Номер 19.13, страница 157 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19.13. Решите неравенство:

1) $(x^2 - 3x + 2) (x^2 + 2x) \ge 0;$2) $2(x^2 - 3x - 4) (x^2 + x) < 0;$

3) $(x^2 - 5x + 6) (-x^2 + 3x) \le 0;$4) $(-x^2 - 2x + 8) (x^2 - 4) < 0;$

5) $(x^2 - 3x - 4) (x^2 - 16) \ge 0;$6) $(x^2 - 5x + 6) (-x^2 + 9) > 0;$

7) $(x^2 - 2x - 8) (9 - x^2) > 0;$8) $(x^2 - x - 6) (4 - x^2) \le 0;$

9) $(x^2 - 3x - 10) (25 - x^2) \le 0;$10) $(-x^2 - 6x) (x^2 - 36) \ge 0;$

11) $(x^2 - 4) (x^2 - 16) \ge 0;$12) $(x^2 - 5x) (-x^2 + 25) > 0.$

1)Решим неравенство $(x^2 - 3x + 2)(x^2 + 2x) \ge 0$.Для начала разложим каждый квадратный трехчлен на множители.Для $x^2 - 3x + 2$: найдем корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 1$, $x_2 = 2$. Таким образом, $x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$.Для $x^2 + 2x$: вынесем $x$ за скобки, $x^2 + 2x = x(x+2)$.Неравенство принимает вид: $(x-1)(x-2)x(x+2) \ge 0$.Найдем нули функции $f(x) = x(x+2)(x-1)(x-2)$. Это точки $x = -2, x = 0, x = 1, x = 2$.Отметим эти точки на числовой оси. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), точки будут закрашенными. Определим знаки функции на полученных интервалах.Выбираем интервалы со знаком "+", так как неравенство $\ge 0$.
Ответ: $x \in (-\infty, -2] \cup [0, 1] \cup [2, +\infty)$.

2)Решим неравенство $2(x^2 - 3x - 4)(x^2 + x) < 0$.Разделим обе части на 2: $(x^2 - 3x - 4)(x^2 + x) < 0$.Разложим множители:$x^2 - 3x - 4 = 0 \implies x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4(1)(-4)}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2} \implies x_1 = 4, x_2 = -1$. Так $x^2-3x-4=(x-4)(x+1)$.$x^2 + x = x(x+1)$.Неравенство становится: $(x-4)(x+1)x(x+1) < 0$, или $x(x-4)(x+1)^2 < 0$.Нули функции: $x = -1$ (кратность 2), $x = 0$, $x = 4$.Так как неравенство строгое ($<$), точки на оси будут выколотыми. При переходе через корень четной кратности ($x=-1$) знак функции не меняется.Выбираем интервалы со знаком "−".
Ответ: $x \in (0, 4)$.

3)Решим неравенство $(x^2 - 5x + 6)(-x^2 + 3x) \le 0$.Разложим множители:$x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$.$-x^2 + 3x = -x(x-3)$.Неравенство: $(x-2)(x-3)(-x(x-3)) \le 0$, или $-x(x-2)(x-3)^2 \le 0$.Умножим на -1 и сменим знак неравенства: $x(x-2)(x-3)^2 \ge 0$.Нули: $x=0, x=2, x=3$ (кратность 2). Точки закрашенные ($\ge$). При переходе через $x=3$ знак не меняется.Выбираем интервалы со знаком "+" и сами точки.
Ответ: $x \in (-\infty, 0] \cup [2, +\infty)$.

4)Решим неравенство $(-x^2 - 2x + 8)(x^2 - 4) < 0$.Разложим множители:$-x^2 - 2x + 8 = -(x^2+2x-8) = -(x+4)(x-2)$.$x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.Неравенство: $-(x+4)(x-2)(x-2)(x+2) < 0$, или $-(x+4)(x+2)(x-2)^2 < 0$.Умножим на -1: $(x+4)(x+2)(x-2)^2 > 0$.Нули: $x=-4, x=-2, x=2$ (кратность 2). Точки выколотые ($>$).Выбираем интервалы со знаком "+", исключая точку $x=2$.
Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (-2, 2) \cup (2, +\infty)$.

5)Решим неравенство $(x^2 - 3x - 4)(x^2 - 16) \ge 0$.Разложим множители:$x^2 - 3x - 4 = (x-4)(x+1)$.$x^2 - 16 = (x-4)(x+4)$.Неравенство: $(x-4)(x+1)(x-4)(x+4) \ge 0$, или $(x+4)(x+1)(x-4)^2 \ge 0$.Нули: $x=-4, x=-1, x=4$ (кратность 2). Точки закрашенные ($\ge$).Выбираем интервалы со знаком "+".
Ответ: $x \in (-\infty, -4] \cup [-1, +\infty)$.

