Номер 18.19, страница 150 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.19. Сократите дробь:

1) $\frac{2x^2 - 8}{x^2 + 6x + 8}$;

2) $\frac{2x^2 - 5x + 2}{x^2 - 10x + 16}$;

3) $\frac{-x^2 + x + 2}{3x^2 + 5x + 2}$;

4) $\frac{-3x^2 + 4x + 7}{3x^2 + 8x + 5}$.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{2x^2 - 8}{x^2 + 6x + 8}$, необходимо разложить числитель и знаменатель на множители.
Разложим числитель: $2x^2 - 8$. Вынесем общий множитель 2 за скобки: $2(x^2 - 4)$. Выражение в скобках является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Получаем: $2(x-2)(x+2)$.
Разложим знаменатель: $x^2 + 6x + 8$. Это квадратный трехчлен. Для его разложения на множители найдем корни уравнения $x^2 + 6x + 8 = 0$. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -6$ и произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 8$. Корнями являются числа -2 и -4. Тогда разложение трехчлена имеет вид $(x - x_1)(x - x_2)$, то есть $(x - (-2))(x - (-4)) = (x+2)(x+4)$.
Теперь подставим разложенные числитель и знаменатель в исходную дробь:
$\frac{2(x-2)(x+2)}{(x+2)(x+4)}$
Сократим общий множитель $(x+2)$ (при условии, что $x+2 \neq 0$, то есть $x \neq -2$):
$\frac{2(x-2)}{x+4}$
Ответ: $\frac{2(x-2)}{x+4}$

2) Рассмотрим дробь $\frac{2x^2 - 5x + 2}{x^2 - 10x + 16}$. Разложим числитель и знаменатель на множители.
Разложим числитель $2x^2 - 5x + 2$, решив квадратное уравнение $2x^2 - 5x + 2 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 3}{4} = 2$ и $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2}$.
Разложение трехчлена по формуле $a(x-x_1)(x-x_2)$ дает: $2(x-2)(x-\frac{1}{2}) = (x-2)(2x-1)$.
Разложим знаменатель $x^2 - 10x + 16$. Найдем корни уравнения $x^2 - 10x + 16 = 0$.
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 10$, $x_1 \cdot x_2 = 16$. Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 8$.
Разложение знаменателя: $(x-2)(x-8)$.
Подставим разложения в дробь:
$\frac{(x-2)(2x-1)}{(x-2)(x-8)}$
Сократим общий множитель $(x-2)$ (при условии, что $x \neq 2$):
$\frac{2x-1}{x-8}$
Ответ: $\frac{2x-1}{x-8}$

3) Сократим дробь $\frac{-x^2 + x + 2}{3x^2 + 5x + 2}$.
Разложим на множители числитель $-x^2 + x + 2$. Для этого найдем корни уравнения $-x^2 + x + 2 = 0$, или, что то же самое, $x^2 - x - 2 = 0$.
По теореме Виета, $x_1 + x_2 = 1$, $x_1 \cdot x_2 = -2$. Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = -1$.
Разложение числителя: $a(x-x_1)(x-x_2) = -1(x-2)(x-(-1)) = -(x-2)(x+1)$.
Разложим знаменатель $3x^2 + 5x + 2$, решив уравнение $3x^2 + 5x + 2 = 0$.
Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$.
Корни: $x_1 = \frac{-5 + 1}{6} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$ и $x_2 = \frac{-5 - 1}{6} = -1$.
Разложение знаменателя: $a(x-x_1)(x-x_2) = 3(x-(-\frac{2}{3}))(x-(-1)) = 3(x+\frac{2}{3})(x+1) = (3x+2)(x+1)$.
Подставим разложения в дробь:
$\frac{-(x-2)(x+1)}{(3x+2)(x+1)}$
Сократим общий множитель $(x+1)$ (при условии, что $x \neq -1$):
$\frac{-(x-2)}{3x+2} = \frac{2-x}{3x+2}$.
Ответ: $\frac{2-x}{3x+2}$

4) Сократим дробь $\frac{-3x^2 + 4x + 7}{3x^2 + 8x + 5}$.
Разложим на множители числитель $-3x^2 + 4x + 7$, решив уравнение $-3x^2 + 4x + 7 = 0$.
Дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot (-3) \cdot 7 = 16 + 84 = 100$.
Корни: $x_1 = \frac{-4 + 10}{2 \cdot (-3)} = \frac{6}{-6} = -1$ и $x_2 = \frac{-4 - 10}{-6} = \frac{-14}{-6} = \frac{7}{3}$.
Разложение числителя: $a(x-x_1)(x-x_2) = -3(x-(-1))(x-\frac{7}{3}) = -3(x+1)(x-\frac{7}{3}) = -(x+1)(3x-7)$.
Разложим знаменатель $3x^2 + 8x + 5$, решив уравнение $3x^2 + 8x + 5 = 0$.
Дискриминант $D = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 64 - 60 = 4$.
Корни: $x_1 = \frac{-8 + 2}{6} = \frac{-6}{6} = -1$ и $x_2 = \frac{-8 - 2}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$.
Разложение знаменателя: $a(x-x_1)(x-x_2) = 3(x-(-1))(x-(-\frac{5}{3})) = 3(x+1)(x+\frac{5}{3}) = (x+1)(3x+5)$.
Подставим разложения в дробь:
$\frac{-(x+1)(3x-7)}{(x+1)(3x+5)}$
Сократим общий множитель $(x+1)$ (при условии, что $x \neq -1$):
$\frac{-(3x-7)}{3x+5} = \frac{7-3x}{3x+5}$.
Ответ: $\frac{7-3x}{3x+5}$