Номер 19.15, страница 158 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19.15. Решите неравенство:

1) $x^4 - 13x^2 + 36 \le 0;$

2) $x^4 - 2x^2 - 15 \le 0;$

3) $x^4 - 12x^2 + 36 > 0;$

4) $16x^4 - 24x^2 + 9 < 0;$

5) $(x^2 - 4x + 4) (3x^2 - 2x - 1) \le 0;$

6) $(x^2 - 6x + 8) (9x^2 - 6x + 1) < 0;$

7) $(x^2 - 5x + 6) (x^2 + 3x)^2 > 0;$

8) $(5x^2 + 6x + 1) (x^4 - 6x^3 + 9x^2) \le 0;$

9) $\frac{x^2 + 4x - 1}{x^2 + 4x + 3} \le \frac{1}{x + 1};$

10) $\frac{x^2 - x + 6}{x^2 - 3x + 2} \le \frac{2x}{x - 2};$

11) $\frac{x^2 - 5x + 11}{x^2 - x - 2} \le - \frac{7}{x + 1};$

12) $\frac{x^2 + 3x + 54}{x^2 - 8x + 15} \le - \frac{8}{x - 5}.$

1)

Дано биквадратное неравенство $x^4 - 13x^2 + 36 \le 0$.

Введем замену переменной $t = x^2$. Поскольку $x^2 \ge 0$, то и $t \ge 0$.

Неравенство принимает вид квадратного неравенства относительно $t$: $t^2 - 13t + 36 \le 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $t^2 - 13t + 36 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = 4$ и $t_2 = 9$.

Парабола $y = t^2 - 13t + 36$ ветвями вверх, поэтому неравенство $t^2 - 13t + 36 \le 0$ выполняется между корнями: $4 \le t \le 9$.

Это решение удовлетворяет условию $t \ge 0$.

Вернемся к переменной $x$:

$4 \le x^2 \le 9$.

Это двойное неравенство равносильно системе $\begin{cases} x^2 \ge 4 \\ x^2 \le 9 \end{cases}$.

Решением первого неравенства $x^2 - 4 \ge 0$ или $(x-2)(x+2) \ge 0$ является объединение интервалов $(-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.

Решением второго неравенства $x^2 - 9 \le 0$ или $(x-3)(x+3) \le 0$ является отрезок $[-3, 3]$.

Найдем пересечение этих решений: $( (-\infty, -2] \cup [2, \infty) ) \cap [-3, 3]$.

Пересечение дает $[-3, -2] \cup [2, 3]$.

Ответ: $x \in [-3, -2] \cup [2, 3]$.

2)

Дано биквадратное неравенство $x^4 - 2x^2 - 15 \le 0$.

Введем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.

Получаем $t^2 - 2t - 15 \le 0$.

Корни уравнения $t^2 - 2t - 15 = 0$ равны $t_1 = -3$ и $t_2 = 5$.

Решение неравенства $(t+3)(t-5) \le 0$ есть отрезок $[-3, 5]$.

С учетом условия $t \ge 0$, получаем $0 \le t \le 5$.

Возвращаемся к $x$: $0 \le x^2 \le 5$.

Неравенство $x^2 \ge 0$ выполняется для всех $x$.

Неравенство $x^2 \le 5$ или $x^2 - 5 \le 0$ имеет решение $[-\sqrt{5}, \sqrt{5}]$.

Пересечение этих решений дает $[-\sqrt{5}, \sqrt{5}]$.

Ответ: $x \in [-\sqrt{5}, \sqrt{5}]$.

3)

Дано неравенство $x^4 - 12x^2 + 36 > 0$.

Левая часть является полным квадратом: $(x^2 - 6)^2 > 0$.

Квадрат любого действительного числа, не равного нулю, строго положителен.

Следовательно, неравенство выполняется для всех $x$, для которых $x^2 - 6 \ne 0$.

$x^2 \ne 6$, что означает $x \ne \sqrt{6}$ и $x \ne -\sqrt{6}$.

Таким образом, решение - это вся числовая прямая, за исключением точек $-\sqrt{6}$ и $\sqrt{6}$.

Ответ: $x \in (-\infty, -\sqrt{6}) \cup (-\sqrt{6}, \sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, \infty)$.

4)

Дано неравенство $16x^4 - 24x^2 + 9 < 0$.

Левая часть является полным квадратом: $(4x^2 - 3)^2 < 0$.

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(4x^2 - 3)^2 \ge 0$ для всех $x$.

Следовательно, неравенство $(4x^2 - 3)^2 < 0$ не имеет решений.

Ответ: решений нет ( $x \in \emptyset$ ).

5)

Дано неравенство $(x^2 - 4x + 4)(3x^2 - 2x - 1) \le 0$.

Разложим множители на множители. Первый множитель: $x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$.

Для второго множителя $3x^2 - 2x - 1$ найдем корни уравнения $3x^2 - 2x - 1=0$. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 16$. Корни $x_1 = \frac{2-4}{6} = -\frac{1}{3}$ и $x_2 = \frac{2+4}{6} = 1$.