6)Решим неравенство $(x^2 - 5x + 6)(-x^2 + 9) > 0$.Разложим множители:$x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$.$-x^2 + 9 = -(x^2-9) = -(x-3)(x+3)$.Неравенство: $(x-2)(x-3)(-(x-3)(x+3)) > 0$, или $-(x+3)(x-2)(x-3)^2 > 0$.Умножим на -1: $(x+3)(x-2)(x-3)^2 < 0$.Нули: $x=-3, x=2, x=3$ (кратность 2). Точки выколотые ($<$).Выбираем интервалы со знаком "−".
Ответ: $x \in (-3, 2)$.

7)Решим неравенство $(x^2 - 2x - 8)(9 - x^2) > 0$.Разложим множители:$x^2 - 2x - 8 = (x-4)(x+2)$.$9 - x^2 = -(x^2-9) = -(x-3)(x+3)$.Неравенство: $(x-4)(x+2)(-(x-3)(x+3)) > 0$, или $-(x+3)(x+2)(x-3)(x-4) > 0$.Умножим на -1: $(x+3)(x+2)(x-3)(x-4) < 0$.Нули: $x=-3, x=-2, x=3, x=4$. Точки выколотые ($<$).Выбираем интервалы со знаком "−".
Ответ: $x \in (-3, -2) \cup (3, 4)$.

8)Решим неравенство $(x^2 - x - 6)(4 - x^2) \le 0$.Разложим множители:$x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2)$.$4 - x^2 = -(x^2-4) = -(x-2)(x+2)$.Неравенство: $(x-3)(x+2)(-(x-2)(x+2)) \le 0$, или $-(x-3)(x-2)(x+2)^2 \le 0$.Умножим на -1: $(x-3)(x-2)(x+2)^2 \ge 0$.Нули: $x=-2$ (кратность 2), $x=2, x=3$. Точки закрашенные ($\ge$).Выбираем интервалы со знаком "+".
Ответ: $x \in (-\infty, 2] \cup [3, +\infty)$.

9)Решим неравенство $(x^2 - 3x - 10)(25 - x^2) \le 0$.Разложим множители:$x^2 - 3x - 10 = (x-5)(x+2)$.$25 - x^2 = -(x^2-25) = -(x-5)(x+5)$.Неравенство: $(x-5)(x+2)(-(x-5)(x+5)) \le 0$, или $-(x+5)(x+2)(x-5)^2 \le 0$.Умножим на -1: $(x+5)(x+2)(x-5)^2 \ge 0$.Нули: $x=-5, x=-2, x=5$ (кратность 2). Точки закрашенные ($\ge$).Выбираем интервалы со знаком "+".
Ответ: $x \in (-\infty, -5] \cup [-2, +\infty)$.

10)Решим неравенство $(-x^2 - 6x)(x^2 - 36) \ge 0$.Разложим множители:$-x^2 - 6x = -x(x+6)$.$x^2 - 36 = (x-6)(x+6)$.Неравенство: $-x(x+6)(x-6)(x+6) \ge 0$, или $-x(x-6)(x+6)^2 \ge 0$.Умножим на -1: $x(x-6)(x+6)^2 \le 0$.Нули: $x=-6$ (кратность 2), $x=0, x=6$. Точки закрашенные ($\le$).Выбираем интервалы со знаком "−" и изолированную точку $x=-6$.
Ответ: $x \in [0, 6] \cup \{-6\}$.

11)Решим неравенство $(x^2 - 4)(x^2 - 16) \ge 0$.Разложим множители: $(x-2)(x+2)(x-4)(x+4) \ge 0$.Нули: $x=-4, x=-2, x=2, x=4$. Точки закрашенные ($\ge$).Выбираем интервалы со знаком "+".
Ответ: $x \in (-\infty, -4] \cup [-2, 2] \cup [4, +\infty)$.

12)Решим неравенство $(x^2 - 5x)(-x^2 + 25) > 0$.Разложим множители:$x^2 - 5x = x(x-5)$.$-x^2 + 25 = -(x^2-25) = -(x-5)(x+5)$.Неравенство: $x(x-5)(-(x-5)(x+5)) > 0$, или $-x(x+5)(x-5)^2 > 0$.Умножим на -1: $x(x+5)(x-5)^2 < 0$.Нули: $x=-5, x=0, x=5$ (кратность 2). Точки выколотые ($<$).Выбираем интервалы со знаком "−".
Ответ: $x \in (-5, 0)$.