Страница 163 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.2. 1)

$\begin{cases} x^2 \le 16, \\ x^2 > 4; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} x^2 \le 36, \\ (x-1)^2 > 9; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} x^2 \ge 6, \\ (x-2)^2 < 16; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} 2x^2 > 32, \\ (x-2)^2 > 9; \end{cases}$

5)

$\begin{cases} x^2 > 18, \\ (x+3)^2 \le 25; \end{cases}$

6)

$\begin{cases} 2x^2 < 4,5, \\ (x+1)^2 \ge 9; \end{cases}$

7)

$\begin{cases} 3x^2 > 0,12, \\ (2x-1)^2 < 16; \end{cases}$

8)

$\begin{cases} 4x^2 \le 0,36, \\ (3x-5)^2 > 49. \end{cases}$

1) Решим систему неравенств $ \begin{cases} x^2 \le 16 \\ x^2 > 4 \end{cases} $.
Первое неравенство $x^2 \le 16$ равносильно $|x| \le 4$, что дает решение $x \in [-4, 4]$.
Второе неравенство $x^2 > 4$ равносильно $|x| > 2$, что дает решение $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.
Найдем пересечение этих двух множеств: $[-4, 4] \cap ((-\infty, -2) \cup (2, \infty))$.
Пересечение $[-4, 4]$ с $(-\infty, -2)$ дает интервал $[-4, -2)$.
Пересечение $[-4, 4]$ с $(2, \infty)$ дает интервал $(2, 4]$.
Объединив эти два интервала, получаем окончательное решение.
Ответ: $x \in [-4, -2) \cup (2, 4]$.

2) Решим систему неравенств $ \begin{cases} x^2 \le 36 \\ (x-1)^2 > 9 \end{cases} $.
Первое неравенство $x^2 \le 36$ равносильно $|x| \le 6$, что дает $x \in [-6, 6]$.
Второе неравенство $(x-1)^2 > 9$ равносильно $|x-1| > 3$. Это распадается на два случая: $x-1 > 3$ или $x-1 < -3$. Отсюда получаем $x > 4$ или $x < -2$. Таким образом, $x \in (-\infty, -2) \cup (4, \infty)$.
Найдем пересечение множеств $[-6, 6]$ и $((-\infty, -2) \cup (4, \infty))$.
Пересечение $[-6, 6]$ с $(-\infty, -2)$ дает $[-6, -2)$.
Пересечение $[-6, 6]$ с $(4, \infty)$ дает $(4, 6]$.
Объединяя эти интервалы, получаем итоговый ответ.
Ответ: $x \in [-6, -2) \cup (4, 6]$.

3) Решим систему неравенств $ \begin{cases} x^2 \ge 6 \\ (x-2)^2 < 16 \end{cases} $.
Первое неравенство $x^2 \ge 6$ равносильно $|x| \ge \sqrt{6}$, что дает $x \in (-\infty, -\sqrt{6}] \cup [\sqrt{6}, \infty)$.
Второе неравенство $(x-2)^2 < 16$ равносильно $|x-2| < 4$. Это эквивалентно $-4 < x-2 < 4$. Прибавив 2 ко всем частям, получаем $-2 < x < 6$, то есть $x \in (-2, 6)$.
Найдем пересечение множеств $((-\infty, -\sqrt{6}] \cup [\sqrt{6}, \infty))$ и $(-2, 6)$.
Поскольку $-\sqrt{6} \approx -2.45$, то $-\sqrt{6} < -2$. Таким образом, интервал $(-\infty, -\sqrt{6}]$ не пересекается с $(-2, 6)$.
Поскольку $\sqrt{6} \approx 2.45$, то $-2 < \sqrt{6} < 6$. Пересечение $[\sqrt{6}, \infty)$ с $(-2, 6)$ дает интервал $[\sqrt{6}, 6)$.
Это и есть решение системы.
Ответ: $x \in [\sqrt{6}, 6)$.

