Номер 18.14, страница 149 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.14. Решите неравенство:

1) $|x^2 - 4| \ge 2;

2) $|x^2 - 5| \le 2;

3) $|x^2 + 5| < 4;

4) $|x^2 + 2| \ge 6.

1) Решим неравенство $|x^2 - 4| \ge 2$.

Неравенство вида $|f(x)| \ge a$ (где $a \ge 0$) равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) \ge a$ или $f(x) \le -a$.

В нашем случае это означает, что мы должны решить совокупность:

$x^2 - 4 \ge 2$ или $x^2 - 4 \le -2$.

1. Решим первое неравенство:

$x^2 - 4 \ge 2$

$x^2 \ge 6$

$x^2 - 6 \ge 0$

Корнями уравнения $x^2 - 6 = 0$ являются $x_1 = -\sqrt{6}$ и $x_2 = \sqrt{6}$. Графиком функции $y=x^2-6$ является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \le -\sqrt{6}$ или $x \ge \sqrt{6}$.

Решение: $x \in (-\infty; -\sqrt{6}] \cup [\sqrt{6}; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство:

$x^2 - 4 \le -2$

$x^2 \le 2$

$x^2 - 2 \le 0$

Корнями уравнения $x^2 - 2 = 0$ являются $x_1 = -\sqrt{2}$ и $x_2 = \sqrt{2}$. Графиком функции $y=x^2-2$ является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $-\sqrt{2} \le x \le \sqrt{2}$.

Решение: $x \in [-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$.

Объединяя решения обоих неравенств, получаем окончательный результат.

Ответ: $(-\infty; -\sqrt{6}] \cup [-\sqrt{2}; \sqrt{2}] \cup [\sqrt{6}; +\infty)$.

2) Решим неравенство $|x^2 - 5| \le 2$.

Неравенство вида $|f(x)| \le a$ (где $a \ge 0$) равносильно двойному неравенству $-a \le f(x) \le a$.

В нашем случае это означает:

$-2 \le x^2 - 5 \le 2$

Это двойное неравенство эквивалентно системе двух неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 5 \le 2 \\ x^2 - 5 \ge -2 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство системы:

$x^2 - 5 \le 2$

$x^2 \le 7$

$x^2 - 7 \le 0$

Решением является промежуток $x \in [-\sqrt{7}; \sqrt{7}]$.

2. Решим второе неравенство системы:

$x^2 - 5 \ge -2$

$x^2 \ge 3$

$x^2 - 3 \ge 0$

Решением является объединение промежутков $x \in (-\infty; -\sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}; +\infty)$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств, так как они должны выполняться одновременно. Для этого можно нанести решения на числовую ось.

Пересечением множеств $[-\sqrt{7}; \sqrt{7}]$ и $(-\infty; -\sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}; +\infty)$ является объединение промежутков $[-\sqrt{7}; -\sqrt{3}]$ и $[\sqrt{3}; \sqrt{7}]$.

Ответ: $[-\sqrt{7}; -\sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}; \sqrt{7}]$.

3) Решим неравенство $|x^2 + 5| < 4$.

Рассмотрим выражение под знаком модуля: $x^2 + 5$.

Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то $x^2 + 5 \ge 5$.

Таким образом, выражение $x^2 + 5$ всегда положительно, и его модуль равен самому выражению: $|x^2 + 5| = x^2 + 5$.

Исходное неравенство можно переписать без модуля:

$x^2 + 5 < 4$

$x^2 < 4 - 5$

$x^2 < -1$

Квадрат любого действительного числа не может быть меньше нуля (он всегда неотрицателен: $x^2 \ge 0$). Следовательно, неравенство $x^2 < -1$ не имеет решений в действительных числах.

Ответ: решений нет ($x \in \emptyset$).

4) Решим неравенство $|x^2 + 2| \ge 6$.

Рассмотрим выражение под знаком модуля: $x^2 + 2$.

Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то $x^2 + 2 \ge 2$.

Выражение $x^2 + 2$ всегда положительно, поэтому его модуль равен самому выражению: $|x^2 + 2| = x^2 + 2$.

Перепишем неравенство без модуля:

$x^2 + 2 \ge 6$

$x^2 \ge 4$

$x^2 - 4 \ge 0$

Разложим левую часть на множители: $(x-2)(x+2) \ge 0$.

Корнями уравнения $(x-2)(x+2) = 0$ являются $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$. Графиком функции $y=x^2-4$ является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня.

Решением является $x \in (-\infty; -2] \cup [2; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -2] \cup [2; +\infty)$.