Номер 19.12, страница 157 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19.12. Замените равносильным неравенством и решите неравенство:

1) $\frac{3x+2}{x^2+x-2} < -1;$

2) $\frac{x-2}{x^2+x-2} \ge 1;$

3) $\frac{x+5}{x^2-1} > 1;$

4) $\frac{3-9x}{x^2-1} > 2;$

5) $\frac{2x-7}{x^2+2x-8} > 1;$

6) $\frac{7x+1}{x^2+4x+3} \ge 1;$

7) $\frac{5x+1}{x^2-3x-4} < -1;$

8) $\frac{5x+3}{x^2+x-2} > 1;$

9) $\frac{3x-5}{x^2+2x-8} \le 2;$

10) $\frac{4x+5}{x^2+4x+3} < 3;$

11) $\frac{3x+1}{x^2-4x+3} > -2;$

12) $\frac{5x+3}{x^2-x-2} \le 3.$

1)Исходное неравенство: $\frac{3x+2}{x^2+x-2} < -1$.
Заменим его равносильным, перенеся все члены в левую часть и приведя к общему знаменателю:
$\frac{3x+2}{x^2+x-2} + 1 < 0$
$\frac{3x+2 + (x^2+x-2)}{x^2+x-2} < 0$
$\frac{x^2+4x}{x^2+x-2} < 0$
Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель: $x^2+4x = x(x+4)$. Корни: $x=0, x=-4$.
Знаменатель: $x^2+x-2=0$. Корни по теореме Виета: $x_1=-2, x_2=1$. Тогда $x^2+x-2=(x+2)(x-1)$.
Неравенство принимает вид: $\frac{x(x+4)}{(x+2)(x-1)} < 0$.
Решим неравенство методом интервалов. Нанесем на числовую ось корни числителя ($0, -4$) и знаменателя ($-2, 1$). Так как неравенство строгое, все точки выколотые. Корни в порядке возрастания: $-4, -2, 0, 1$.
Определим знаки выражения на интервалах, начиная с крайнего правого: $(1, +\infty)$ - знак "+". Далее знаки чередуются, так как все корни имеют нечетную кратность.
$(-\infty, -4): +$; $(-4, -2): -$; $(-2, 0): +$; $(0, 1): -$; $(1, +\infty): +$.
Выбираем интервалы со знаком "минус".
Ответ: $x \in (-4, -2) \cup (0, 1)$.

2)Исходное неравенство: $\frac{x-2}{x^2+x-2} \ge 1$.
Преобразуем в равносильное:
$\frac{x-2}{x^2+x-2} - 1 \ge 0$
$\frac{x-2 - (x^2+x-2)}{x^2+x-2} \ge 0$
$\frac{-x^2}{x^2+x-2} \ge 0$
Умножим на -1, изменив знак неравенства:
$\frac{x^2}{x^2+x-2} \le 0$
Знаменатель: $x^2+x-2=(x+2)(x-1)$. Корни: $x=-2, x=1$.
Числитель: $x^2=0$. Корень: $x=0$ (кратность 2).
Неравенство: $\frac{x^2}{(x+2)(x-1)} \le 0$.
Метод интервалов. Корни знаменателя ($-2, 1$) выколотые. Корень числителя ($0$) невыколотый (включен).
Корни на оси: $-2, 0, 1$.
Определяем знаки: $(1, +\infty)$ - "+". При переходе через $x=1$ знак меняется. При переходе через $x=0$ (корень четной кратности) знак не меняется. При переходе через $x=-2$ знак меняется.
$(-\infty, -2): +$; $(-2, 0): -$; $(0, 1): -$; $(1, +\infty): +$.
Нам нужно, чтобы выражение было $\le 0$. Это интервалы $(-2, 0)$ и $(0, 1)$, а также точка $x=0$. Объединяя, получаем интервал $(-2, 1)$.
Ответ: $x \in (-2, 1)$.

