Номер 19.9, страница 156 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19.9. При каких значениях переменной принимает отрицательные значения дробь:

1) $ \frac{2x^2 - 3x - 2}{x^2 - 2x} $;

2) $ \frac{2x^2 - 3x + 1}{x^2 - 2x + 1} $;

3) $ \frac{3x^2 - 4x - 4}{x^2 - 4x + 4} $;

4) $ \frac{4x^2 - 17x + 4}{x^2 - 4x} $?

1) Чтобы найти, при каких значениях переменной дробь $\frac{2x^2 - 3x - 2}{x^2 - 2x}$ принимает отрицательные значения, решим неравенство:

$\frac{2x^2 - 3x - 2}{x^2 - 2x} < 0$

1. Разложим на множители числитель и знаменатель.

Для числителя $2x^2 - 3x - 2 = 0$ найдем корни. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.

Корни: $x_1 = \frac{3 - 5}{4} = -0,5$ и $x_2 = \frac{3 + 5}{4} = 2$.

Тогда $2x^2 - 3x - 2 = 2(x + 0,5)(x - 2) = (2x + 1)(x - 2)$.

Для знаменателя $x^2 - 2x = x(x - 2)$.

2. Перепишем неравенство в виде:

$\frac{(2x + 1)(x - 2)}{x(x - 2)} < 0$

3. Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не равен нулю, то есть $x(x - 2) \neq 0$, откуда $x \neq 0$ и $x \neq 2$.

4. При $x \neq 2$ можно сократить дробь на $(x - 2)$. Неравенство становится эквивалентным системе:

$\begin{cases} \frac{2x + 1}{x} < 0 \\ x \neq 2 \end{cases}$

5. Решим неравенство $\frac{2x + 1}{x} < 0$ методом интервалов. Нули числителя: $x = -0,5$. Нули знаменателя: $x = 0$. Отметим эти точки на числовой оси (точки выколоты, так как неравенство строгое и $x \neq 0$).

Проверяем знаки в интервалах для исходного выражения $\frac{(2x+1)(x-2)}{x(x-2)}$:

• При $x > 2$ (например, $x=3$): $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0$.
• При $0 < x < 2$ (например, $x=1$): $\frac{(+)(-)}{(+)(-)} > 0$.
• При $-0,5 < x < 0$ (например, $x=-0,1$): $\frac{(+)(-)}{(-)(-)} < 0$.
• При $x < -0,5$ (например, $x=-1$): $\frac{(-)(-)}{(-)(-)} > 0$.

Дробь отрицательна на интервале $(-0,5; 0)$. Это решение удовлетворяет условию $x \neq 2$.

Ответ: $x \in (-0,5; 0)$.

2) Решим неравенство $\frac{2x^2 - 3x + 1}{x^2 - 2x + 1} < 0$.

1. Разложим на множители числитель и знаменатель.

Для числителя $2x^2 - 3x + 1 = 0$ найдем корни. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.

Корни: $x_1 = \frac{3 - 1}{4} = 0,5$ и $x_2 = \frac{3 + 1}{4} = 1$.

Тогда $2x^2 - 3x + 1 = 2(x - 0,5)(x - 1) = (2x - 1)(x - 1)$.

Знаменатель $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$.

2. Перепишем неравенство:

$\frac{(2x - 1)(x - 1)}{(x - 1)^2} < 0$

3. ОДЗ: $(x-1)^2 \neq 0$, то есть $x \neq 1$.

4. При $x \neq 1$ знаменатель $(x - 1)^2$ всегда положителен. Следовательно, знак дроби зависит только от знака числителя. Неравенство сводится к системе:

$\begin{cases} (2x - 1)(x - 1) < 0 \\ x \neq 1 \end{cases}$

5. Решим неравенство $(2x - 1)(x - 1) < 0$ методом интервалов. Корни $x=0,5$ и $x=1$. Это парабола с ветвями вверх, она принимает отрицательные значения между корнями.

Решением является интервал $(0,5; 1)$. Условие $x \neq 1$ выполняется.

Ответ: $x \in (0,5; 1)$.

3) Решим неравенство $\frac{3x^2 - 4x - 4}{x^2 - 4x + 4} < 0$.

1. Разложим на множители числитель и знаменатель.

Для числителя $3x^2 - 4x - 4 = 0$ найдем корни. Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64 = 8^2$.

Корни: $x_1 = \frac{4 - 8}{6} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$ и $x_2 = \frac{4 + 8}{6} = \frac{12}{6} = 2$.

Тогда $3x^2 - 4x - 4 = 3(x + \frac{2}{3})(x - 2) = (3x + 2)(x - 2)$.

Знаменатель $x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$.

2. Перепишем неравенство:

$\frac{(3x + 2)(x - 2)}{(x - 2)^2} < 0$

3. ОДЗ: $(x-2)^2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$.

4. При $x \neq 2$ знаменатель $(x - 2)^2$ всегда положителен. Знак дроби определяется знаком числителя. Неравенство сводится к системе:

$\begin{cases} (3x + 2)(x - 2) < 0 \\ x \neq 2 \end{cases}$

5. Решим неравенство $(3x + 2)(x - 2) < 0$ методом интервалов. Корни $x = -2/3$ и $x = 2$. Это парабола с ветвями вверх, она отрицательна между корнями.

Решением является интервал $(-2/3; 2)$. Условие $x \neq 2$ выполняется.

Ответ: $x \in (-2/3; 2)$.

4) Решим неравенство $\frac{4x^2 - 17x + 4}{x^2 - 4x} < 0$.

1. Разложим на множители числитель и знаменатель.

Для числителя $4x^2 - 17x + 4 = 0$ найдем корни. Дискриминант $D = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 - 64 = 225 = 15^2$.

Корни: $x_1 = \frac{17 - 15}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ и $x_2 = \frac{17 + 15}{8} = \frac{32}{8} = 4$.

Тогда $4x^2 - 17x + 4 = 4(x - \frac{1}{4})(x - 4) = (4x - 1)(x - 4)$.

Знаменатель $x^2 - 4x = x(x - 4)$.

2. Перепишем неравенство:

$\frac{(4x - 1)(x - 4)}{x(x - 4)} < 0$

3. ОДЗ: $x(x-4) \neq 0$, то есть $x \neq 0$ и $x \neq 4$.

4. Решим неравенство методом интервалов. Корни числителя: $x=1/4, x=4$. Корни знаменателя: $x=0, x=4$. Отметим точки $0, 1/4, 4$ на числовой оси.

Точка $x=4$ является корнем и числителя, и знаменателя (корень четной кратности для всей дроби), поэтому при переходе через нее знак выражения не меняется. Проверим знаки в интервалах:

• При $x > 4$ (например, $x=5$): $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0$.
• При $1/4 < x < 4$ (например, $x=1$): $\frac{(+)(-)}{(+)(-)} > 0$.
• При $0 < x < 1/4$ (например, $x=0,1$): $\frac{(-)(-)}{(+)(-)} < 0$.
• При $x < 0$ (например, $x=-1$): $\frac{(-)(-)}{(-)(-)} > 0$.

Дробь отрицательна на интервале $(0; 1/4)$.

Ответ: $x \in (0; 1/4)$.