Номер 18.11, страница 149 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.11. Постройте график функции $f(x)$:

1) $f(x) = x^2 - 12$;

2) $f(x) = x^2 - 4x + 8$;

3) $f(x) = 4 - 2.6x^2$.

Используя график функции $y = f(x)$, на оси $Ox$ укажите числовой промежуток, на котором выполняется неравенство $f(x) > 4$.

1) Решение для функции $f(x) = x^2 - 12$.

Сначала построим график функции. Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительный), следовательно, ветви параболы направлены вверх. Найдем вершину параболы. Координата $x$ вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0$. Координата $y$ вершины: $y_v = f(0) = 0^2 - 12 = -12$. Итак, вершина параболы находится в точке $(0, -12)$. Ось симметрии — ось $Oy$. Для построения найдем еще несколько точек. При $x = \pm 2$, $y = (\pm 2)^2 - 12 = 4 - 12 = -8$. При $x = \pm 4$, $y = (\pm 4)^2 - 12 = 16 - 12 = 4$.

Теперь, используя график, укажем промежуток, на котором выполняется неравенство $f(x) > 4$. На графике это соответствует той части параболы, которая лежит выше прямой $y=4$. Найдем точки пересечения графика $y = x^2 - 12$ с прямой $y=4$. $x^2 - 12 = 4$ $x^2 = 16$ $x_1 = -4$, $x_2 = 4$. Поскольку ветви параболы направлены вверх, значения функции $f(x)$ будут больше 4 при значениях $x$, находящихся левее $x=-4$ и правее $x=4$.

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (4; +\infty)$.

2) Решение для функции $f(x) = x^2 - 4x + 8$.

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительный), значит ветви направлены вверх. Найдем вершину параболы. $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$. $y_v = f(2) = 2^2 - 4(2) + 8 = 4 - 8 + 8 = 4$. Вершина параболы находится в точке $(2, 4)$. Ось симметрии — прямая $x=2$. Найдем несколько точек: При $x = 0$, $y = 8$. При $x = 1$, $y = 1^2 - 4(1) + 8 = 5$. Симметричные точки: $(4, 8)$ и $(3, 5)$.

Найдем промежуток, где $f(x) > 4$. Это область, где график параболы расположен выше прямой $y=4$. Найдем точки пересечения, решив уравнение $f(x)=4$. $x^2 - 4x + 8 = 4$ $x^2 - 4x + 4 = 0$ $(x-2)^2 = 0$ Решение одно: $x=2$. Это означает, что прямая $y=4$ касается параболы в ее вершине $(2, 4)$. Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция принимает значения, строго большие 4, для всех значений $x$, кроме $x=2$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

3) Решение для функции $f(x) = 4 - 2,6x^2$.

Перепишем функцию в виде $f(x) = -2,6x^2 + 4$. Это квадратичная функция, график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен -2,6 (отрицательный), поэтому ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot (-2,6)} = 0$. $y_v = f(0) = 4 - 2,6 \cdot 0^2 = 4$. Вершина находится в точке $(0, 4)$, которая является точкой максимума функции. Ось симметрии — ось $Oy$. Найдем несколько точек: При $x = \pm 1$, $y = 4 - 2,6(1)^2 = 1,4$. При $x = \pm 2$, $y = 4 - 2,6(2)^2 = 4 - 10,4 = -6,4$.

Найдем промежуток, где $f(x) > 4$. $4 - 2,6x^2 > 4$ $-2,6x^2 > 0$ Разделим обе части на -2,6 и сменим знак неравенства: $x^2 < 0$. Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, это неравенство не имеет решений. На графике видно, что максимальное значение функции равно 4 (в вершине), и ни при каких $x$ значение функции не превышает 4.

Ответ: решений нет ($x \in \emptyset$).