Номер 19.22, страница 159 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19.22. Найдите наибольшее значение параметра p, при котором для любого x верно неравенство:

1) $2x^2 - 4x - 2 \ge p;$

2) $2x^2 - 2x - 0,5 \ge p;$

3) $x^2 - 10x - 5 \ge p;$

4) $3x^2 - 6x - 3 \ge p.$

1) Чтобы неравенство $2x^2 - 4x - 2 \ge p$ было верным для любого $x$, параметр $p$ должен быть не больше, чем наименьшее значение функции $f(x) = 2x^2 - 4x - 2$.

Функция $f(x)$ является квадратичной, ее график — парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен $2 > 0$. Следовательно, функция имеет наименьшее значение, которое достигается в вершине параболы.

Абсцисса вершины параболы вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$. В данном случае $a=2$, $b=-4$.

$x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.

Наименьшее значение функции равно значению функции в точке $x_v$:

$f_{min} = f(1) = 2(1)^2 - 4(1) - 2 = 2 - 4 - 2 = -4$.

Таким образом, неравенство будет выполняться для всех $x$, если $p \le f_{min}$, то есть $p \le -4$. Наибольшее значение параметра $p$, удовлетворяющее этому условию, равно $-4$.

Ответ: $-4$.

2) Рассмотрим неравенство $2x^2 - 2x - 0,5 \ge p$. Оно будет выполняться для любого $x$, если параметр $p$ не превышает наименьшего значения функции $f(x) = 2x^2 - 2x - 0,5$.

График функции $f(x)$ — парабола с ветвями вверх ($a=2>0$), поэтому она имеет наименьшее значение в своей вершине.

Найдем абсциссу вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0,5$.

Теперь найдем наименьшее значение функции:

$f_{min} = f(0,5) = 2(0,5)^2 - 2(0,5) - 0,5 = 2 \cdot 0,25 - 1 - 0,5 = 0,5 - 1 - 0,5 = -1$.

Условие $f(x) \ge p$ для всех $x$ эквивалентно условию $f_{min} \ge p$, то есть $-1 \ge p$. Наибольшее значение $p$, при котором это условие выполняется, равно $-1$.

Ответ: $-1$.

3) Для того чтобы неравенство $x^2 - 10x - 5 \ge p$ было верным для любого $x$, $p$ должно быть не больше наименьшего значения функции $f(x) = x^2 - 10x - 5$.

Данная функция представляет собой параболу с ветвями вверх ($a=1>0$), которая достигает своего минимума в вершине.

Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-10}{2 \cdot 1} = 5$.

Наименьшее значение функции:

$f_{min} = f(5) = 5^2 - 10(5) - 5 = 25 - 50 - 5 = -30$.

Следовательно, для выполнения исходного неравенства для всех $x$ должно быть верно $p \le -30$. Наибольшим таким значением $p$ является $-30$.

Ответ: $-30$.

4) Рассмотрим неравенство $3x^2 - 6x - 3 \ge p$. Оно будет истинным для любого $x$, если $p$ не будет превышать наименьшего значения функции $f(x) = 3x^2 - 6x - 3$.

График функции $f(x)$ — парабола, ветви которой направлены вверх ($a=3>0$). Наименьшее значение достигается в вершине.

Вычислим абсциссу вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$.

Вычислим наименьшее значение функции:

$f_{min} = f(1) = 3(1)^2 - 6(1) - 3 = 3 - 6 - 3 = -6$.

Таким образом, для выполнения неравенства при любом $x$ необходимо, чтобы $p \le -6$. Наибольшее значение параметра $p$, которое удовлетворяет этому условию, равно $-6$.

Ответ: $-6$.