Номер 19.20, страница 159 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19.20. Найдите все такие значения $x$, при которых значение хотя бы одной из функций:

1) $f(x) = x^2 + 5x + 3$; $g(x) = \frac{x+8}{2-x}$ больше 3;

2) $f(x) = 3x^2 - x + 2$; $g(x) = \frac{5-x}{x+2}$ меньше 2:

1)

Задача состоит в том, чтобы найти все значения $x$, для которых выполняется хотя бы одно из двух неравенств: $f(x) > 3$ или $g(x) > 3$. Это эквивалентно нахождению объединения решений этих двух неравенств.

Сначала решим неравенство $f(x) > 3$:

$x^2 + 5x + 3 > 3$

$x^2 + 5x > 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x + 5) > 0$

Корнями соответствующего уравнения $x(x + 5) = 0$ являются $x_1 = 0$ и $x_2 = -5$. Поскольку график функции $y = x^2 + 5x$ — это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется при значениях $x$ вне интервала между корнями.

Таким образом, решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -5) \cup (0, +\infty)$.

Теперь решим неравенство $g(x) > 3$:

$\frac{x + 8}{2 - x} > 3$

Перенесем 3 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{x + 8}{2 - x} - 3 > 0$

$\frac{x + 8 - 3(2 - x)}{2 - x} > 0$

$\frac{x + 8 - 6 + 3x}{2 - x} > 0$

$\frac{4x + 2}{2 - x} > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

$4x + 2 = 0 \Rightarrow x = -1/2$

$2 - x = 0 \Rightarrow x = 2$

Нанесем точки $-1/2$ и $2$ на числовую ось. Они разбивают ось на три интервала. Определим знак выражения на каждом интервале. Дробь $\frac{4x + 2}{2 - x}$ положительна, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки, что происходит на интервале $(-1/2, 2)$.

Таким образом, решение второго неравенства: $x \in (-1/2, 2)$.

Теперь найдем объединение множеств решений: $(-\infty, -5) \cup (0, +\infty)$ и $(-1/2, 2)$.

Объединяя эти два множества, получаем $x \in (-\infty, -5) \cup (-1/2, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -5) \cup (-1/2, \infty)$.

2)

Задача состоит в том, чтобы найти все значения $x$, для которых выполняется хотя бы одно из двух неравенств: $f(x) < 2$ или $g(x) < 2$. Это эквивалентно нахождению объединения решений этих двух неравенств.

Сначала решим неравенство $f(x) < 2$:

$3x^2 - x + 2 < 2$

$3x^2 - x < 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(3x - 1) < 0$

Корнями соответствующего уравнения $x(3x - 1) = 0$ являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 1/3$. Поскольку график функции $y = 3x^2 - x$ — это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется при значениях $x$ между корнями.

Таким образом, решение первого неравенства: $x \in (0, 1/3)$.

Теперь решим неравенство $g(x) < 2$:

$\frac{5 - x}{x + 2} < 2$

Перенесем 2 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{5 - x}{x + 2} - 2 < 0$

$\frac{5 - x - 2(x + 2)}{x + 2} < 0$

$\frac{5 - x - 2x - 4}{x + 2} < 0$

$\frac{1 - 3x}{x + 2} < 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

$1 - 3x = 0 \Rightarrow x = 1/3$

$x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$

Нанесем точки $-2$ и $1/3$ на числовую ось. Они разбивают ось на три интервала. Определим знак выражения на каждом интервале. Дробь $\frac{1 - 3x}{x + 2}$ отрицательна, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки, что происходит на интервалах $(-\infty, -2)$ и $(1/3, +\infty)$.

Таким образом, решение второго неравенства: $x \in (-\infty, -2) \cup (1/3, +\infty)$.

Теперь найдем объединение множеств решений: $(0, 1/3)$ и $(-\infty, -2) \cup (1/3, +\infty)$.

Объединяя эти два множества, получаем: $x \in (-\infty, -2) \cup (0, 1/3) \cup (1/3, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (0, 1/3) \cup (1/3, \infty)$.