Номер 19.23, страница 159 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19.23. Решите неравенство, содержащее переменную под знаком модуля:

1) $\frac{3x+7}{x^2-1} \cdot |x-1| \cdot (x-3)^2 \le 0;$

2) $\frac{5x-8}{x^2-16} \cdot |x-4| \cdot (x-5)^2 \ge 0;$

3) $\frac{3x-9}{4-x^2} \cdot |x-2| \cdot (x-4)^2 < 0;$

4) $\frac{3x+7}{25-x^2} \cdot |x-5| \cdot (x-6)^2 < 0.$

1) Решим неравенство $\frac{3x+7}{x^2-1} \cdot |x-1| \cdot (x-3)^2 \le 0$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не может быть равен нулю: $x^2-1 \ne 0$, что означает $(x-1)(x+1) \ne 0$. Следовательно, $x \ne 1$ и $x \ne -1$.

Множители $|x-1|$ и $(x-3)^2$ всегда неотрицательны, то есть $|x-1| \ge 0$ и $(x-3)^2 \ge 0$.

Неравенство выполняется в двух случаях: когда левая часть равна нулю или когда она строго меньше нуля.

Случай 1: Левая часть равна нулю.

Произведение равно нулю, если один из множителей в числителе равен нулю, при условии, что выражение определено (то есть $x$ входит в ОДЗ).

$3x+7=0 \implies x = -7/3$. Это значение входит в ОДЗ.

$|x-1|=0 \implies x=1$. Это значение не входит в ОДЗ.

$(x-3)^2=0 \implies x=3$. Это значение входит в ОДЗ.

Таким образом, $x = -7/3$ и $x=3$ являются решениями неравенства.

Случай 2: Левая часть строго меньше нуля.

Поскольку $|x-1| \ge 0$ и $(x-3)^2 \ge 0$, для того чтобы произведение было отрицательным, необходимо, чтобы множитель $\frac{3x+7}{x^2-1}$ был отрицательным, а множители $|x-1|$ и $(x-3)^2$ были строго положительными.

$|x-1| > 0 \implies x \ne 1$ (уже учтено в ОДЗ).

$(x-3)^2 > 0 \implies x \ne 3$.

Решаем неравенство $\frac{3x+7}{x^2-1} < 0$.

$\frac{3x+7}{(x-1)(x+1)} < 0$.

Применим метод интервалов. Корни числителя: $x = -7/3$. Корни знаменателя: $x = -1, x = 1$.

Нанесем точки на числовую ось: $-7/3, -1, 1$. Они разбивают ось на интервалы: $(-\infty, -7/3)$, $(-7/3, -1)$, $(-1, 1)$, $(1, \infty)$.

Определим знаки выражения $\frac{3x+7}{(x-1)(x+1)}$ в каждом интервале:

• При $x > 1$: знак $(+)$.
• При $-1 < x < 1$: знак $(-)$. Этот интервал является решением.
• При $-7/3 < x < -1$: знак $(+)$.
• При $x < -7/3$: знак $(-)$. Этот интервал является решением.

Решение неравенства $\frac{3x+7}{x^2-1} < 0$ есть объединение интервалов $(-\infty, -7/3) \cup (-1, 1)$.

Учитывая условие $x \ne 3$, которое уже выполняется для этих интервалов, получаем решения для строгого неравенства.

Объединение решений.

Объединяем решения из обоих случаев: $x \in \{ -7/3, 3 \}$ и $x \in (-\infty, -7/3) \cup (-1, 1)$.

Включаем точку $x = -7/3$ в интервал, получаем $(-\infty, -7/3]$. Точка $x=3$ является изолированным решением.

Ответ: $(-\infty, -7/3] \cup (-1, 1) \cup \{3\}$.

2) Решим неравенство $\frac{5x-8}{x^2-16} \cdot |x-4| \cdot (x-5)^2 \ge 0$.

ОДЗ: $x^2-16 \ne 0 \implies (x-4)(x+4) \ne 0$. Следовательно, $x \ne 4$ и $x \ne -4$.

Множители $|x-4|$ и $(x-5)^2$ всегда неотрицательны.

Случай 1: Левая часть равна нулю.

$5x-8=0 \implies x = 8/5 = 1.6$. Входит в ОДЗ.

$|x-4|=0 \implies x=4$. Не входит в ОДЗ.

$(x-5)^2=0 \implies x=5$. Входит в ОДЗ.

Решения: $x=8/5$ и $x=5$.

Случай 2: Левая часть строго больше нуля.

Для этого необходимо, чтобы $\frac{5x-8}{x^2-16} > 0$, а также $|x-4| > 0$ (то есть $x \ne 4$) и $(x-5)^2 > 0$ (то есть $x \ne 5$).

Решаем неравенство $\frac{5x-8}{(x-4)(x+4)} > 0$.

Метод интервалов. Корни числителя: $x=8/5$. Корни знаменателя: $x=-4, x=4$.

Точки на числовой оси: $-4, 8/5, 4$.

