.

При $x=3$: $y = (3)^2 - 2(3) = 9 - 6 = 3$. Точка $(3, 3)$.

Построим график, используя найденные точки: вершину $(1, -1)$, точки пересечения с осями $(0, 0)$ и $(2, 0)$, и дополнительные точки $(-1, 3)$ и $(3, 3)$.

Теперь, используя построенный график, найдем значения $x$, при которых функция принимает отрицательные и положительные значения.

1) отрицательные значения;

Функция принимает отрицательные значения ($y < 0$) на том промежутке, где ее график расположен ниже оси Ox. Из графика видно, что это происходит между точками пересечения с осью Ox, то есть при $x$ от 0 до 2, не включая концы интервала.

Ответ: $x \in (0; 2)$ или $0 < x < 2$.

2) положительные значения.

Функция принимает положительные значения ($y > 0$) на тех промежутках, где ее график расположен выше оси Ox. Из графика видно, что это происходит левее точки $x=0$ и правее точки $x=2$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (2; \infty)$ или $x < 0$, $x > 2$.