Тогда $3x^2 - 2x - 1 = 3(x+\frac{1}{3})(x-1)$.

Неравенство принимает вид: $(x-2)^2 \cdot 3(x+\frac{1}{3})(x-1) \le 0$.

Множитель $(x-2)^2$ всегда неотрицателен. Рассмотрим два случая:

1. Если $x=2$, то $(2-2)^2 = 0$, и неравенство становится $0 \le 0$, что верно. Значит, $x=2$ является решением.

2. Если $x \ne 2$, то $(x-2)^2 > 0$. Можно разделить обе части на $3(x-2)^2$, знак неравенства не изменится: $(x+\frac{1}{3})(x-1) \le 0$.

Решением этого квадратного неравенства является отрезок $[-\frac{1}{3}, 1]$.

Объединяя оба случая, получаем решение: $[-\frac{1}{3}, 1] \cup \{2\}$.

Ответ: $x \in [-\frac{1}{3}, 1] \cup \{2\}$.

6)

Дано неравенство $(x^2 - 6x + 8)(9x^2 - 6x + 1) < 0$.

Разложим на множители. Первый множитель: $x^2 - 6x + 8 = (x-2)(x-4)$.

Второй множитель: $9x^2 - 6x + 1 = (3x-1)^2$.

Неравенство принимает вид: $(x-2)(x-4)(3x-1)^2 < 0$.

Множитель $(3x-1)^2$ неотрицателен. Для выполнения строгого неравенства он должен быть строго положителен, то есть $(3x-1)^2 > 0$, что означает $3x-1 \ne 0$, или $x \ne \frac{1}{3}$.

При $x \ne \frac{1}{3}$ можно разделить неравенство на $(3x-1)^2 > 0$:

$(x-2)(x-4) < 0$.

Решением этого неравенства является интервал $(2, 4)$.

Значение $x = \frac{1}{3}$ не входит в этот интервал, поэтому дополнительных исключений не требуется.

Ответ: $x \in (2, 4)$.

7)

Дано неравенство $(x^2 - 5x + 6)(x^2 + 3x)^2 > 0$.

Разложим на множители. Первый множитель: $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$.

Второй множитель: $(x^2 + 3x)^2 = (x(x+3))^2 = x^2(x+3)^2$.

Неравенство принимает вид: $(x-2)(x-3)x^2(x+3)^2 > 0$.

Множители $x^2$ и $(x+3)^2$ неотрицательны. Для выполнения строгого неравенства они должны быть строго положительны.

Это требует $x^2 > 0 \implies x \ne 0$ и $(x+3)^2 > 0 \implies x \ne -3$.

При этих условиях можно разделить неравенство на $x^2(x+3)^2 > 0$:

$(x-2)(x-3) > 0$.

Решением этого неравенства является $(-\infty, 2) \cup (3, \infty)$.

Теперь нужно исключить из этого решения точки $x=0$ и $x=-3$.

Получаем: $(-\infty, -3) \cup (-3, 0) \cup (0, 2) \cup (3, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (-3, 0) \cup (0, 2) \cup (3, \infty)$.

8)

Дано неравенство $(5x^2 + 6x + 1)(x^4 - 6x^3 + 9x^2) \le 0$.

Разложим на множители. Первый множитель $5x^2+6x+1$: корни уравнения $5x^2+6x+1=0$ это $x_1=-1, x_2=-1/5$. Значит, $5x^2+6x+1 = 5(x+1)(x+1/5)$.

Второй множитель: $x^4 - 6x^3 + 9x^2 = x^2(x^2 - 6x + 9) = x^2(x-3)^2$.

Неравенство принимает вид: $5(x+1)(x+1/5)x^2(x-3)^2 \le 0$.

Множитель $x^2(x-3)^2$ всегда неотрицателен. Рассмотрим два случая:

1. Если $x=0$ или $x=3$, то левая часть равна нулю, и неравенство $0 \le 0$ выполняется. Значит, $x=0$ и $x=3$ являются решениями.

2. Если $x \ne 0$ и $x \ne 3$, то $x^2(x-3)^2 > 0$. Можно разделить неравенство на $5x^2(x-3)^2 > 0$:

$(x+1)(x+1/5) \le 0$.

Решением этого неравенства является отрезок $[-1, -1/5]$.

Объединяя оба случая, получаем решение: $[-1, -1/5] \cup \{0, 3\}$.

Ответ: $x \in [-1, -1/5] \cup \{0, 3\}$.

9)

Дано неравенство $\frac{x^2 + 4x - 1}{x^2 + 4x + 3} \le \frac{1}{x+1}$.

Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю. Знаменатель $x^2 + 4x + 3$ раскладывается как $(x+1)(x+3)$. Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ne -1, x \ne -3$.

$\frac{x^2 + 4x - 1}{(x+1)(x+3)} - \frac{1}{x+1} \le 0$

$\frac{x^2 + 4x - 1}{(x+1)(x+3)} - \frac{1 \cdot (x+3)}{(x+1)(x+3)} \le 0$

$\frac{x^2 + 4x - 1 - (x+3)}{(x+1)(x+3)} \le 0$

$\frac{x^2 + 3x - 4}{(x+1)(x+3)} \le 0$

Разложим числитель на множители: $x^2 + 3x - 4 = (x+4)(x-1)$.