Определим знаки выражения $\frac{5x-8}{(x-4)(x+4)}$ в интервалах:

• При $x > 4$: знак $(+)$. Этот интервал является решением.
• При $8/5 < x < 4$: знак $(-)$.
• При $-4 < x < 8/5$: знак $(+)$. Этот интервал является решением.
• При $x < -4$: знак $(-)$.

Решение строгого неравенства: $x \in (-4, 8/5) \cup (4, \infty)$. Условия $x \ne 4$ и $x \ne 5$ здесь учтены (точка $5$ входит в интервал $(4, \infty)$).

Объединение решений.

Объединяем решения из обоих случаев: $x \in \{8/5, 5\}$ и $x \in (-4, 8/5) \cup (4, \infty)$.

Включаем точку $x=8/5$ в интервал, получаем $(-4, 8/5]$. Точка $x=5$ уже содержится в интервале $(4, \infty)$.

Ответ: $(-4, 8/5] \cup (4, \infty)$.

3) Решим неравенство $\frac{3x-9}{4-x^2} \cdot |x-2| \cdot (x-4)^2 < 0$.

ОДЗ: $4-x^2 \ne 0 \implies (2-x)(2+x) \ne 0$. Следовательно, $x \ne 2$ и $x \ne -2$.

Неравенство строгое, поэтому левая часть не может быть равна нулю. Это значит, что все множители должны быть отличны от нуля:

$3x-9 \ne 0 \implies x \ne 3$.

$|x-2| \ne 0 \implies x \ne 2$ (уже учтено в ОДЗ).

$(x-4)^2 \ne 0 \implies x \ne 4$.

Поскольку $|x-2| > 0$ и $(x-4)^2 > 0$ при указанных ограничениях, знак всего выражения определяется знаком дроби $\frac{3x-9}{4-x^2}$.

Решаем неравенство $\frac{3x-9}{4-x^2} < 0$.

$\frac{3(x-3)}{(2-x)(2+x)} < 0 \implies \frac{3(x-3)}{-(x-2)(x+2)} < 0$.

Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства: $\frac{3(x-3)}{(x-2)(x+2)} > 0$.

Метод интервалов. Корни: $x=3, x=2, x=-2$.

Точки на числовой оси: $-2, 2, 3$.

Определим знаки выражения $\frac{3(x-3)}{(x-2)(x+2)}$ в интервалах:

• При $x > 3$: знак $(+)$. Этот интервал является решением.
• При $2 < x < 3$: знак $(-)$.
• При $-2 < x < 2$: знак $(+)$. Этот интервал является решением.
• При $x < -2$: знак $(-)$.

Решение: $x \in (-2, 2) \cup (3, \infty)$.

Теперь нужно учесть дополнительное ограничение $x \ne 4$. Точка $x=4$ находится в интервале $(3, \infty)$, поэтому мы должны ее исключить.

Окончательное решение получается разбиением интервала $(3, \infty)$ на два: $(3, 4)$ и $(4, \infty)$.

Ответ: $(-2, 2) \cup (3, 4) \cup (4, \infty)$.

4) Решим неравенство $\frac{3x+7}{25-x^2} \cdot |x-5| \cdot (x-6)^2 < 0$.

ОДЗ: $25-x^2 \ne 0 \implies (5-x)(5+x) \ne 0$. Следовательно, $x \ne 5$ и $x \ne -5$.

Неравенство строгое, значит левая часть не равна нулю. Исключаем значения $x$, при которых множители обращаются в ноль:

$3x+7 \ne 0 \implies x \ne -7/3$.

$|x-5| \ne 0 \implies x \ne 5$ (уже учтено в ОДЗ).

$(x-6)^2 \ne 0 \implies x \ne 6$.

При этих условиях множители $|x-5|$ и $(x-6)^2$ строго положительны. Знак выражения совпадает со знаком дроби $\frac{3x+7}{25-x^2}$.

Решаем неравенство $\frac{3x+7}{25-x^2} < 0$.

$\frac{3x+7}{(5-x)(5+x)} < 0 \implies \frac{3x+7}{-(x-5)(x+5)} < 0$.

Умножим на -1 и сменим знак: $\frac{3x+7}{(x-5)(x+5)} > 0$.

Метод интервалов. Корни: $x=-7/3, x=5, x=-5$.

Точки на числовой оси: $-5, -7/3, 5$.

Определим знаки выражения $\frac{3x+7}{(x-5)(x+5)}$ в интервалах:

• При $x > 5$: знак $(+)$. Этот интервал является решением.
• При $-7/3 < x < 5$: знак $(-)$.
• При $-5 < x < -7/3$: знак $(+)$. Этот интервал является решением.
• При $x < -5$: знак $(-)$.

Решение: $x \in (-5, -7/3) \cup (5, \infty)$.

Теперь учтем ограничение $x \ne 6$. Точка $x=6$ лежит в интервале $(5, \infty)$, поэтому исключаем ее.

Разбиваем интервал $(5, \infty)$ на $(5, 6) \cup (6, \infty)$.

Ответ: $(-5, -7/3) \cup (5, 6) \cup (6, \infty)$.