4) Решим систему неравенств $ \begin{cases} 2x^2 > 32 \\ (x-2)^2 > 9 \end{cases} $.
Из первого неравенства $2x^2 > 32$ следует $x^2 > 16$, что равносильно $|x| > 4$. Решение: $x \in (-\infty, -4) \cup (4, \infty)$.
Второе неравенство $(x-2)^2 > 9$ равносильно $|x-2| > 3$. Это дает два случая: $x-2 > 3$ (то есть $x > 5$) или $x-2 < -3$ (то есть $x < -1$). Решение: $x \in (-\infty, -1) \cup (5, \infty)$.
Найдем пересечение множеств $((-\infty, -4) \cup (4, \infty))$ и $((-\infty, -1) \cup (5, \infty))$.
Пересечение $(-\infty, -4)$ с $(-\infty, -1)$ есть $(-\infty, -4)$.
Пересечение $(4, \infty)$ с $(5, \infty)$ есть $(5, \infty)$.
Объединив эти результаты, получаем решение системы.
Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (5, \infty)$.

5) Решим систему неравенств $ \begin{cases} x^2 > 18 \\ (x+3)^2 \le 25 \end{cases} $.
Первое неравенство $x^2 > 18$ равносильно $|x| > \sqrt{18}$, или $|x| > 3\sqrt{2}$. Решение: $x \in (-\infty, -3\sqrt{2}) \cup (3\sqrt{2}, \infty)$.
Второе неравенство $(x+3)^2 \le 25$ равносильно $|x+3| \le 5$. Это эквивалентно $-5 \le x+3 \le 5$. Вычитая 3 из всех частей, получаем $-8 \le x \le 2$, то есть $x \in [-8, 2]$.
Найдем пересечение множеств $((-\infty, -3\sqrt{2}) \cup (3\sqrt{2}, \infty))$ и $[-8, 2]$.
Так как $3\sqrt{2} \approx 4.24$, то $3\sqrt{2} > 2$, поэтому пересечение $(3\sqrt{2}, \infty)$ с $[-8, 2]$ пусто.
Так как $-3\sqrt{2} \approx -4.24$, то $-8 < -3\sqrt{2} < 2$. Пересечение $(-\infty, -3\sqrt{2})$ с $[-8, 2]$ дает интервал $[-8, -3\sqrt{2})$.
Это и есть решение системы.
Ответ: $x \in [-8, -3\sqrt{2})$.

6) Решим систему неравенств $ \begin{cases} 2x^2 < 4.5 \\ (x+1)^2 \ge 9 \end{cases} $.
Первое неравенство $2x^2 < 4.5$ можно переписать как $x^2 < 2.25$. Это равносильно $|x| < 1.5$, то есть $-1.5 < x < 1.5$. Решение: $x \in (-1.5, 1.5)$.
Второе неравенство $(x+1)^2 \ge 9$ равносильно $|x+1| \ge 3$. Это дает два случая: $x+1 \ge 3$ (то есть $x \ge 2$) или $x+1 \le -3$ (то есть $x \le -4$). Решение: $x \in (-\infty, -4] \cup [2, \infty)$.
Найдем пересечение множеств $(-1.5, 1.5)$ и $((-\infty, -4] \cup [2, \infty))$.
Интервал $(-1.5, 1.5)$ не имеет общих точек ни с $(-\infty, -4]$, ни с $[2, \infty)$. Следовательно, пересечение пусто.
Ответ: $\emptyset$.

7) Решим систему неравенств $ \begin{cases} 3x^2 > 0.12 \\ (2x-1)^2 < 16 \end{cases} $.
Из первого неравенства $3x^2 > 0.12$ следует $x^2 > 0.04$, что равносильно $|x| > 0.2$. Решение: $x \in (-\infty, -0.2) \cup (0.2, \infty)$.
Второе неравенство $(2x-1)^2 < 16$ равносильно $|2x-1| < 4$. Это эквивалентно $-4 < 2x-1 < 4$. Прибавляя 1, получаем $-3 < 2x < 5$. Разделив на 2, получаем $-1.5 < x < 2.5$. Решение: $x \in (-1.5, 2.5)$.
Найдем пересечение множеств $((-\infty, -0.2) \cup (0.2, \infty))$ и $(-1.5, 2.5)$.
Пересечение $(-\infty, -0.2)$ с $(-1.5, 2.5)$ дает $(-1.5, -0.2)$.
Пересечение $(0.2, \infty)$ с $(-1.5, 2.5)$ дает $(0.2, 2.5)$.
Объединяя эти интервалы, получаем решение системы.
Ответ: $x \in (-1.5, -0.2) \cup (0.2, 2.5)$.