$\frac{(x+4)(x-1)}{(x+1)(x+3)} \le 0$

Решим методом интервалов. Корни числителя (нули функции): $x=-4, x=1$. Корни знаменателя (точки разрыва): $x=-1, x=-3$.

Отметим точки на числовой оси: -4, -3, -1, 1.

Интервалы и знаки выражения: $(-\infty, -4]: +$; $[-4, -3): -$; $(-3, -1): +$; $(-1, 1]: -$; $[1, \infty): +$.

Выбираем интервалы со знаком "минус", включая нули числителя и исключая нули знаменателя.

Получаем: $[-4, -3) \cup (-1, 1]$.

Ответ: $x \in [-4, -3) \cup (-1, 1]$.

10)

Дано неравенство $\frac{x^2 - x + 6}{x^2 - 3x + 2} \le \frac{2x}{x-2}$.

Разложим знаменатель $x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$. ОДЗ: $x \ne 1, x \ne 2$.

$\frac{x^2 - x + 6}{(x-1)(x-2)} - \frac{2x}{x-2} \le 0$

$\frac{x^2 - x + 6}{(x-1)(x-2)} - \frac{2x(x-1)}{(x-1)(x-2)} \le 0$

$\frac{x^2 - x + 6 - 2x^2 + 2x}{(x-1)(x-2)} \le 0$

$\frac{-x^2 + x + 6}{(x-1)(x-2)} \le 0$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$\frac{x^2 - x - 6}{(x-1)(x-2)} \ge 0$

Разложим числитель: $x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2)$.

$\frac{(x-3)(x+2)}{(x-1)(x-2)} \ge 0$

Решим методом интервалов. Корни: -2, 1, 2, 3.

Интервалы и знаки: $(-\infty, -2]: +$; $[-2, 1): -$; $(1, 2): +$; $(2, 3]: -$; $[3, \infty): +$.

Выбираем интервалы со знаком "плюс", включая нули числителя и исключая нули знаменателя.

Получаем: $(-\infty, -2] \cup (1, 2) \cup [3, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2] \cup (1, 2) \cup [3, \infty)$.

11)

Дано неравенство $\frac{x^2 - 5x + 11}{x^2 - x - 2} \le - \frac{7}{x+1}$.

Перенесем все влево: $\frac{x^2 - 5x + 11}{x^2 - x - 2} + \frac{7}{x+1} \le 0$.

Разложим знаменатель $x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$. ОДЗ: $x \ne 2, x \ne -1$.

$\frac{x^2 - 5x + 11}{(x-2)(x+1)} + \frac{7(x-2)}{(x-2)(x+1)} \le 0$

$\frac{x^2 - 5x + 11 + 7x - 14}{(x-2)(x+1)} \le 0$

$\frac{x^2 + 2x - 3}{(x-2)(x+1)} \le 0$

Разложим числитель: $x^2 + 2x - 3 = (x+3)(x-1)$.

$\frac{(x+3)(x-1)}{(x-2)(x+1)} \le 0$

Решим методом интервалов. Корни: -3, -1, 1, 2.

Интервалы и знаки: $(-\infty, -3]: +$; $[-3, -1): -$; $(-1, 1]: +$; $[1, 2): -$; $(2, \infty): +$.

Выбираем интервалы со знаком "минус".

Получаем: $[-3, -1) \cup [1, 2)$.

Ответ: $x \in [-3, -1) \cup [1, 2)$.

12)

Дано неравенство $\frac{x^2 + 3x + 54}{x^2 - 8x + 15} \le - \frac{8}{x-5}$.

Перенесем все влево: $\frac{x^2 + 3x + 54}{x^2 - 8x + 15} + \frac{8}{x-5} \le 0$.

Разложим знаменатель $x^2 - 8x + 15 = (x-3)(x-5)$. ОДЗ: $x \ne 3, x \ne 5$.

$\frac{x^2 + 3x + 54}{(x-3)(x-5)} + \frac{8(x-3)}{(x-3)(x-5)} \le 0$

$\frac{x^2 + 3x + 54 + 8x - 24}{(x-3)(x-5)} \le 0$

$\frac{x^2 + 11x + 30}{(x-3)(x-5)} \le 0$

Разложим числитель: $x^2 + 11x + 30 = (x+6)(x+5)$.

$\frac{(x+6)(x+5)}{(x-3)(x-5)} \le 0$

Решим методом интервалов. Корни: -6, -5, 3, 5.

Интервалы и знаки: $(-\infty, -6]: +$; $[-6, -5]: -$; $[-5, 3): +$; $(3, 5): -$; $(5, \infty): +$.

Выбираем интервалы со знаком "минус".

Получаем: $[-6, -5] \cup (3, 5)$.

Ответ: $x \in [-6, -5] \cup (3, 5)$.