Страница 156 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19.3. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:

1) $\sqrt{-3(5+3x)(2x-9)};$

2) $\sqrt{-(7-3x)(2x+1)};$

3) $\sqrt{(5-3y)(3y-5)};$

4) $\sqrt{-7(9-5y)(7y-14)}$ ?

1) Выражение $\sqrt{-3(5+3x)(2x-9)}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть больше или равно нулю.

$-3(5+3x)(2x-9) \ge 0$

Разделим обе части неравенства на $-3$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$(5+3x)(2x-9) \le 0$

Чтобы решить это квадратичное неравенство, найдем корни соответствующего уравнения $(5+3x)(2x-9) = 0$.

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$5+3x=0 \implies 3x = -5 \implies x_1 = -5/3$

$2x-9=0 \implies 2x = 9 \implies x_2 = 9/2$

Отметим корни на числовой оси и определим знаки выражения $(5+3x)(2x-9)$ в каждом из полученных интервалов. График функции $y=(5+3x)(2x-9)$ — это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($3 \cdot 2 = 6 > 0$). Следовательно, выражение принимает неположительные значения ($ \le 0 $) между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решением неравенства является промежуток $[-5/3, 9/2]$.

Ответ: $x \in [-5/3, 9/2]$.

2) Выражение $\sqrt{-(7-3x)(2x+1)}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно:

$-(7-3x)(2x+1) \ge 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$ и сменим знак неравенства на противоположный:

$(7-3x)(2x+1) \le 0$

Найдем корни уравнения $(7-3x)(2x+1) = 0$:

$7-3x=0 \implies 3x = 7 \implies x_1 = 7/3$

$2x+1=0 \implies 2x = -1 \implies x_2 = -1/2$

График функции $y=(7-3x)(2x+1)$ — это парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($-3 \cdot 2 = -6 < 0$). Следовательно, выражение принимает неположительные значения ($ \le 0 $) вне промежутка между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решением неравенства является объединение промежутков $(-\infty, -1/2] \cup [7/3, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1/2] \cup [7/3, +\infty)$.

3) Выражение $\sqrt{(5-3y)(3y-5)}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно:

$(5-3y)(3y-5) \ge 0$

Заметим, что множители являются противоположными выражениями, так как $3y-5 = -(5-3y)$. Подставим это в неравенство:

$(5-3y)(-(5-3y)) \ge 0$

$-(5-3y)^2 \ge 0$

Выражение $(5-3y)^2$ всегда неотрицательно (больше или равно нулю), так как является квадратом действительного числа. Соответственно, выражение $-(5-3y)^2$ всегда неположительно (меньше или равно нулю).

Неравенство $-(5-3y)^2 \ge 0$ может выполняться только в одном случае: когда обе части равны нулю.

$-(5-3y)^2 = 0$

$5-3y=0$

$3y=5$

$y = 5/3$

Ответ: $y = 5/3$.

4) Выражение $\sqrt{-7(9-5y)(7y-14)}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно:

$-7(9-5y)(7y-14) \ge 0$

Разделим обе части неравенства на $-7$ и сменим знак неравенства на противоположный:

$(9-5y)(7y-14) \le 0$

Найдем корни уравнения $(9-5y)(7y-14) = 0$:

$9-5y=0 \implies 5y = 9 \implies y_1 = 9/5$

$7y-14=0 \implies 7y = 14 \implies y_2 = 2$

График функции $y=(9-5y)(7y-14)$ — это парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $y^2$ отрицателен ($-5 \cdot 7 = -35 < 0$). Следовательно, выражение принимает неположительные значения ($ \le 0 $) вне промежутка между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решением неравенства является объединение промежутков $(-\infty, 9/5] \cup [2, +\infty)$.

Ответ: $y \in (-\infty, 9/5] \cup [2, +\infty)$.

19.4. При каких значениях переменной принимает положительные значения дробь:

1) $\frac{3x - 5}{2x}$;2) $\frac{4x + 3}{7x}$;3) $\frac{3x - 7}{5x}$;4) $\frac{7 - 5x}{4 - x}$?

1) Дробь принимает положительные значения, когда ее числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Это условие эквивалентно решению неравенства:

$\frac{3x - 5}{2x} > 0$

Для решения этого неравенства воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем значения переменной $x$, при которых числитель или знаменатель обращаются в ноль.

Нуль числителя: $3x - 5 = 0 \implies 3x = 5 \implies x = \frac{5}{3}$.

Нуль знаменателя: $2x = 0 \implies x = 0$.

Эти точки ($0$ и $\frac{5}{3}$) разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, \frac{5}{3})$ и $(\frac{5}{3}, +\infty)$. Определим знак дроби на каждом из этих интервалов, выбрав пробную точку из каждого.

• Интервал $(-\infty, 0)$. Возьмем $x = -1$. $\frac{3(-1) - 5}{2(-1)} = \frac{-3 - 5}{-2} = \frac{-8}{-2} = 4$. Значение положительное ($> 0$).

• Интервал $(0, \frac{5}{3})$. Возьмем $x = 1$. $\frac{3(1) - 5}{2(1)} = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1$. Значение отрицательное ($< 0$).

• Интервал $(\frac{5}{3}, +\infty)$. Возьмем $x = 2$. $\frac{3(2) - 5}{2(2)} = \frac{6 - 5}{4} = \frac{1}{4}$. Значение положительное ($> 0$).

Неравенство выполняется на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(\frac{5}{3}, +\infty)$.

Ответ: $x < 0$ или $x > \frac{5}{3}$.

2) Необходимо решить неравенство:

$\frac{4x + 3}{7x} > 0$

Используем метод интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $4x + 3 = 0 \implies 4x = -3 \implies x = -\frac{3}{4}$.

