Номер 18.4, страница 148 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.4. Используя график функции, найдите множество значений переменной, при которых принимает отрицательные значения функция:

1) $y = 2x^2 - 6x + 4$;

2) $y = -x^2 + 5x - 6$;

3) $y = x^2 + 4x + 4$;

4) $y = -x^2 - 2.6x - 1.6$.

1)Функция $y = 2x^2 - 6x + 4$ является квадратичной. Ее график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен $2$, что больше нуля ($a > 0$), ветви параболы направлены вверх.

Чтобы найти, где функция принимает отрицательные значения, нужно определить, на каких интервалах ее график лежит ниже оси абсцисс (оси x). Для этого найдем точки пересечения параболы с осью x, решив уравнение $2x^2 - 6x + 4 = 0$.

Разделим обе части уравнения на 2:
$x^2 - 3x + 2 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-(-3) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 1}{2} = 1$
$x_2 = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 1}{2} = 2$

Парабола пересекает ось x в точках $x=1$ и $x=2$. Поскольку ветви направлены вверх, функция принимает отрицательные значения между точками пересечения.

Следовательно, функция отрицательна при $x \in (1; 2)$.
Ответ: $x \in (1; 2)$.

2)Функция $y = -x^2 + 5x - 6$ является квадратичной. Ее график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен $-1$, что меньше нуля ($a < 0$), ветви параболы направлены вниз.

Найдем точки пересечения параболы с осью x, решив уравнение $-x^2 + 5x - 6 = 0$.

Умножим обе части уравнения на -1:
$x^2 - 5x + 6 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 1}{2} = 2$
$x_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 1}{2} = 3$

Парабола пересекает ось x в точках $x=2$ и $x=3$. Поскольку ветви направлены вниз, функция принимает отрицательные значения за пределами интервала между точками пересечения.

Следовательно, функция отрицательна при $x \in (-\infty; 2) \cup (3; \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; 2) \cup (3; \infty)$.

3)Функция $y = x^2 + 4x + 4$ является квадратичной. Ее график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен $1$, что больше нуля ($a > 0$), ветви параболы направлены вверх.

Выражение $x^2 + 4x + 4$ является полным квадратом: $y = (x + 2)^2$.

Найдем точки пересечения с осью x: $(x + 2)^2 = 0$.
Уравнение имеет один корень $x = -2$. Это означает, что парабола не пересекает ось x, а касается ее в точке $x = -2$ (вершина параболы).

Так как ветви параболы направлены вверх и она касается оси x, все значения функции, кроме точки касания, положительны. В точке касания $y=0$. Отрицательных значений функция не принимает.

Следовательно, множество значений переменной, при которых функция принимает отрицательные значения, пусто.
Ответ: нет таких значений $x$.

4)Функция $y = -x^2 - 2,6x - 1,6$ является квадратичной. Ее график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен $-1$, что меньше нуля ($a < 0$), ветви параболы направлены вниз.

Найдем точки пересечения параболы с осью x, решив уравнение $-x^2 - 2,6x - 1,6 = 0$.

Умножим обе части уравнения на -1:
$x^2 + 2,6x + 1,6 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (2,6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1,6 = 6,76 - 6,4 = 0,36$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-2,6 - \sqrt{0,36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2,6 - 0,6}{2} = \frac{-3,2}{2} = -1,6$
$x_2 = \frac{-2,6 + \sqrt{0,36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2,6 + 0,6}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Парабола пересекает ось x в точках $x=-1,6$ и $x=-1$. Поскольку ветви направлены вниз, функция принимает отрицательные значения за пределами интервала между точками пересечения.

Следовательно, функция отрицательна при $x \in (-\infty; -1,6) \cup (-1; \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -1,6) \cup (-1; \infty)$.