Номер 17.14, страница 142 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

17.14. Постройте график функции $y = x^2 - 2x$. Используя график, найдите значения $x$, при которых функция принимает:

1) отрицательные значения;

2) положительные значения.

Для построения графика функции $y = x^2 - 2x$ определим его основные параметры. Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительный), следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.

$y_v = (1)^2 - 2(1) = 1 - 2 = -1$.

Вершина параболы находится в точке $(1, -1)$.

Найдем точки пересечения графика с осями координат:

С осью Oy (при $x=0$): $y = 0^2 - 2 \cdot 0 = 0$. Точка пересечения — $(0, 0)$.

С осью Ox (при $y=0$): $x^2 - 2x = 0 \Rightarrow x(x - 2) = 0$. Точки пересечения — $x_1=0$ и $x_2=2$. То есть, $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

Для большей точности найдем еще несколько точек. Возьмем точки, симметричные относительно оси симметрии параболы $x=1$:

При $x=-1$: $y = (-1)^2 - 2(-1) = 1 + 2 = 3$. Точка $(-1, 3)$.

При $x=3$: $y = (3)^2 - 2(3) = 9 - 6 = 3$. Точка $(3, 3)$.

Построим график, используя найденные точки: вершину $(1, -1)$, точки пересечения с осями $(0, 0)$ и $(2, 0)$, и дополнительные точки $(-1, 3)$ и $(3, 3)$.

Теперь, используя построенный график, найдем значения $x$, при которых функция принимает отрицательные и положительные значения.

1) отрицательные значения;

Функция принимает отрицательные значения ($y < 0$) на том промежутке, где ее график расположен ниже оси Ox. Из графика видно, что это происходит между точками пересечения с осью Ox, то есть при $x$ от 0 до 2, не включая концы интервала.

Ответ: $x \in (0; 2)$ или $0 < x < 2$.

2) положительные значения.

Функция принимает положительные значения ($y > 0$) на тех промежутках, где ее график расположен выше оси Ox. Из графика видно, что это происходит левее точки $x=0$ и правее точки $x=2$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (2; \infty)$ или $x < 0$, $x > 2$.