Нуль знаменателя: $7x = 0 \implies x = 0$.

Точки $x = -\frac{3}{4}$ и $x = 0$ делят числовую ось на три интервала: $(-\infty, -\frac{3}{4})$, $(-\frac{3}{4}, 0)$ и $(0, +\infty)$. Проверим знак дроби в каждом из них.

• Интервал $(-\infty, -\frac{3}{4})$. Возьмем $x = -1$. $\frac{4(-1) + 3}{7(-1)} = \frac{-4 + 3}{-7} = \frac{-1}{-7} = \frac{1}{7}$. Значение положительное ($> 0$).

• Интервал $(-\frac{3}{4}, 0)$. Возьмем $x = -0.5$. $\frac{4(-0.5) + 3}{7(-0.5)} = \frac{-2 + 3}{-3.5} = \frac{1}{-3.5}$. Значение отрицательное ($< 0$).

• Интервал $(0, +\infty)$. Возьмем $x = 1$. $\frac{4(1) + 3}{7(1)} = \frac{4 + 3}{7} = \frac{7}{7} = 1$. Значение положительное ($> 0$).

Неравенство выполняется на интервалах $(-\infty, -\frac{3}{4})$ и $(0, +\infty)$.

Ответ: $x < -\frac{3}{4}$ или $x > 0$.

3) Необходимо решить неравенство:

$\frac{3x - 7}{5x} > 0$

Применим метод интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $3x - 7 = 0 \implies 3x = 7 \implies x = \frac{7}{3}$.

Нуль знаменателя: $5x = 0 \implies x = 0$.

Точки $x = 0$ и $x = \frac{7}{3}$ делят числовую ось на три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, \frac{7}{3})$ и $(\frac{7}{3}, +\infty)$. Проверим знак дроби в каждом из них.

• Интервал $(-\infty, 0)$. Возьмем $x = -1$. $\frac{3(-1) - 7}{5(-1)} = \frac{-3 - 7}{-5} = \frac{-10}{-5} = 2$. Значение положительное ($> 0$).

• Интервал $(0, \frac{7}{3})$. Возьмем $x = 1$. $\frac{3(1) - 7}{5(1)} = \frac{3 - 7}{5} = \frac{-4}{5}$. Значение отрицательное ($< 0$).

• Интервал $(\frac{7}{3}, +\infty)$. Возьмем $x = 3$. $\frac{3(3) - 7}{5(3)} = \frac{9 - 7}{15} = \frac{2}{15}$. Значение положительное ($> 0$).

Неравенство выполняется на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(\frac{7}{3}, +\infty)$.

Ответ: $x < 0$ или $x > \frac{7}{3}$.

4) Необходимо решить неравенство:

$\frac{7 - 5x}{4 - x} > 0$

Решим методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $7 - 5x = 0 \implies 5x = 7 \implies x = \frac{7}{5}$.

Нуль знаменателя: $4 - x = 0 \implies x = 4$.

Точки $x = \frac{7}{5}$ (это 1.4) и $x = 4$ делят числовую ось на три интервала: $(-\infty, \frac{7}{5})$, $(\frac{7}{5}, 4)$ и $(4, +\infty)$. Проверим знак дроби в каждом из них.

• Интервал $(-\infty, \frac{7}{5})$. Возьмем $x = 0$. $\frac{7 - 5(0)}{4 - 0} = \frac{7}{4}$. Значение положительное ($> 0$).

• Интервал $(\frac{7}{5}, 4)$. Возьмем $x = 2$. $\frac{7 - 5(2)}{4 - 2} = \frac{7 - 10}{2} = \frac{-3}{2}$. Значение отрицательное ($< 0$).

• Интервал $(4, +\infty)$. Возьмем $x = 5$. $\frac{7 - 5(5)}{4 - 5} = \frac{7 - 25}{-1} = \frac{-18}{-1} = 18$. Значение положительное ($> 0$).

Неравенство выполняется на интервалах $(-\infty, \frac{7}{5})$ и $(4, +\infty)$.

Ответ: $x < \frac{7}{5}$ или $x > 4$.

19.5. Решите методом интервалов неравенство:

1) $\frac{3x^2 - 5x + 2}{x^2 - 9} \ge 0;$

2) $\frac{-x^2 - 5x + 6}{x^2 - 4} \le 0;$

3) $\frac{-2x^2 - 3x + 2}{x^2 + 5x} < 0;$

4) $\frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 7x} < 0.$

1) Решим неравенство $ \frac{3x^2 - 5x + 2}{x^2 - 9} \ge 0 $.

Для решения методом интервалов найдем корни числителя и знаменателя.

1. Найдем корни числителя, решив уравнение $ 3x^2 - 5x + 2 = 0 $.

Дискриминант $ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1 $.

$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm 1}{6} $.

$ x_1 = \frac{5-1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $

$ x_2 = \frac{5+1}{6} = \frac{6}{6} = 1 $

Разложим числитель на множители: $ 3(x - \frac{2}{3})(x-1) = (3x-2)(x-1) $.

2. Найдем корни знаменателя, решив уравнение $ x^2 - 9 = 0 $.

$ (x-3)(x+3) = 0 $.

$ x_3 = -3 $, $ x_4 = 3 $.

3. Перепишем неравенство в виде $ \frac{(3x-2)(x-1)}{(x-3)(x+3)} \ge 0 $.

4. Отметим корни на числовой оси. Корни числителя $ \frac{2}{3} $ и $ 1 $ будут закрашенными точками, так как неравенство нестрогое ($ \ge $). Корни знаменателя $ -3 $ и $ 3 $ будут выколотыми точками, так как на ноль делить нельзя.

