Номер 19.10, страница 156 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19.10. Решите неравенство:

1) $ \frac{7}{x} - \frac{x}{7} > 0; $

2) $ \frac{x}{11} - \frac{11}{x} < 0; $

3) $ \frac{9}{x} > \frac{x}{4}; $

4) $ \frac{3}{x} - \frac{x}{27} > 0; $

5) $ \frac{5}{x} - \frac{3}{3 - x} < 0; $

6) $ \frac{3}{x} + \frac{1}{x - 7} < 0; $

7) $ \frac{2}{x} - \frac{5}{6 - x} > 0; $

8) $ \frac{5}{x} < \frac{4}{9 - x}; $

9) $ \frac{2}{x - 3} \le \frac{3}{x}; $

10) $ \frac{3}{x + 3} \ge \frac{2}{x}; $

11) $ \frac{1}{x - 2} \ge \frac{5}{x}; $

12) $ \frac{4}{x - 3} \ge \frac{6}{x}. $

1)

Приведем дроби к общему знаменателю:

$ \frac{7}{x} - \frac{x}{7} > 0 $

$ \frac{7 \cdot 7 - x \cdot x}{7x} > 0 $

$ \frac{49 - x^2}{7x} > 0 $

Разложим числитель на множители:

$ \frac{(7-x)(7+x)}{7x} > 0 $

Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

$ 7-x=0 \implies x=7 $

$ 7+x=0 \implies x=-7 $

$ 7x=0 \implies x=0 $

Нанесем точки -7, 0, 7 на числовую прямую. Так как неравенство строгое, все точки выколотые.

Определим знаки на интервалах. Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (знак "+").

Ответ: $x \in (-\infty; -7) \cup (0; 7)$

2)

Приведем дроби к общему знаменателю:

$ \frac{x}{11} - \frac{11}{x} < 0 $

$ \frac{x^2 - 11^2}{11x} < 0 $

$ \frac{(x-11)(x+11)}{11x} < 0 $

Нули числителя и знаменателя: $x=11, x=-11, x=0$. Точки выколотые. Применим метод интервалов.

Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля (знак "-").

Ответ: $x \in (-\infty; -11) \cup (0; 11)$

3)

Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$ \frac{9}{x} - \frac{x}{4} > 0 $

$ \frac{36 - x^2}{4x} > 0 $

$ \frac{(6-x)(6+x)}{4x} > 0 $

Нули: $x=6, x=-6, x=0$. Точки выколотые.

Выбираем интервалы со знаком "+".

Ответ: $x \in (-\infty; -6) \cup (0; 6)$

4)

Приведем к общему знаменателю:

$ \frac{3}{x} - \frac{x}{27} > 0 $

$ \frac{81 - x^2}{27x} > 0 $

$ \frac{(9-x)(9+x)}{27x} > 0 $

Нули: $x=9, x=-9, x=0$. Точки выколотые.

Выбираем интервалы со знаком "+".

Ответ: $x \in (-\infty; -9) \cup (0; 9)$

5)

Приведем к общему знаменателю:

$ \frac{5}{x} - \frac{3}{3-x} < 0 $

$ \frac{5(3-x) - 3x}{x(3-x)} < 0 $

$ \frac{15 - 5x - 3x}{x(3-x)} < 0 $

$ \frac{15 - 8x}{x(3-x)} < 0 $

Нули: $15-8x=0 \implies x=\frac{15}{8}$; $x=0$; $3-x=0 \implies x=3$. Точки выколотые.

Умножим неравенство на -1, чтобы в знаменателе было $(x-3)$ и поменяем знак:

$ \frac{15 - 8x}{-x(x-3)} < 0 \implies \frac{15-8x}{x(x-3)} > 0 $

Анализируя исходное неравенство $\frac{15 - 8x}{x(3-x)} < 0$, выбираем интервалы со знаком "-".

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (\frac{15}{8}; 3)$

6)

Приведем к общему знаменателю:

$ \frac{3}{x} + \frac{1}{x-7} < 0 $

$ \frac{3(x-7) + x}{x(x-7)} < 0 $

$ \frac{3x - 21 + x}{x(x-7)} < 0 $

$ \frac{4x - 21}{x(x-7)} < 0 $

Нули: $4x-21=0 \implies x=\frac{21}{4}=5.25$; $x=0$; $x-7=0 \implies x=7$. Точки выколотые.

