Номер 19.2, страница 155 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19.2. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt{(5-x)(2x-7)};$

2) $y = \sqrt{(5+3x)(2x-2,4)};$

3) $y = \sqrt{(4+x)(5-2x)};$

4) $y = \sqrt{-2(1-x)(2x+5)}.$

1)

Область определения функции $y = \sqrt{(5-x)(2x-7)}$ находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным. То есть, мы должны решить неравенство:

$(5-x)(2x-7) \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $(5-x)(2x-7) = 0$.

$5-x=0 \implies x_1 = 5$

$2x-7=0 \implies 2x=7 \implies x_2 = 3,5$

Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки выражения $(5-x)(2x-7)$ в каждом из получившихся интервалов. Коэффициент при $x^2$ в выражении $(5-x)(2x-7) = -2x^2+17x-35$ отрицателен ($-2$), значит, ветви параболы направлены вниз. Следовательно, выражение положительно между корнями.

Нам нужен промежуток, где выражение неотрицательно ($\ge 0$). Это промежуток $[3,5; 5]$.

Ответ: $x \in [3,5; 5]$.

2)

Область определения функции $y = \sqrt{(5+3x)(2x-2,4)}$ задается неравенством:

$(5+3x)(2x-2,4) \ge 0$

Найдем корни уравнения $(5+3x)(2x-2,4) = 0$.

$5+3x=0 \implies 3x=-5 \implies x_1 = -5/3$

$2x-2,4=0 \implies 2x=2,4 \implies x_2 = 1,2$

Коэффициент при $x^2$ в выражении $(5+3x)(2x-2,4) = 6x^2+...$ положителен ($6$), значит, ветви параболы направлены вверх. Следовательно, выражение неотрицательно на промежутках левее и правее корней.

Неравенство $\ge 0$ выполняется на объединении промежутков $(-\infty; -5/3]$ и $[1,2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -5/3] \cup [1,2; +\infty)$.

3)

Область определения функции $y = \sqrt{(4+x)(5-2x)}$ задается неравенством:

$(4+x)(5-2x) \ge 0$

Найдем корни уравнения $(4+x)(5-2x) = 0$.

$4+x=0 \implies x_1 = -4$

$5-2x=0 \implies 2x=5 \implies x_2 = 2,5$

Коэффициент при $x^2$ в выражении $(4+x)(5-2x) = -2x^2+...$ отрицателен ($-2$), ветви параболы направлены вниз. Значит, выражение неотрицательно между корнями.

Неравенство $\ge 0$ выполняется на промежутке $[-4; 2,5]$.

Ответ: $x \in [-4; 2,5]$.

4)

Область определения функции $y = \sqrt{-2(1-x)(2x+5)}$ задается неравенством:

$-2(1-x)(2x+5) \ge 0$

Разделим обе части неравенства на -2 и сменим знак неравенства на противоположный:

$(1-x)(2x+5) \le 0$

Найдем корни уравнения $(1-x)(2x+5) = 0$.

$1-x=0 \implies x_1 = 1$

$2x+5=0 \implies 2x=-5 \implies x_2 = -2,5$

Коэффициент при $x^2$ в выражении $(1-x)(2x+5) = -2x^2+...$ отрицателен ($-2$), ветви параболы направлены вниз. Следовательно, выражение неположительно ($\le 0$) на промежутках левее и правее корней.

Нам нужны промежутки, где выражение неположительно ($\le 0$). Это объединение промежутков $(-\infty; -2,5]$ и $[1; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2,5] \cup [1; +\infty)$.