5. Определим знаки выражения в каждом интервале. Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала, например $ x=4 $. Выражение $ \frac{(3 \cdot 4-2)(4-1)}{(4-3)(4+3)} = \frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0 $. Далее знаки чередуются, так как все корни имеют нечетную кратность (1).

6. Выбираем интервалы, где выражение больше или равно нулю (со знаком "+").

Это интервалы $ (-\infty, -3) $, $ [\frac{2}{3}, 1] $ и $ (3, +\infty) $.

Ответ: $ x \in (-\infty; -3) \cup [\frac{2}{3}; 1] \cup (3; +\infty) $.

2) Решим неравенство $ \frac{-x^2 - 5x + 6}{x^2 - 4} \le 0 $.

Чтобы было удобнее работать, умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$ \frac{x^2 + 5x - 6}{x^2 - 4} \ge 0 $.

1. Найдем корни числителя: $ x^2 + 5x - 6 = 0 $. По теореме Виета, $ x_1 = -6 $, $ x_2 = 1 $.

Разложим числитель на множители: $ (x+6)(x-1) $.

2. Найдем корни знаменателя: $ x^2 - 4 = 0 $. $ (x-2)(x+2)=0 $. Корни $ x_3 = -2 $, $ x_4 = 2 $.

3. Перепишем неравенство: $ \frac{(x+6)(x-1)}{(x-2)(x+2)} \ge 0 $.

4. Отметим корни на числовой оси. Корни числителя $ -6 $ и $ 1 $ - закрашенные. Корни знаменателя $ -2 $ и $ 2 $ - выколотые.

5. Определим знаки. При $ x=3 $, выражение $ \frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0 $. Далее знаки чередуются.

6. Выбираем интервалы со знаком "+", так как решаем неравенство $ \ge 0 $.

Это интервалы $ (-\infty, -6] $, $ (-2, 1] $ и $ (2, +\infty) $.

Ответ: $ x \in (-\infty; -6] \cup (-2; 1] \cup (2; +\infty) $.

3) Решим неравенство $ \frac{-2x^2 - 3x + 2}{x^2 + 5x} < 0 $.

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$ \frac{2x^2 + 3x - 2}{x^2 + 5x} > 0 $.

1. Найдем корни числителя: $ 2x^2 + 3x - 2 = 0 $.

$ D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 $.

$ x_{1,2} = \frac{-3 \pm 5}{4} $. $ x_1 = \frac{-8}{4} = -2 $, $ x_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $.

Разложение на множители: $ 2(x+2)(x-\frac{1}{2}) = (x+2)(2x-1) $.

2. Найдем корни знаменателя: $ x^2 + 5x = x(x+5) = 0 $. Корни $ x_3 = 0 $, $ x_4 = -5 $.

3. Перепишем неравенство: $ \frac{(x+2)(2x-1)}{x(x+5)} > 0 $.

4. Неравенство строгое ($ > $), поэтому все корни будут выколотыми точками: $ -5, -2, 0, \frac{1}{2} $.

5. Определим знаки. При $ x=1 $, выражение $ \frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0 $. Далее знаки чередуются.

6. Выбираем интервалы со знаком "+".

Это интервалы $ (-\infty, -5) $, $ (-2, 0) $ и $ (\frac{1}{2}, +\infty) $.

Ответ: $ x \in (-\infty; -5) \cup (-2; 0) \cup (\frac{1}{2}; +\infty) $.

4) Решим неравенство $ \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 7x} < 0 $.

1. Найдем корни числителя: $ x^2 - 5x + 6 = 0 $. По теореме Виета, $ x_1 = 2 $, $ x_2 = 3 $.

Разложение на множители: $ (x-2)(x-3) $.

2. Найдем корни знаменателя: $ x^2 - 7x = x(x-7) = 0 $. Корни $ x_3 = 0 $, $ x_4 = 7 $.

3. Перепишем неравенство: $ \frac{(x-2)(x-3)}{x(x-7)} < 0 $.

4. Неравенство строгое ($ < $), поэтому все корни выколотые: $ 0, 2, 3, 7 $.

5. Определим знаки. При $ x=8 $, выражение $ \frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0 $. Далее знаки чередуются.

6. Выбираем интервалы со знаком "-", так как решаем неравенство $ < 0 $.

Это интервалы $ (0, 2) $ и $ (3, 7) $.

Ответ: $ x \in (0; 2) \cup (3; 7) $.

19.6. Найдите целые решения неравенства:

1) $\frac{6x - 5}{4x + 1} < 0;$

2) $\frac{2x - 5}{x + 1} < 0;$

3) $\frac{2 - 3x}{2x + 7} > 0;$

4) $\frac{7x - 5}{4 - x} > 0.$

1) Решим неравенство $\frac{6x - 5}{4x + 1} < 0$.
Для решения данного дробно-рационального неравенства используем метод интервалов.
1. Найдём нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $6x - 5 = 0 \Rightarrow 6x = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{6}$.
Нуль знаменателя (точка разрыва): $4x + 1 = 0 \Rightarrow 4x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{4}$.
2. Отметим эти точки на числовой оси. Поскольку неравенство строгое, обе точки будут выколотыми (не включаются в решение).
3. Определим знак выражения на каждом из полученных интервалов: $(-\infty; -\frac{1}{4})$, $(-\frac{1}{4}; \frac{5}{6})$ и $(\frac{5}{6}; +\infty)$. Возьмем пробную точку из каждого интервала: - При $x = -1$: $\frac{6(-1) - 5}{4(-1) + 1} = \frac{-11}{-3} > 0$ (знак +). - При $x = 0$: $\frac{6(0) - 5}{4(0) + 1} = \frac{-5}{1} < 0$ (знак -). - При $x = 1$: $\frac{6(1) - 5}{4(1) + 1} = \frac{1}{5} > 0$ (знак +).
4. Нам нужны значения $x$, при которых выражение меньше нуля. Это интервал $x \in (-\frac{1}{4}; \frac{5}{6})$.
5. Найдем целые решения. Интервалу $(-0.25; 0.833...)$ принадлежит только одно целое число: 0.
Ответ: 0.