8) Решим систему неравенств $ \begin{cases} 4x^2 \le 0.36 \\ (3x-5)^2 > 49 \end{cases} $.
Из первого неравенства $4x^2 \le 0.36$ следует $x^2 \le 0.09$, что равносильно $|x| \le 0.3$. Решение: $x \in [-0.3, 0.3]$.
Второе неравенство $(3x-5)^2 > 49$ равносильно $|3x-5| > 7$. Это дает два случая: $3x-5 > 7$ (то есть $3x > 12$, $x > 4$) или $3x-5 < -7$ (то есть $3x < -2$, $x < -2/3$). Решение: $x \in (-\infty, -2/3) \cup (4, \infty)$.
Найдем пересечение множеств $[-0.3, 0.3]$ и $((-\infty, -2/3) \cup (4, \infty))$.
Так как $-2/3 \approx -0.67$, то $-0.3 > -2/3$. Интервал $[-0.3, 0.3]$ не пересекается с $(-\infty, -2/3)$.
Также очевидно, что $[-0.3, 0.3]$ не пересекается с $(4, \infty)$.
Следовательно, пересечение пусто.
Ответ: $\emptyset$.

20.3. 1) $ \begin{cases} x^2 + 2x > 0, \\ (x - 2.3)^2 \leq 25; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} -2x^2 + 6x > 0, \\ (2x + 3)^2 \leq 16; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} 4x - x^2 \leq 0, \\ (x - 2)^2 > 1; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} 5x - x^2 < 0, \\ (3x - 2)^2 > 9; \end{cases} $

5) $ \begin{cases} 5x + x^2 \leq 0, \\ (x + 2)^2 > 4; \end{cases} $

6) $ \begin{cases} 7x - 3x^2 \leq 0, \\ (x - 2)^2 > 1.44; \end{cases} $

7) $ \begin{cases} 5.2x - 4x^2 \leq 0, \\ (3x - 2)^2 \leq 2.25; \end{cases} $

8) $ \begin{cases} 1.4x + x^2 \leq 0, \\ (2x + 3)^2 > 0.25. \end{cases} $

1)

Решим систему неравенств:$\begin{cases}x^2 + 2x > 0 \\(x-2.3)^2 \le 25\end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 + 2x > 0$.
Разложим левую часть на множители: $x(x+2) > 0$.
Корни соответствующего уравнения $x(x+2) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$.
Графиком функции $y = x^2 + 2x$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Следовательно, значения функции положительны при $x$, находящихся вне интервала между корнями.
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; -2) \cup (0; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $(x-2.3)^2 \le 25$.
Извлечем квадратный корень из обеих частей: $\sqrt{(x-2.3)^2} \le \sqrt{25}$, что равносильно $|x-2.3| \le 5$.
Это неравенство эквивалентно двойному неравенству: $-5 \le x-2.3 \le 5$.
Прибавим $2.3$ ко всем частям неравенства: $-5 + 2.3 \le x \le 5 + 2.3$.
Получаем: $-2.7 \le x \le 7.3$.
Решение второго неравенства: $x \in [-2.7; 7.3]$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств: $(-\infty; -2) \cup (0; +\infty)$ и $[-2.7; 7.3]$.
Пересечением является объединение интервалов $[-2.7; -2)$ и $(0; 7.3]$.

Ответ: $x \in [-2.7; -2) \cup (0; 7.3]$.