3)Исходное неравенство: $\frac{x+5}{x^2-1} > 1$.
Преобразуем в равносильное:
$\frac{x+5}{x^2-1} - 1 > 0$
$\frac{x+5 - (x^2-1)}{x^2-1} > 0$
$\frac{-x^2+x+6}{x^2-1} > 0$
$\frac{x^2-x-6}{x^2-1} < 0$
Разложим на множители. Числитель: $x^2-x-6=(x-3)(x+2)$. Корни: $3, -2$. Знаменатель: $x^2-1=(x-1)(x+1)$. Корни: $1, -1$.
Неравенство: $\frac{(x-3)(x+2)}{(x-1)(x+1)} < 0$.
Метод интервалов. Все корни выколотые. Корни на оси: $-2, -1, 1, 3$.
Знаки на интервалах: $(-\infty, -2): +$; $(-2, -1): -$; $(-1, 1): +$; $(1, 3): -$; $(3, +\infty): +$.
Выбираем интервалы со знаком "минус".
Ответ: $x \in (-2, -1) \cup (1, 3)$.

4)Исходное неравенство: $\frac{3-9x}{x^2-1} > 2$.
Преобразуем в равносильное:
$\frac{3-9x}{x^2-1} - 2 > 0$
$\frac{3-9x - 2(x^2-1)}{x^2-1} > 0$
$\frac{-2x^2-9x+5}{x^2-1} > 0$
$\frac{2x^2+9x-5}{x^2-1} < 0$
Разложим на множители. Числитель $2x^2+9x-5=0$. Корни: $x_1=\frac{1}{2}, x_2=-5$. $2x^2+9x-5=(2x-1)(x+5)$. Знаменатель: $x^2-1=(x-1)(x+1)$.
Неравенство: $\frac{(2x-1)(x+5)}{(x-1)(x+1)} < 0$.
Метод интервалов. Все корни выколотые. Корни на оси: $-5, -1, 1/2, 1$.
Знаки на интервалах: $(-\infty, -5): +$; $(-5, -1): -$; $(-1, 1/2): +$; $(1/2, 1): -$; $(1, +\infty): +$.
Выбираем интервалы со знаком "минус".
Ответ: $x \in (-5, -1) \cup (\frac{1}{2}, 1)$.

5)Исходное неравенство: $\frac{2x-7}{x^2+2x-8} > 1$.
Преобразуем в равносильное:
$\frac{2x-7 - (x^2+2x-8)}{x^2+2x-8} > 0$
$\frac{-x^2+1}{x^2+2x-8} > 0$
$\frac{x^2-1}{x^2+2x-8} < 0$
Разложим на множители. Числитель: $x^2-1=(x-1)(x+1)$. Корни: $1, -1$. Знаменатель: $x^2+2x-8=(x+4)(x-2)$. Корни: $-4, 2$.
Неравенство: $\frac{(x-1)(x+1)}{(x+4)(x-2)} < 0$.
Метод интервалов. Все корни выколотые. Корни на оси: $-4, -1, 1, 2$.
Знаки на интервалах: $(-\infty, -4): +$; $(-4, -1): -$; $(-1, 1): +$; $(1, 2): -$; $(2, +\infty): +$.
Выбираем интервалы со знаком "минус".
Ответ: $x \in (-4, -1) \cup (1, 2)$.

6)Исходное неравенство: $\frac{7x+1}{x^2+4x+3} \ge 1$.
Преобразуем в равносильное:
$\frac{7x+1 - (x^2+4x+3)}{x^2+4x+3} \ge 0$
$\frac{-x^2+3x-2}{x^2+4x+3} \ge 0$
$\frac{x^2-3x+2}{x^2+4x+3} \le 0$
Разложим на множители. Числитель: $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$. Корни: $1, 2$. Знаменатель: $x^2+4x+3=(x+1)(x+3)$. Корни: $-1, -3$.
Неравенство: $\frac{(x-1)(x-2)}{(x+1)(x+3)} \le 0$.
Метод интервалов. Корни числителя ($1, 2$) включены. Корни знаменателя ($-3, -1$) выколоты. Корни на оси: $-3, -1, 1, 2$.
Знаки на интервалах: $(-\infty, -3): +$; $(-3, -1): -$; $(-1, 1): +$; $(1, 2): -$; $(2, +\infty): +$.
Выбираем интервалы со знаком "минус" и включенные концы.
Ответ: $x \in (-3, -1) \cup [1, 2]$.