2) Решим неравенство $\frac{2x - 5}{x + 1} < 0$.
1. Нули числителя и знаменателя:
$2x - 5 = 0 \Rightarrow 2x = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{2} = 2.5$.
$x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$.
2. Отметим выколотые точки $-1$ и $2.5$ на числовой оси.
3. Определим знаки на интервалах. Так как коэффициенты при $x$ в числителе и знаменателе положительны, крайний правый интервал будет иметь знак "+", а остальные знаки будут чередоваться.
4. Решением неравенства является интервал, где выражение отрицательно: $x \in (-1; 2.5)$.
5. Целые числа, принадлежащие этому интервалу: 0, 1, 2.
Ответ: 0, 1, 2.

3) Решим неравенство $\frac{2 - 3x}{2x + 7} > 0$.
1. Для удобства преобразуем неравенство, умножив числитель на -1 и изменив знак неравенства на противоположный:
$\frac{-(3x - 2)}{2x + 7} > 0 \Rightarrow \frac{3x - 2}{2x + 7} < 0$.
2. Найдем нули числителя и знаменателя:
$3x - 2 = 0 \Rightarrow 3x = 2 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$.
$2x + 7 = 0 \Rightarrow 2x = -7 \Rightarrow x = -\frac{7}{2} = -3.5$.
3. Отметим выколотые точки $-3.5$ и $\frac{2}{3}$ на числовой оси.
4. Определим знаки для преобразованного выражения $\frac{3x - 2}{2x + 7}$. Знаки на интервалах: +, -, +.
5. Нам нужен интервал, где выражение меньше нуля: $x \in (-3.5; \frac{2}{3})$.
6. Целые числа, принадлежащие интервалу $(-3.5; 0.666...)$: -3, -2, -1, 0.
Ответ: -3, -2, -1, 0.

4) Решим неравенство $\frac{7x - 5}{4 - x} > 0$.
1. Преобразуем неравенство, вынеся в знаменателе -1 за скобки и умножив на него обе части неравенства (при этом знак неравенства меняется):
$\frac{7x - 5}{-(x - 4)} > 0 \Rightarrow \frac{7x - 5}{x - 4} < 0$.
2. Найдем нули числителя и знаменателя:
$7x - 5 = 0 \Rightarrow 7x = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{7}$.
$x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$.
3. Отметим выколотые точки $\frac{5}{7}$ и $4$ на числовой оси.
4. Определим знаки для преобразованного выражения $\frac{7x - 5}{x - 4}$. Знаки на интервалах: +, -, +.
5. Нам нужен интервал, где выражение меньше нуля: $x \in (\frac{5}{7}; 4)$.
6. Целые числа, принадлежащие интервалу $(0.714...; 4)$: 1, 2, 3.
Ответ: 1, 2, 3.

19.7. Найдите наименьшее целое решение неравенства:

1) $\frac{x-5}{1-x} > 2;$

2) $\frac{x-6}{x-1} > 3;$

3) $\frac{2x-7}{x+1} > 4;$

4) $\frac{5-x}{x+1} > 2.$

1) Решим неравенство $\frac{x - 5}{1 - x} > 2$.

Для решения дробно-рационального неравенства перенесем все его члены в одну сторону и приведем к общему знаменателю: $\frac{x - 5}{1 - x} - 2 > 0$

$\frac{x - 5 - 2(1 - x)}{1 - x} > 0$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые: $\frac{x - 5 - 2 + 2x}{1 - x} > 0$

$\frac{3x - 7}{1 - x} > 0$

Теперь решим полученное неравенство методом интервалов. Для этого найдем точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль: $3x - 7 = 0 \implies x = \frac{7}{3}$ $1 - x = 0 \implies x = 1$

Отметим эти точки на числовой оси. Поскольку неравенство строгое, точки будут "выколотыми".

Определим знак выражения $\frac{3x - 7}{1 - x}$ на каждом из интервалов. Интервал $(-\infty; 1)$: возьмем $x=0$, $\frac{3(0)-7}{1-0} = -7 < 0$. Интервал $(1; \frac{7}{3})$: возьмем $x=2$, $\frac{3(2)-7}{1-2} = \frac{-1}{-1} = 1 > 0$. Интервал $(\frac{7}{3}; +\infty)$: возьмем $x=3$, $\frac{3(3)-7}{1-3} = \frac{2}{-2} = -1 < 0$.

Решением неравенства является интервал, на котором выражение положительно: $x \in (1; \frac{7}{3})$. Так как $\frac{7}{3} \approx 2.33$, то единственное целое число в этом интервале — это 2.

Ответ: 2

2) Решим неравенство $\frac{x - 6}{x - 1} > 3$.

Перенесем 3 в левую часть и приведем к общему знаменателю: $\frac{x - 6}{x - 1} - 3 > 0$

$\frac{x - 6 - 3(x - 1)}{x - 1} > 0$

$\frac{x - 6 - 3x + 3}{x - 1} > 0$

$\frac{-2x - 3}{x - 1} > 0$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $\frac{2x + 3}{x - 1} < 0$

Найдем нули числителя и знаменателя: $2x + 3 = 0 \implies x = -\frac{3}{2}$ $x - 1 = 0 \implies x = 1$

Отметим точки $-\frac{3}{2}$ и $1$ на числовой оси.

