Номер 19.17, страница 158 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19.17. При каких значениях переменной $x$ принимает положительные значения функция $y$:

1) $y = \frac{x^4 - 8x^2 - 9}{x^2 - 2x + 1};$

2) $y = \frac{x^4 - x^2 - 20}{x^2 + 3x - 10};$

3) $y = \frac{x^4 + x^2 - 20}{x^2 - x - 12}?$

1) Для функции $y = \frac{x^4 - 8x^2 - 9}{x^2 - 2x + 1}$

Чтобы найти значения $x$, при которых функция принимает положительные значения, необходимо решить неравенство $y > 0$:

$\frac{x^4 - 8x^2 - 9}{x^2 - 2x + 1} > 0$

Знаменатель дроби $x^2 - 2x + 1$ представляет собой полный квадрат $(x-1)^2$. Это выражение всегда неотрицательно. Оно равно нулю при $x=1$ и положительно при всех остальных значениях $x$. Таким образом, область определения функции (ОДЗ) — $x \neq 1$.

Поскольку знаменатель $(x-1)^2$ положителен для всех $x$ из ОДЗ, знак дроби совпадает со знаком числителя. Следовательно, нам нужно решить неравенство:

$x^4 - 8x^2 - 9 > 0$

Это биквадратное неравенство. Сделаем замену переменной $t = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то $t \ge 0$.

$t^2 - 8t - 9 > 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $t^2 - 8t - 9 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = 9$ и $t_2 = -1$.

Разложим трехчлен на множители: $(t-9)(t+1) > 0$.

Учитывая условие $t \ge 0$, множитель $(t+1)$ всегда будет положительным. Поэтому неравенство сводится к $t-9 > 0$, то есть $t > 9$.

Выполним обратную замену:

$x^2 > 9$

Это неравенство эквивалентно $x^2 - 9 > 0$, или $(x-3)(x+3) > 0$. Решением является совокупность $x < -3$ или $x > 3$.

Это решение $x \in (-\infty; -3) \cup (3; \infty)$ не содержит точку $x=1$, поэтому оно полностью удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$.

2) Для функции $y = \frac{x^4 - x^2 - 20}{x^2 + 3x - 10}$

Решаем неравенство $\frac{x^4 - x^2 - 20}{x^2 + 3x - 10} > 0$. Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель $x^4 - x^2 - 20$: замена $t = x^2$ ($t \ge 0$) приводит к $t^2 - t - 20$. Корни уравнения $t^2 - t - 20 = 0$ — это $t_1=5$ и $t_2=-4$. Так как $t \ge 0$, корень $t_2=-4$ не подходит. Значит, $t^2 - t - 20 = (t-5)(t+4)$. Возвращаясь к $x$, получаем $(x^2-5)(x^2+4)$. Множитель $(x^2+4)$ всегда положителен. Значит, числитель можно представить как $(x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5})(x^2+4)$.

Знаменатель $x^2 + 3x - 10$: корни уравнения $x^2 + 3x - 10 = 0$ — это $x_1=2$ и $x_2=-5$. Значит, $x^2 + 3x - 10 = (x-2)(x+5)$.

Неравенство принимает вид: $\frac{(x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5})(x^2+4)}{(x-2)(x+5)} > 0$.

Так как $x^2+4 > 0$, мы можем сократить его, получив $\frac{(x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5})}{(x-2)(x+5)} > 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя: $\pm\sqrt{5}$. Нули знаменателя: $2, -5$. Расположим их на числовой оси в порядке возрастания: $-5, -\sqrt{5}, 2, \sqrt{5}$ (так как $\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}$, то $2 < \sqrt{5}$).

Эти точки разбивают ось на пять интервалов. Определим знак выражения в каждом из них. На интервале $(\sqrt{5}, +\infty)$ выражение положительно. На $(2, \sqrt{5})$ — отрицательно. На $(-\sqrt{5}, 2)$ — положительно. На $(-5, -\sqrt{5})$ — отрицательно. На $(-\infty, -5)$ — положительно.

Нам нужны интервалы, где выражение положительно.

Ответ: $x \in (-\infty, -5) \cup (-\sqrt{5}, 2) \cup (\sqrt{5}, \infty)$.

3) Для функции $y = \frac{x^4 + x^2 - 20}{x^2 - x - 12}$

Решаем неравенство $\frac{x^4 + x^2 - 20}{x^2 - x - 12} > 0$. Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель $x^4 + x^2 - 20$: замена $t = x^2$ ($t \ge 0$) приводит к $t^2 + t - 20$. Корни уравнения $t^2 + t - 20 = 0$ — это $t_1=4$ и $t_2=-5$. Так как $t \ge 0$, корень $t_2=-5$ не подходит. Значит, $t^2 + t - 20 = (t-4)(t+5)$. Возвращаясь к $x$, получаем $(x^2-4)(x^2+5)$. Множитель $(x^2+5)$ всегда положителен. Значит, числитель можно представить как $(x-2)(x+2)(x^2+5)$.

Знаменатель $x^2 - x - 12$: корни уравнения $x^2 - x - 12 = 0$ — это $x_1=4$ и $x_2=-3$. Значит, $x^2 - x - 12 = (x-4)(x+3)$.

Неравенство принимает вид: $\frac{(x-2)(x+2)(x^2+5)}{(x-4)(x+3)} > 0$.

Так как $x^2+5 > 0$, мы можем сократить его, получив $\frac{(x-2)(x+2)}{(x-4)(x+3)} > 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя: $\pm 2$. Нули знаменателя: $4, -3$. Расположим их на числовой оси в порядке возрастания: $-3, -2, 2, 4$.

Эти точки разбивают ось на пять интервалов. Определим знак выражения в каждом из них. На интервале $(4, +\infty)$ выражение положительно. На $(2, 4)$ — отрицательно. На $(-2, 2)$ — положительно. На $(-3, -2)$ — отрицательно. На $(-\infty, -3)$ — положительно.

Нам нужны интервалы, где выражение положительно.

Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (-2, 2) \cup (4, \infty)$.