7)Исходное неравенство: $\frac{5x+1}{x^2-3x-4} < -1$.
Преобразуем в равносильное:
$\frac{5x+1 + (x^2-3x-4)}{x^2-3x-4} < 0$
$\frac{x^2+2x-3}{x^2-3x-4} < 0$
Разложим на множители. Числитель: $x^2+2x-3=(x+3)(x-1)$. Корни: $-3, 1$. Знаменатель: $x^2-3x-4=(x-4)(x+1)$. Корни: $4, -1$.
Неравенство: $\frac{(x+3)(x-1)}{(x-4)(x+1)} < 0$.
Метод интервалов. Все корни выколотые. Корни на оси: $-3, -1, 1, 4$.
Знаки на интервалах: $(-\infty, -3): +$; $(-3, -1): -$; $(-1, 1): +$; $(1, 4): -$; $(4, +\infty): +$.
Выбираем интервалы со знаком "минус".
Ответ: $x \in (-3, -1) \cup (1, 4)$.

8)Исходное неравенство: $\frac{5x+3}{x^2+x-2} > 1$.
Преобразуем в равносильное:
$\frac{5x+3 - (x^2+x-2)}{x^2+x-2} > 0$
$\frac{-x^2+4x+5}{x^2+x-2} > 0$
$\frac{x^2-4x-5}{x^2+x-2} < 0$
Разложим на множители. Числитель: $x^2-4x-5=(x-5)(x+1)$. Корни: $5, -1$. Знаменатель: $x^2+x-2=(x+2)(x-1)$. Корни: $-2, 1$.
Неравенство: $\frac{(x-5)(x+1)}{(x+2)(x-1)} < 0$.
Метод интервалов. Все корни выколотые. Корни на оси: $-2, -1, 1, 5$.
Знаки на интервалах: $(-\infty, -2): +$; $(-2, -1): -$; $(-1, 1): +$; $(1, 5): -$; $(5, +\infty): +$.
Выбираем интервалы со знаком "минус".
Ответ: $x \in (-2, -1) \cup (1, 5)$.

9)Исходное неравенство: $\frac{3x-5}{x^2+2x-8} \le 2$.
Преобразуем в равносильное:
$\frac{3x-5 - 2(x^2+2x-8)}{x^2+2x-8} \le 0$
$\frac{-2x^2-x+11}{x^2+2x-8} \le 0$
$\frac{2x^2+x-11}{x^2+2x-8} \ge 0$
Разложим на множители. Числитель $2x^2+x-11=0$. Корни: $x = \frac{-1 \pm \sqrt{1-4(2)(-11)}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{89}}{4}$. Знаменатель: $x^2+2x-8=(x+4)(x-2)$. Корни: $-4, 2$.
Неравенство: $\frac{2(x-\frac{-1-\sqrt{89}}{4})(x-\frac{-1+\sqrt{89}}{4})}{(x+4)(x-2)} \ge 0$.
Метод интервалов. Корни числителя ($\frac{-1 \pm \sqrt{89}}{4}$) включены. Корни знаменателя ($-4, 2$) выколоты. Корни на оси в порядке возрастания: $-4, \frac{-1-\sqrt{89}}{4}, 2, \frac{-1+\sqrt{89}}{4}$.
Знаки на интервалах: $(-\infty, -4): +$; $(-4, \frac{-1-\sqrt{89}}{4}): -$; $(\frac{-1-\sqrt{89}}{4}, 2): +$; $(2, \frac{-1+\sqrt{89}}{4}): -$; $(\frac{-1+\sqrt{89}}{4}, \infty): +$.
Выбираем интервалы со знаком "плюс" и включенные концы.
Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup [\frac{-1-\sqrt{89}}{4}, 2) \cup [\frac{-1+\sqrt{89}}{4}, \infty)$.