Определим знаки выражения $\frac{2x + 3}{x - 1}$: Интервал $(-\infty; -\frac{3}{2})$: возьмем $x=-2$, $\frac{2(-2)+3}{-2-1} = \frac{-1}{-3} > 0$. Интервал $(-\frac{3}{2}; 1)$: возьмем $x=0$, $\frac{2(0)+3}{0-1} = -3 < 0$. Интервал $(1; +\infty)$: возьмем $x=2$, $\frac{2(2)+3}{2-1} = 7 > 0$.

Решением неравенства является интервал, где выражение отрицательно: $x \in (-\frac{3}{2}; 1)$. Так как $-\frac{3}{2} = -1.5$, целые числа в этом интервале: $-1, 0$. Наименьшим из них является -1.

Ответ: -1

3) Решим неравенство $\frac{2x - 7}{x + 1} > 4$.

Перенесем 4 в левую часть и приведем к общему знаменателю: $\frac{2x - 7}{x + 1} - 4 > 0$

$\frac{2x - 7 - 4(x + 1)}{x + 1} > 0$

$\frac{2x - 7 - 4x - 4}{x + 1} > 0$

$\frac{-2x - 11}{x + 1} > 0$

Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства: $\frac{2x + 11}{x + 1} < 0$

Найдем нули числителя и знаменателя: $2x + 11 = 0 \implies x = -\frac{11}{2}$ $x + 1 = 0 \implies x = -1$

Отметим точки $-\frac{11}{2}$ и $-1$ на числовой оси.

Определим знаки выражения $\frac{2x + 11}{x + 1}$: Интервал $(-\infty; -\frac{11}{2})$: возьмем $x=-6$, $\frac{2(-6)+11}{-6+1} = \frac{-1}{-5} > 0$. Интервал $(-\frac{11}{2}; -1)$: возьмем $x=-2$, $\frac{2(-2)+11}{-2+1} = \frac{7}{-1} < 0$. Интервал $(-1; +\infty)$: возьмем $x=0$, $\frac{2(0)+11}{0+1} = 11 > 0$.

Решением неравенства является интервал $x \in (-\frac{11}{2}; -1)$. Так как $-\frac{11}{2} = -5.5$, целые числа в этом интервале: $-5, -4, -3, -2$. Наименьшим из них является -5.

Ответ: -5

4) Решим неравенство $\frac{5 - x}{x + 1} > 2$.

Перенесем 2 в левую часть и приведем к общему знаменателю: $\frac{5 - x}{x + 1} - 2 > 0$

$\frac{5 - x - 2(x + 1)}{x + 1} > 0$

$\frac{5 - x - 2x - 2}{x + 1} > 0$

$\frac{3 - 3x}{x + 1} > 0$

Разделим обе части неравенства на 3 (положительное число, знак не меняется): $\frac{1 - x}{x + 1} > 0$

Найдем нули числителя и знаменателя: $1 - x = 0 \implies x = 1$ $x + 1 = 0 \implies x = -1$

Отметим точки $-1$ и $1$ на числовой оси.

Определим знаки выражения $\frac{1 - x}{x + 1}$: Интервал $(-\infty; -1)$: возьмем $x=-2$, $\frac{1-(-2)}{-2+1} = \frac{3}{-1} < 0$. Интервал $(-1; 1)$: возьмем $x=0$, $\frac{1-0}{0+1} = 1 > 0$. Интервал $(1; +\infty)$: возьмем $x=2$, $\frac{1-2}{2+1} = \frac{-1}{3} < 0$.

Решением неравенства является интервал, где выражение положительно: $x \in (-1; 1)$. Единственное целое число в этом интервале — это 0.

Ответ: 0

19.8. Найдите наибольшее целое решение неравенства:

1) $\frac{x - 5}{1 - x} > 2;$

2) $\frac{x - 6}{x - 1} > 3;$

3) $\frac{2x - 7}{x + 1} > 4;$

4) $\frac{5 - x}{x + 1} > 2.$

1) Решим неравенство $\frac{x-5}{1-x} > 2$.
Для решения перенесем все члены в одну часть и приведем к общему знаменателю:
$\frac{x-5}{1-x} - 2 > 0$
$\frac{x-5 - 2(1-x)}{1-x} > 0$
$\frac{x-5 - 2 + 2x}{1-x} > 0$
$\frac{3x - 7}{1-x} > 0$
Решим это неравенство методом интервалов. Найдем точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль:
$3x - 7 = 0 \Rightarrow x = \frac{7}{3}$
$1 - x = 0 \Rightarrow x = 1$
Эти точки делят числовую прямую на интервалы: $(-\infty; 1)$, $(1; \frac{7}{3})$ и $(\frac{7}{3}; \infty)$.
Определим знак выражения на каждом интервале. Например, возьмем точку $x=2$ из интервала $(1; \frac{7}{3})$:
$\frac{3(2) - 7}{1-2} = \frac{6 - 7}{-1} = \frac{-1}{-1} = 1 > 0$
Значит, на интервале $(1; \frac{7}{3})$ неравенство выполняется. На соседних интервалах знак будет противоположным.
Решением неравенства является интервал $(1; \frac{7}{3})$.
Так как $\frac{7}{3} \approx 2.33$, наибольшим целым числом, удовлетворяющим неравенству, является 2.
Ответ: 2

2) Решим неравенство $\frac{x-6}{x-1} > 3$.
$\frac{x-6}{x-1} - 3 > 0$
$\frac{x-6 - 3(x-1)}{x-1} > 0$
$\frac{x-6 - 3x + 3}{x-1} > 0$
$\frac{-2x - 3}{x-1} > 0$
Чтобы избавиться от знака "минус" в числителе, умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$\frac{2x + 3}{x-1} < 0$
Найдем нули числителя и знаменателя:
$2x + 3 = 0 \Rightarrow x = -\frac{3}{2} = -1.5$
$x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$
Методом интервалов находим, что выражение $\frac{2x+3}{x-1}$ отрицательно на интервале $(-\frac{3}{2}; 1)$.
Целые числа, которые принадлежат этому интервалу: -1, 0. Наибольшим из них является 0.
Ответ: 0

