Номер 19.21, страница 159 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19.21. Решите неравенство:

1) $(x^2 - 3x - 2) \cdot (x^2 - 3x + 1) < 10;$

2) $(x^2 - 2x + 3) \cdot (x^2 - 2x + 1) < 3;$

3) $(x^2 + x) \cdot (x^2 + x - 2) < 24;$

4) $(x^2 + 3x + 2) \cdot (x^2 + 3x + 4) < 48.$

1) Исходное неравенство: $(x^2 - 3x - 2) \cdot (x^2 - 3x + 1) < 10$.

Данное неравенство решается методом введения новой переменной. Заметим, что в обоих множителях присутствует выражение $x^2 - 3x$.

Пусть $t = x^2 - 3x$. Тогда неравенство принимает вид:

$(t - 2)(t + 1) < 10$

Раскроем скобки и преобразуем неравенство:

$t^2 + t - 2t - 2 < 10$

$t^2 - t - 2 < 10$

$t^2 - t - 12 < 0$

Мы получили квадратное неравенство относительно переменной $t$. Найдем корни соответствующего уравнения $t^2 - t - 12 = 0$. По теореме Виета, корни равны $t_1 = 4$ и $t_2 = -3$.

Так как ветви параболы $y = t^2 - t - 12$ направлены вверх, неравенство $t^2 - t - 12 < 0$ выполняется при значениях $t$, находящихся между корнями.

$-3 < t < 4$

Теперь выполним обратную замену. Это двойное неравенство равносильно системе двух неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 3x > -3 \\ x^2 - 3x < 4 \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы.

Первое неравенство: $x^2 - 3x + 3 > 0$.

Найдем дискриминант квадратного трехчлена $x^2 - 3x + 3$: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3$. Поскольку дискриминант отрицателен ($D < 0$) и старший коэффициент положителен ($a=1 > 0$), данный трехчлен принимает положительные значения при любых действительных $x$. Таким образом, решение этого неравенства — $x \in (-\infty; +\infty)$.

Второе неравенство: $x^2 - 3x - 4 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$. Ветви параболы $y = x^2 - 3x - 4$ направлены вверх, следовательно, неравенство выполняется между корнями: $-1 < x < 4$.

Решением системы является пересечение решений двух неравенств: $x \in (-\infty; +\infty) \cap (-1; 4)$, что дает интервал $(-1; 4)$.

Ответ: $(-1; 4)$.

2) Исходное неравенство: $(x^2 - 2x + 3) \cdot (x^2 - 2x + 1) < 3$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2 - 2x$. Тогда неравенство принимает вид:

$(t + 3)(t + 1) < 3$

Раскроем скобки и решим полученное неравенство:

$t^2 + t + 3t + 3 < 3$

$t^2 + 4t < 0$

$t(t + 4) < 0$

Корни уравнения $t(t + 4) = 0$ равны $t_1 = 0$ и $t_2 = -4$. Ветви параболы $y = t^2 + 4t$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями:

$-4 < t < 0$

Выполним обратную замену:

$\begin{cases} x^2 - 2x > -4 \\ x^2 - 2x < 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 - 2x + 4 > 0$.

Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12$. Так как $D < 0$ и $a=1 > 0$, неравенство справедливо для всех $x \in (-\infty; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2 - 2x < 0$.

$x(x - 2) < 0$. Корни уравнения $x(x - 2) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$. Неравенство выполняется между корнями: $0 < x < 2$.

Пересечение решений $x \in (-\infty; +\infty)$ и $x \in (0; 2)$ дает интервал $(0; 2)$.

Ответ: $(0; 2)$.

3) Исходное неравенство: $(x^2 + x) \cdot (x^2 + x - 2) < 24$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2 + x$. Неравенство примет вид:

$t(t - 2) < 24$

$t^2 - 2t - 24 < 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - 2t - 24 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = 6$ и $t_2 = -4$. Так как ветви параболы направлены вверх, решение неравенства:

$-4 < t < 6$

Выполним обратную замену:

$\begin{cases} x^2 + x > -4 \\ x^2 + x < 6 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 + x + 4 > 0$.

Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 1 - 16 = -15$. Так как $D < 0$ и $a=1 > 0$, неравенство выполняется для всех $x \in (-\infty; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2 + x - 6 < 0$.

Корни уравнения $x^2 + x - 6 = 0$ равны $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$. Неравенство выполняется между корнями: $-3 < x < 2$.

Пересечение решений $x \in (-\infty; +\infty)$ и $x \in (-3; 2)$ дает интервал $(-3; 2)$.

Ответ: $(-3; 2)$.

4) Исходное неравенство: $(x^2 + 3x + 2) \cdot (x^2 + 3x + 4) < 48$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2 + 3x$. Неравенство примет вид:

$(t + 2)(t + 4) < 48$

$t^2 + 4t + 2t + 8 < 48$

$t^2 + 6t + 8 - 48 < 0$

$t^2 + 6t - 40 < 0$

Найдем корни уравнения $t^2 + 6t - 40 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = 4$ и $t_2 = -10$. Так как ветви параболы направлены вверх, решение неравенства:

$-10 < t < 4$

Выполним обратную замену:

$\begin{cases} x^2 + 3x > -10 \\ x^2 + 3x < 4 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 + 3x + 10 > 0$.

Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 9 - 40 = -31$. Так как $D < 0$ и $a=1 > 0$, неравенство выполняется для всех $x \in (-\infty; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2 + 3x - 4 < 0$.

Корни уравнения $x^2 + 3x - 4 = 0$ равны $x_1 = 1$ и $x_2 = -4$. Неравенство выполняется между корнями: $-4 < x < 1$.

Пересечение решений $x \in (-\infty; +\infty)$ и $x \in (-4; 1)$ дает интервал $(-4; 1)$.

Ответ: $(-4; 1)$.