Выбираем интервалы со знаком "-".

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (\frac{21}{4}; 7)$

7)

Приведем к общему знаменателю:

$ \frac{2}{x} - \frac{5}{6-x} > 0 $

$ \frac{2(6-x) - 5x}{x(6-x)} > 0 $

$ \frac{12 - 2x - 5x}{x(6-x)} > 0 $

$ \frac{12 - 7x}{x(6-x)} > 0 $

Нули: $12-7x=0 \implies x=\frac{12}{7}$; $x=0$; $6-x=0 \implies x=6$. Точки выколотые.

Выбираем интервалы со знаком "+".

Ответ: $x \in (0; \frac{12}{7}) \cup (6; +\infty)$

8)

Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$ \frac{5}{x} - \frac{4}{9-x} < 0 $

$ \frac{5(9-x) - 4x}{x(9-x)} < 0 $

$ \frac{45 - 5x - 4x}{x(9-x)} < 0 $

$ \frac{45 - 9x}{x(9-x)} < 0 $

$ \frac{9(5-x)}{x(9-x)} < 0 $

Нули: $5-x=0 \implies x=5$; $x=0$; $9-x=0 \implies x=9$. Точки выколотые.

Выбираем интервалы со знаком "-".

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (5; 9)$

9)

Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$ \frac{2}{x-3} - \frac{3}{x} \le 0 $

$ \frac{2x - 3(x-3)}{x(x-3)} \le 0 $

$ \frac{2x - 3x + 9}{x(x-3)} \le 0 $

$ \frac{9-x}{x(x-3)} \le 0 $

Нули: $9-x=0 \implies x=9$; $x=0$; $x-3=0 \implies x=3$.

Так как неравенство нестрогое, нуль числителя ($x=9$) включаем в ответ (закрашенная точка). Нули знаменателя ($x=0, x=3$) всегда выколотые.

Чтобы было удобнее, умножим на -1 и поменяем знак неравенства: $ \frac{x-9}{x(x-3)} \ge 0 $

Выбираем интервалы со знаком "+".

Ответ: $x \in (0; 3) \cup [9; +\infty)$

10)

Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$ \frac{3}{x+3} - \frac{2}{x} \ge 0 $

$ \frac{3x - 2(x+3)}{x(x+3)} \ge 0 $

$ \frac{3x - 2x - 6}{x(x+3)} \ge 0 $

$ \frac{x-6}{x(x+3)} \ge 0 $

Нули: $x-6=0 \implies x=6$ (включительно); $x=0$ (выколотая); $x+3=0 \implies x=-3$ (выколотая).

Выбираем интервалы со знаком "+".

Ответ: $x \in (-3; 0) \cup [6; +\infty)$

11)

Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$ \frac{1}{x-2} - \frac{5}{x} \ge 0 $

$ \frac{x - 5(x-2)}{x(x-2)} \ge 0 $

$ \frac{x - 5x + 10}{x(x-2)} \ge 0 $

$ \frac{10-4x}{x(x-2)} \ge 0 $

Нули: $10-4x=0 \implies 4x=10 \implies x=2.5$ (включительно); $x=0$ (выколотая); $x-2=0 \implies x=2$ (выколотая).

Умножим на -1 и поменяем знак неравенства: $ \frac{4x-10}{x(x-2)} \le 0 $

Выбираем интервалы со знаком "-".

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (2; 2,5]$

12)

Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$ \frac{4}{x-3} - \frac{6}{x} \ge 0 $

$ \frac{4x - 6(x-3)}{x(x-3)} \ge 0 $

$ \frac{4x - 6x + 18}{x(x-3)} \ge 0 $

$ \frac{18-2x}{x(x-3)} \ge 0 $

Нули: $18-2x=0 \implies 2x=18 \implies x=9$ (включительно); $x=0$ (выколотая); $x-3=0 \implies x=3$ (выколотая).

Умножим на -1 и поменяем знак неравенства: $ \frac{2x-18}{x(x-3)} \le 0 \implies \frac{x-9}{x(x-3)} \le 0 $

Выбираем интервалы со знаком "-".

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (3; 9]$