3) Решим неравенство $\frac{2x-7}{x+1} > 4$.
$\frac{2x-7}{x+1} - 4 > 0$
$\frac{2x-7 - 4(x+1)}{x+1} > 0$
$\frac{2x-7 - 4x - 4}{x+1} > 0$
$\frac{-2x - 11}{x+1} > 0$
$\frac{2x + 11}{x+1} < 0$
Найдем нули числителя и знаменателя:
$2x + 11 = 0 \Rightarrow x = -\frac{11}{2} = -5.5$
$x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$
Неравенство выполняется, когда $x$ находится в интервале $(-\frac{11}{2}; -1)$.
Целые числа, принадлежащие этому интервалу: -5, -4, -3, -2. Наибольшее целое решение — это -2.
Ответ: -2

4) Решим неравенство $\frac{5-x}{x+1} > 2$.
$\frac{5-x}{x+1} - 2 > 0$
$\frac{5-x - 2(x+1)}{x+1} > 0$
$\frac{5-x - 2x - 2}{x+1} > 0$
$\frac{3 - 3x}{x+1} > 0$
$\frac{3(1-x)}{x+1} > 0$
Найдем нули числителя и знаменателя:
$1 - x = 0 \Rightarrow x = 1$
$x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$
Методом интервалов находим, что выражение положительно на интервале $(-1; 1)$.
Единственное целое число, которое принадлежит этому интервалу, — это 0.
Ответ: 0

19.9. При каких значениях переменной принимает отрицательные значения дробь:

1) $ \frac{2x^2 - 3x - 2}{x^2 - 2x} $;

2) $ \frac{2x^2 - 3x + 1}{x^2 - 2x + 1} $;

3) $ \frac{3x^2 - 4x - 4}{x^2 - 4x + 4} $;

4) $ \frac{4x^2 - 17x + 4}{x^2 - 4x} $?

1) Чтобы найти, при каких значениях переменной дробь $\frac{2x^2 - 3x - 2}{x^2 - 2x}$ принимает отрицательные значения, решим неравенство:

$\frac{2x^2 - 3x - 2}{x^2 - 2x} < 0$

1. Разложим на множители числитель и знаменатель.

Для числителя $2x^2 - 3x - 2 = 0$ найдем корни. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.

Корни: $x_1 = \frac{3 - 5}{4} = -0,5$ и $x_2 = \frac{3 + 5}{4} = 2$.

Тогда $2x^2 - 3x - 2 = 2(x + 0,5)(x - 2) = (2x + 1)(x - 2)$.

Для знаменателя $x^2 - 2x = x(x - 2)$.

2. Перепишем неравенство в виде:

$\frac{(2x + 1)(x - 2)}{x(x - 2)} < 0$

3. Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не равен нулю, то есть $x(x - 2) \neq 0$, откуда $x \neq 0$ и $x \neq 2$.

4. При $x \neq 2$ можно сократить дробь на $(x - 2)$. Неравенство становится эквивалентным системе:

$\begin{cases} \frac{2x + 1}{x} < 0 \\ x \neq 2 \end{cases}$

5. Решим неравенство $\frac{2x + 1}{x} < 0$ методом интервалов. Нули числителя: $x = -0,5$. Нули знаменателя: $x = 0$. Отметим эти точки на числовой оси (точки выколоты, так как неравенство строгое и $x \neq 0$).

Проверяем знаки в интервалах для исходного выражения $\frac{(2x+1)(x-2)}{x(x-2)}$:

• При $x > 2$ (например, $x=3$): $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0$.
• При $0 < x < 2$ (например, $x=1$): $\frac{(+)(-)}{(+)(-)} > 0$.
• При $-0,5 < x < 0$ (например, $x=-0,1$): $\frac{(+)(-)}{(-)(-)} < 0$.
• При $x < -0,5$ (например, $x=-1$): $\frac{(-)(-)}{(-)(-)} > 0$.

Дробь отрицательна на интервале $(-0,5; 0)$. Это решение удовлетворяет условию $x \neq 2$.

Ответ: $x \in (-0,5; 0)$.

2) Решим неравенство $\frac{2x^2 - 3x + 1}{x^2 - 2x + 1} < 0$.

1. Разложим на множители числитель и знаменатель.

Для числителя $2x^2 - 3x + 1 = 0$ найдем корни. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.

Корни: $x_1 = \frac{3 - 1}{4} = 0,5$ и $x_2 = \frac{3 + 1}{4} = 1$.

Тогда $2x^2 - 3x + 1 = 2(x - 0,5)(x - 1) = (2x - 1)(x - 1)$.

Знаменатель $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$.

2. Перепишем неравенство:

$\frac{(2x - 1)(x - 1)}{(x - 1)^2} < 0$

3. ОДЗ: $(x-1)^2 \neq 0$, то есть $x \neq 1$.

4. При $x \neq 1$ знаменатель $(x - 1)^2$ всегда положителен. Следовательно, знак дроби зависит только от знака числителя. Неравенство сводится к системе:

$\begin{cases} (2x - 1)(x - 1) < 0 \\ x \neq 1 \end{cases}$

5. Решим неравенство $(2x - 1)(x - 1) < 0$ методом интервалов. Корни $x=0,5$ и $x=1$. Это парабола с ветвями вверх, она принимает отрицательные значения между корнями.

Решением является интервал $(0,5; 1)$. Условие $x \neq 1$ выполняется.

Ответ: $x \in (0,5; 1)$.

3) Решим неравенство $\frac{3x^2 - 4x - 4}{x^2 - 4x + 4} < 0$.