10)Исходное неравенство: $\frac{4x+5}{x^2+4x+3} < 3$.
Преобразуем в равносильное:
$\frac{4x+5 - 3(x^2+4x+3)}{x^2+4x+3} < 0$
$\frac{-3x^2-8x-4}{x^2+4x+3} < 0$
$\frac{3x^2+8x+4}{x^2+4x+3} > 0$
Разложим на множители. Числитель $3x^2+8x+4=0$. Корни: $x_1=-2, x_2=-\frac{2}{3}$. $3x^2+8x+4=(x+2)(3x+2)$. Знаменатель: $x^2+4x+3=(x+1)(x+3)$.
Неравенство: $\frac{(x+2)(3x+2)}{(x+1)(x+3)} > 0$.
Метод интервалов. Все корни выколотые. Корни на оси: $-3, -2, -1, -2/3$.
Знаки на интервалах: $(-\infty, -3): +$; $(-3, -2): -$; $(-2, -1): +$; $(-1, -2/3): -$; $(-2/3, \infty): +$.
Выбираем интервалы со знаком "плюс".
Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (-2, -1) \cup (-\frac{2}{3}, \infty)$.

11)Исходное неравенство: $\frac{3x+1}{x^2-4x+3} > -2$.
Преобразуем в равносильное:
$\frac{3x+1 + 2(x^2-4x+3)}{x^2-4x+3} > 0$
$\frac{2x^2-5x+7}{x^2-4x+3} > 0$
Рассмотрим числитель: $2x^2-5x+7$. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4(2)(7) = 25 - 56 = -31 < 0$. Так как старший коэффициент $2>0$, числитель всегда положителен.
Поэтому неравенство равносильно неравенству $x^2-4x+3 > 0$.
Разложим на множители: $(x-1)(x-3) > 0$.
Корни: $1, 3$. Это парабола ветвями вверх, она положительна вне интервала между корнями.
Ответ: $x \in (-\infty, 1) \cup (3, \infty)$.

12)Исходное неравенство: $\frac{5x+3}{x^2-x-2} \le 3$.
Преобразуем в равносильное:
$\frac{5x+3 - 3(x^2-x-2)}{x^2-x-2} \le 0$
$\frac{-3x^2+8x+9}{x^2-x-2} \le 0$
$\frac{3x^2-8x-9}{x^2-x-2} \ge 0$
Разложим на множители. Числитель $3x^2-8x-9=0$. Корни: $x = \frac{8 \pm \sqrt{64-4(3)(-9)}}{6} = \frac{8 \pm \sqrt{172}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{43}}{3}$. Знаменатель: $x^2-x-2=(x-2)(x+1)$. Корни: $2, -1$.
Неравенство: $\frac{3(x-\frac{4-\sqrt{43}}{3})(x-\frac{4+\sqrt{43}}{3})}{(x-2)(x+1)} \ge 0$.
Метод интервалов. Корни числителя ($\frac{4 \pm \sqrt{43}}{3}$) включены. Корни знаменателя ($-1, 2$) выколоты. Корни на оси в порядке возрастания: $-1, \frac{4-\sqrt{43}}{3}, 2, \frac{4+\sqrt{43}}{3}$.
Знаки на интервалах: $(-\infty, -1): +$; $(-1, \frac{4-\sqrt{43}}{3}): -$; $(\frac{4-\sqrt{43}}{3}, 2): +$; $(2, \frac{4+\sqrt{43}}{3}): -$; $(\frac{4+\sqrt{43}}{3}, \infty): +$.
Выбираем интервалы со знаком "плюс" и включенные концы.
Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup [\frac{4-\sqrt{43}}{3}, 2) \cup [\frac{4+\sqrt{43}}{3}, \infty)$.