Номер 19.5, страница 156 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19.5. Решите методом интервалов неравенство:

1) $\frac{3x^2 - 5x + 2}{x^2 - 9} \ge 0;$

2) $\frac{-x^2 - 5x + 6}{x^2 - 4} \le 0;$

3) $\frac{-2x^2 - 3x + 2}{x^2 + 5x} < 0;$

4) $\frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 7x} < 0.$

1) Решим неравенство $ \frac{3x^2 - 5x + 2}{x^2 - 9} \ge 0 $.

Для решения методом интервалов найдем корни числителя и знаменателя.

1. Найдем корни числителя, решив уравнение $ 3x^2 - 5x + 2 = 0 $.

Дискриминант $ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1 $.

$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm 1}{6} $.

$ x_1 = \frac{5-1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $

$ x_2 = \frac{5+1}{6} = \frac{6}{6} = 1 $

Разложим числитель на множители: $ 3(x - \frac{2}{3})(x-1) = (3x-2)(x-1) $.

2. Найдем корни знаменателя, решив уравнение $ x^2 - 9 = 0 $.

$ (x-3)(x+3) = 0 $.

$ x_3 = -3 $, $ x_4 = 3 $.

3. Перепишем неравенство в виде $ \frac{(3x-2)(x-1)}{(x-3)(x+3)} \ge 0 $.

4. Отметим корни на числовой оси. Корни числителя $ \frac{2}{3} $ и $ 1 $ будут закрашенными точками, так как неравенство нестрогое ($ \ge $). Корни знаменателя $ -3 $ и $ 3 $ будут выколотыми точками, так как на ноль делить нельзя.

5. Определим знаки выражения в каждом интервале. Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала, например $ x=4 $. Выражение $ \frac{(3 \cdot 4-2)(4-1)}{(4-3)(4+3)} = \frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0 $. Далее знаки чередуются, так как все корни имеют нечетную кратность (1).

6. Выбираем интервалы, где выражение больше или равно нулю (со знаком "+").

Это интервалы $ (-\infty, -3) $, $ [\frac{2}{3}, 1] $ и $ (3, +\infty) $.

Ответ: $ x \in (-\infty; -3) \cup [\frac{2}{3}; 1] \cup (3; +\infty) $.

2) Решим неравенство $ \frac{-x^2 - 5x + 6}{x^2 - 4} \le 0 $.

Чтобы было удобнее работать, умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$ \frac{x^2 + 5x - 6}{x^2 - 4} \ge 0 $.

1. Найдем корни числителя: $ x^2 + 5x - 6 = 0 $. По теореме Виета, $ x_1 = -6 $, $ x_2 = 1 $.

Разложим числитель на множители: $ (x+6)(x-1) $.

2. Найдем корни знаменателя: $ x^2 - 4 = 0 $. $ (x-2)(x+2)=0 $. Корни $ x_3 = -2 $, $ x_4 = 2 $.

3. Перепишем неравенство: $ \frac{(x+6)(x-1)}{(x-2)(x+2)} \ge 0 $.

4. Отметим корни на числовой оси. Корни числителя $ -6 $ и $ 1 $ - закрашенные. Корни знаменателя $ -2 $ и $ 2 $ - выколотые.

5. Определим знаки. При $ x=3 $, выражение $ \frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0 $. Далее знаки чередуются.

6. Выбираем интервалы со знаком "+", так как решаем неравенство $ \ge 0 $.

Это интервалы $ (-\infty, -6] $, $ (-2, 1] $ и $ (2, +\infty) $.

Ответ: $ x \in (-\infty; -6] \cup (-2; 1] \cup (2; +\infty) $.

3) Решим неравенство $ \frac{-2x^2 - 3x + 2}{x^2 + 5x} < 0 $.

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$ \frac{2x^2 + 3x - 2}{x^2 + 5x} > 0 $.

1. Найдем корни числителя: $ 2x^2 + 3x - 2 = 0 $.

$ D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 $.

$ x_{1,2} = \frac{-3 \pm 5}{4} $. $ x_1 = \frac{-8}{4} = -2 $, $ x_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $.

Разложение на множители: $ 2(x+2)(x-\frac{1}{2}) = (x+2)(2x-1) $.

2. Найдем корни знаменателя: $ x^2 + 5x = x(x+5) = 0 $. Корни $ x_3 = 0 $, $ x_4 = -5 $.

3. Перепишем неравенство: $ \frac{(x+2)(2x-1)}{x(x+5)} > 0 $.

4. Неравенство строгое ($ > $), поэтому все корни будут выколотыми точками: $ -5, -2, 0, \frac{1}{2} $.

5. Определим знаки. При $ x=1 $, выражение $ \frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0 $. Далее знаки чередуются.

6. Выбираем интервалы со знаком "+".

Это интервалы $ (-\infty, -5) $, $ (-2, 0) $ и $ (\frac{1}{2}, +\infty) $.

Ответ: $ x \in (-\infty; -5) \cup (-2; 0) \cup (\frac{1}{2}; +\infty) $.

4) Решим неравенство $ \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 7x} < 0 $.

1. Найдем корни числителя: $ x^2 - 5x + 6 = 0 $. По теореме Виета, $ x_1 = 2 $, $ x_2 = 3 $.

Разложение на множители: $ (x-2)(x-3) $.

2. Найдем корни знаменателя: $ x^2 - 7x = x(x-7) = 0 $. Корни $ x_3 = 0 $, $ x_4 = 7 $.

3. Перепишем неравенство: $ \frac{(x-2)(x-3)}{x(x-7)} < 0 $.

4. Неравенство строгое ($ < $), поэтому все корни выколотые: $ 0, 2, 3, 7 $.

5. Определим знаки. При $ x=8 $, выражение $ \frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0 $. Далее знаки чередуются.

6. Выбираем интервалы со знаком "-", так как решаем неравенство $ < 0 $.

Это интервалы $ (0, 2) $ и $ (3, 7) $.

Ответ: $ x \in (0; 2) \cup (3; 7) $.