1. Разложим на множители числитель и знаменатель.

Для числителя $3x^2 - 4x - 4 = 0$ найдем корни. Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64 = 8^2$.

Корни: $x_1 = \frac{4 - 8}{6} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$ и $x_2 = \frac{4 + 8}{6} = \frac{12}{6} = 2$.

Тогда $3x^2 - 4x - 4 = 3(x + \frac{2}{3})(x - 2) = (3x + 2)(x - 2)$.

Знаменатель $x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$.

2. Перепишем неравенство:

$\frac{(3x + 2)(x - 2)}{(x - 2)^2} < 0$

3. ОДЗ: $(x-2)^2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$.

4. При $x \neq 2$ знаменатель $(x - 2)^2$ всегда положителен. Знак дроби определяется знаком числителя. Неравенство сводится к системе:

$\begin{cases} (3x + 2)(x - 2) < 0 \\ x \neq 2 \end{cases}$

5. Решим неравенство $(3x + 2)(x - 2) < 0$ методом интервалов. Корни $x = -2/3$ и $x = 2$. Это парабола с ветвями вверх, она отрицательна между корнями.

Решением является интервал $(-2/3; 2)$. Условие $x \neq 2$ выполняется.

Ответ: $x \in (-2/3; 2)$.

4) Решим неравенство $\frac{4x^2 - 17x + 4}{x^2 - 4x} < 0$.

1. Разложим на множители числитель и знаменатель.

Для числителя $4x^2 - 17x + 4 = 0$ найдем корни. Дискриминант $D = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 - 64 = 225 = 15^2$.

Корни: $x_1 = \frac{17 - 15}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ и $x_2 = \frac{17 + 15}{8} = \frac{32}{8} = 4$.

Тогда $4x^2 - 17x + 4 = 4(x - \frac{1}{4})(x - 4) = (4x - 1)(x - 4)$.

Знаменатель $x^2 - 4x = x(x - 4)$.

2. Перепишем неравенство:

$\frac{(4x - 1)(x - 4)}{x(x - 4)} < 0$

3. ОДЗ: $x(x-4) \neq 0$, то есть $x \neq 0$ и $x \neq 4$.

4. Решим неравенство методом интервалов. Корни числителя: $x=1/4, x=4$. Корни знаменателя: $x=0, x=4$. Отметим точки $0, 1/4, 4$ на числовой оси.

Точка $x=4$ является корнем и числителя, и знаменателя (корень четной кратности для всей дроби), поэтому при переходе через нее знак выражения не меняется. Проверим знаки в интервалах:

• При $x > 4$ (например, $x=5$): $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0$.
• При $1/4 < x < 4$ (например, $x=1$): $\frac{(+)(-)}{(+)(-)} > 0$.
• При $0 < x < 1/4$ (например, $x=0,1$): $\frac{(-)(-)}{(+)(-)} < 0$.
• При $x < 0$ (например, $x=-1$): $\frac{(-)(-)}{(-)(-)} > 0$.

Дробь отрицательна на интервале $(0; 1/4)$.

Ответ: $x \in (0; 1/4)$.

19.10. Решите неравенство:

1) $ \frac{7}{x} - \frac{x}{7} > 0; $

2) $ \frac{x}{11} - \frac{11}{x} < 0; $

3) $ \frac{9}{x} > \frac{x}{4}; $

4) $ \frac{3}{x} - \frac{x}{27} > 0; $

5) $ \frac{5}{x} - \frac{3}{3 - x} < 0; $

6) $ \frac{3}{x} + \frac{1}{x - 7} < 0; $

7) $ \frac{2}{x} - \frac{5}{6 - x} > 0; $

8) $ \frac{5}{x} < \frac{4}{9 - x}; $

9) $ \frac{2}{x - 3} \le \frac{3}{x}; $

10) $ \frac{3}{x + 3} \ge \frac{2}{x}; $

11) $ \frac{1}{x - 2} \ge \frac{5}{x}; $

12) $ \frac{4}{x - 3} \ge \frac{6}{x}. $

1)

Приведем дроби к общему знаменателю:

$ \frac{7}{x} - \frac{x}{7} > 0 $

$ \frac{7 \cdot 7 - x \cdot x}{7x} > 0 $

$ \frac{49 - x^2}{7x} > 0 $

Разложим числитель на множители:

$ \frac{(7-x)(7+x)}{7x} > 0 $

Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

$ 7-x=0 \implies x=7 $

$ 7+x=0 \implies x=-7 $

$ 7x=0 \implies x=0 $

Нанесем точки -7, 0, 7 на числовую прямую. Так как неравенство строгое, все точки выколотые.

Определим знаки на интервалах. Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (знак "+").

Ответ: $x \in (-\infty; -7) \cup (0; 7)$

2)

Приведем дроби к общему знаменателю:

$ \frac{x}{11} - \frac{11}{x} < 0 $

$ \frac{x^2 - 11^2}{11x} < 0 $

$ \frac{(x-11)(x+11)}{11x} < 0 $

Нули числителя и знаменателя: $x=11, x=-11, x=0$. Точки выколотые. Применим метод интервалов.

Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля (знак "-").

Ответ: $x \in (-\infty; -11) \cup (0; 11)$

3)

Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$ \frac{9}{x} - \frac{x}{4} > 0 $

$ \frac{36 - x^2}{4x} > 0 $

$ \frac{(6-x)(6+x)}{4x} > 0 $

Нули: $x=6, x=-6, x=0$. Точки выколотые.

Выбираем интервалы со знаком "+".

