Номер 19.24, страница 159 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19.24. Найдите все x, для которых выполняется неравенство:

1) max ($\frac{1}{x}$; $5x - 1$) $\ge x$;

2) min ($\frac{1}{x}$; $2x^2 - 3$) $\le x$;

3) max ($|x|$; $x^2 - 8x$) $\ge 9$;

4) min ($|x|$; $x^2 + 7x$) $\ge 8$;

5) max ($|x|$; $x^2 - 6x$) $\le 7$;

6) min ($|x|$; $x^2 + 5x$) $\ge 6$.

1)

Неравенство $\max(\frac{1}{x}; 5x-1) \ge x$ эквивалентно совокупности двух неравенств (при условии $x \neq 0$):
$\frac{1}{x} \ge x$ или $5x-1 \ge x$.

Решим первое неравенство:
$\frac{1}{x} \ge x$
$\frac{1}{x} - x \ge 0$
$\frac{1-x^2}{x} \ge 0$
$\frac{(1-x)(1+x)}{x} \ge 0$
Используя метод интервалов, находим, что это неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -1] \cup (0, 1]$.

Решим второе неравенство:
$5x-1 \ge x$
$4x \ge 1$
$x \ge \frac{1}{4}$
Это неравенство выполняется при $x \in [\frac{1}{4}, \infty)$.

Объединим множества решений: $(-\infty, -1] \cup (0, 1] \cup [\frac{1}{4}, \infty)$.
Поскольку $[\frac{1}{4}, \infty)$ включает в себя часть интервала $(0, 1]$, их объединение дает $(0, \infty)$.
Итоговое решение — это объединение $(-\infty, -1]$ и $(0, \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -1] \cup (0, \infty)$.

2)

Неравенство $\min(\frac{1}{x}; 2x^2-3) \le x$ эквивалентно совокупности двух неравенств (при условии $x \neq 0$):
$\frac{1}{x} \le x$ или $2x^2-3 \le x$.

Решим первое неравенство:
$\frac{1}{x} \le x$
$\frac{1}{x} - x \le 0$
$\frac{1-x^2}{x} \le 0$
$\frac{(1-x)(1+x)}{x} \le 0$
Используя метод интервалов, находим, что это неравенство выполняется при $x \in [-1, 0) \cup [1, \infty)$.

Решим второе неравенство:
$2x^2-3 \le x$
$2x^2 - x - 3 \le 0$
Найдем корни уравнения $2x^2-x-3=0$. Дискриминант $D = 1 - 4(2)(-3) = 25$.
Корни: $x_1 = \frac{1-5}{4} = -1$, $x_2 = \frac{1+5}{4} = \frac{3}{2}$.
Парабола $y=2x^2-x-3$ ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $x \in [-1, \frac{3}{2}]$.

Объединим множества решений: $([-1, 0) \cup [1, \infty)) \cup [-1, \frac{3}{2}]$.
Это объединение дает $[-1, \infty)$.
Так как исходное выражение не определено при $x=0$, мы должны исключить эту точку из решения.
Ответ: $x \in [-1, 0) \cup (0, \infty)$.

3)

Неравенство $\max(|x|; x^2-8x) \ge 9$ эквивалентно совокупности двух неравенств:
$|x| \ge 9$ или $x^2-8x \ge 9$.

Решим первое неравенство: $|x| \ge 9$.
Это равносильно $x \le -9$ или $x \ge 9$.
Решение: $x \in (-\infty, -9] \cup [9, \infty)$.

Решим второе неравенство:
$x^2-8x \ge 9$
$x^2-8x-9 \ge 0$
Корни уравнения $x^2-8x-9=0$ по теореме Виета равны $x_1=-1, x_2=9$.
Парабола ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -1] \cup [9, \infty)$.

Объединим множества решений: $((-\infty, -9] \cup [9, \infty)) \cup ((-\infty, -1] \cup [9, \infty))$.
Результатом объединения является $x \in (-\infty, -1] \cup [9, \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -1] \cup [9, \infty)$.

4)

Неравенство $\min(|x|; x^2+7x) \ge 8$ эквивалентно системе двух неравенств:
$|x| \ge 8$ и $x^2+7x \ge 8$.

Решим первое неравенство: $|x| \ge 8$.
Это равносильно $x \le -8$ или $x \ge 8$.
Решение: $x \in (-\infty, -8] \cup [8, \infty)$.

Решим второе неравенство:
$x^2+7x \ge 8$
$x^2+7x-8 \ge 0$
Корни уравнения $x^2+7x-8=0$ по теореме Виета равны $x_1=1, x_2=-8$.
Парабола ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -8] \cup [1, \infty)$.

Найдем пересечение множеств решений: $((-\infty, -8] \cup [8, \infty)) \cap ((-\infty, -8] \cup [1, \infty))$.
Результатом пересечения является $x \in (-\infty, -8] \cup [8, \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -8] \cup [8, \infty)$.

5)

Неравенство $\max(|x|; x^2-6x) \le 7$ эквивалентно системе двух неравенств:
$|x| \le 7$ и $x^2-6x \le 7$.

Решим первое неравенство: $|x| \le 7$.
Это равносильно $-7 \le x \le 7$.
Решение: $x \in [-7, 7]$.

Решим второе неравенство:
$x^2-6x \le 7$
$x^2-6x-7 \le 0$
Корни уравнения $x^2-6x-7=0$ по теореме Виета равны $x_1=-1, x_2=7$.
Парабола ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in [-1, 7]$.

Найдем пересечение множеств решений: $[-7, 7] \cap [-1, 7]$.
Результатом пересечения является $x \in [-1, 7]$.
Ответ: $x \in [-1, 7]$.

6)

Неравенство $\min(|x|; x^2+5x) \ge 6$ эквивалентно системе двух неравенств:
$|x| \ge 6$ и $x^2+5x \ge 6$.

Решим первое неравенство: $|x| \ge 6$.
Это равносильно $x \le -6$ или $x \ge 6$.
Решение: $x \in (-\infty, -6] \cup [6, \infty)$.

Решим второе неравенство:
$x^2+5x \ge 6$
$x^2+5x-6 \ge 0$
Корни уравнения $x^2+5x-6=0$ по теореме Виета равны $x_1=1, x_2=-6$.
Парабола ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -6] \cup [1, \infty)$.

Найдем пересечение множеств решений: $((-\infty, -6] \cup [6, \infty)) \cap ((-\infty, -6] \cup [1, \infty))$.
Результатом пересечения является $x \in (-\infty, -6] \cup [6, \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -6] \cup [6, \infty)$.