Ответ: $x \in (-\infty; -6) \cup (0; 6)$

4)

Приведем к общему знаменателю:

$ \frac{3}{x} - \frac{x}{27} > 0 $

$ \frac{81 - x^2}{27x} > 0 $

$ \frac{(9-x)(9+x)}{27x} > 0 $

Нули: $x=9, x=-9, x=0$. Точки выколотые.

Выбираем интервалы со знаком "+".

Ответ: $x \in (-\infty; -9) \cup (0; 9)$

5)

Приведем к общему знаменателю:

$ \frac{5}{x} - \frac{3}{3-x} < 0 $

$ \frac{5(3-x) - 3x}{x(3-x)} < 0 $

$ \frac{15 - 5x - 3x}{x(3-x)} < 0 $

$ \frac{15 - 8x}{x(3-x)} < 0 $

Нули: $15-8x=0 \implies x=\frac{15}{8}$; $x=0$; $3-x=0 \implies x=3$. Точки выколотые.

Умножим неравенство на -1, чтобы в знаменателе было $(x-3)$ и поменяем знак:

$ \frac{15 - 8x}{-x(x-3)} < 0 \implies \frac{15-8x}{x(x-3)} > 0 $

Анализируя исходное неравенство $\frac{15 - 8x}{x(3-x)} < 0$, выбираем интервалы со знаком "-".

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (\frac{15}{8}; 3)$

6)

Приведем к общему знаменателю:

$ \frac{3}{x} + \frac{1}{x-7} < 0 $

$ \frac{3(x-7) + x}{x(x-7)} < 0 $

$ \frac{3x - 21 + x}{x(x-7)} < 0 $

$ \frac{4x - 21}{x(x-7)} < 0 $

Нули: $4x-21=0 \implies x=\frac{21}{4}=5.25$; $x=0$; $x-7=0 \implies x=7$. Точки выколотые.

Выбираем интервалы со знаком "-".

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (\frac{21}{4}; 7)$

7)

Приведем к общему знаменателю:

$ \frac{2}{x} - \frac{5}{6-x} > 0 $

$ \frac{2(6-x) - 5x}{x(6-x)} > 0 $

$ \frac{12 - 2x - 5x}{x(6-x)} > 0 $

$ \frac{12 - 7x}{x(6-x)} > 0 $

Нули: $12-7x=0 \implies x=\frac{12}{7}$; $x=0$; $6-x=0 \implies x=6$. Точки выколотые.

Выбираем интервалы со знаком "+".

Ответ: $x \in (0; \frac{12}{7}) \cup (6; +\infty)$

8)

Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$ \frac{5}{x} - \frac{4}{9-x} < 0 $

$ \frac{5(9-x) - 4x}{x(9-x)} < 0 $

$ \frac{45 - 5x - 4x}{x(9-x)} < 0 $

$ \frac{45 - 9x}{x(9-x)} < 0 $

$ \frac{9(5-x)}{x(9-x)} < 0 $

Нули: $5-x=0 \implies x=5$; $x=0$; $9-x=0 \implies x=9$. Точки выколотые.

Выбираем интервалы со знаком "-".

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (5; 9)$

9)

Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$ \frac{2}{x-3} - \frac{3}{x} \le 0 $

$ \frac{2x - 3(x-3)}{x(x-3)} \le 0 $

$ \frac{2x - 3x + 9}{x(x-3)} \le 0 $

$ \frac{9-x}{x(x-3)} \le 0 $

Нули: $9-x=0 \implies x=9$; $x=0$; $x-3=0 \implies x=3$.

Так как неравенство нестрогое, нуль числителя ($x=9$) включаем в ответ (закрашенная точка). Нули знаменателя ($x=0, x=3$) всегда выколотые.

Чтобы было удобнее, умножим на -1 и поменяем знак неравенства: $ \frac{x-9}{x(x-3)} \ge 0 $

Выбираем интервалы со знаком "+".

Ответ: $x \in (0; 3) \cup [9; +\infty)$

10)

Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$ \frac{3}{x+3} - \frac{2}{x} \ge 0 $

$ \frac{3x - 2(x+3)}{x(x+3)} \ge 0 $

$ \frac{3x - 2x - 6}{x(x+3)} \ge 0 $

$ \frac{x-6}{x(x+3)} \ge 0 $

Нули: $x-6=0 \implies x=6$ (включительно); $x=0$ (выколотая); $x+3=0 \implies x=-3$ (выколотая).

Выбираем интервалы со знаком "+".

Ответ: $x \in (-3; 0) \cup [6; +\infty)$

11)

Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$ \frac{1}{x-2} - \frac{5}{x} \ge 0 $

$ \frac{x - 5(x-2)}{x(x-2)} \ge 0 $

$ \frac{x - 5x + 10}{x(x-2)} \ge 0 $

$ \frac{10-4x}{x(x-2)} \ge 0 $

Нули: $10-4x=0 \implies 4x=10 \implies x=2.5$ (включительно); $x=0$ (выколотая); $x-2=0 \implies x=2$ (выколотая).

Умножим на -1 и поменяем знак неравенства: $ \frac{4x-10}{x(x-2)} \le 0 $

Выбираем интервалы со знаком "-".

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (2; 2,5]$

12)

Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$ \frac{4}{x-3} - \frac{6}{x} \ge 0 $

$ \frac{4x - 6(x-3)}{x(x-3)} \ge 0 $

$ \frac{4x - 6x + 18}{x(x-3)} \ge 0 $

$ \frac{18-2x}{x(x-3)} \ge 0 $

Нули: $18-2x=0 \implies 2x=18 \implies x=9$ (включительно); $x=0$ (выколотая); $x-3=0 \implies x=3$ (выколотая).

Умножим на -1 и поменяем знак неравенства: $ \frac{2x-18}{x(x-3)} \le 0 \implies \frac{x-9}{x(x-3)} \le 0 $

Выбираем интервалы со знаком "-".

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (3; 9]$