2)

Решим систему неравенств:$\begin{cases}-2x^2 + 6x > 0 \\(2x+3)^2 \le 16\end{cases}$

Решим первое неравенство: $-2x^2 + 6x > 0$.
Разделим обе части на $-2$ и сменим знак неравенства: $x^2 - 3x < 0$.
Разложим на множители: $x(x-3) < 0$.
Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.
Графиком является парабола с ветвями вверх, поэтому значения функции отрицательны между корнями.
Решение первого неравенства: $x \in (0; 3)$.

Решим второе неравенство: $(2x+3)^2 \le 16$.
Извлечем квадратный корень: $|2x+3| \le 4$.
Перейдем к двойному неравенству: $-4 \le 2x+3 \le 4$.
Вычтем $3$ из всех частей: $-7 \le 2x \le 1$.
Разделим на $2$: $-3.5 \le x \le 0.5$.
Решение второго неравенства: $x \in [-3.5; 0.5]$.

Найдем пересечение решений: $(0; 3)$ и $[-3.5; 0.5]$.
Пересечением является интервал $(0; 0.5]$.

Ответ: $x \in (0; 0.5]$.

3)

Решим систему неравенств:$\begin{cases}4x - x^2 \le 0 \\(x-2)^2 > 1\end{cases}$

Решим первое неравенство: $4x - x^2 \le 0$.
Умножим на $-1$ и сменим знак: $x^2 - 4x \ge 0$.
Разложим на множители: $x(x-4) \ge 0$.
Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.
Парабола с ветвями вверх, значения неотрицательны вне корней.
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; 0] \cup [4; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $(x-2)^2 > 1$.
Извлечем корень: $|x-2| > 1$.
Это неравенство распадается на два: $x-2 > 1$ или $x-2 < -1$.
Из первого получаем $x > 3$. Из второго $x < 1$.
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $((-\infty; 0] \cup [4; +\infty)) \cap ((-\infty; 1) \cup (3; +\infty))$.
Пересечение дает $(-\infty; 0] \cup [4; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0] \cup [4; +\infty)$.

4)

Решим систему неравенств:$\begin{cases}5x - x^2 < 0 \\(3x-2)^2 > 9\end{cases}$

Решим первое неравенство: $5x - x^2 < 0$.
Умножим на $-1$ и сменим знак: $x^2 - 5x > 0$.
Разложим на множители: $x(x-5) > 0$.
Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 5$.
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; 0) \cup (5; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $(3x-2)^2 > 9$.
Извлечем корень: $|3x-2| > 3$.
Распадается на два неравенства: $3x-2 > 3$ или $3x-2 < -3$.
$3x > 5 \implies x > 5/3$.
$3x < -1 \implies x < -1/3$.
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; -1/3) \cup (5/3; +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $((-\infty; 0) \cup (5; +\infty)) \cap ((-\infty; -1/3) \cup (5/3; +\infty))$.
Пересечение дает $(-\infty; -1/3) \cup (5; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1/3) \cup (5; +\infty)$.

5)

Решим систему неравенств:$\begin{cases}5x + x^2 \le 0 \\(x+2)^2 > 4\end{cases}$

Решим первое неравенство: $5x + x^2 \le 0$.
Разложим на множители: $x(x+5) \le 0$.
Корни: $x_1 = -5$ и $x_2 = 0$.
Парабола с ветвями вверх, значения неположительны между корнями.
Решение первого неравенства: $x \in [-5; 0]$.

Решим второе неравенство: $(x+2)^2 > 4$.
Извлечем корень: $|x+2| > 2$.
Распадается на два неравенства: $x+2 > 2$ или $x+2 < -2$.
$x > 0$ или $x < -4$.
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; -4) \cup (0; +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $[-5; 0] \cap ((-\infty; -4) \cup (0; +\infty))$.
Пересечением является интервал $[-5; -4)$. Точка $x=0$ не входит в решение, так как второе неравенство строгое.

Ответ: $x \in [-5; -4)$.

6)

Решим систему неравенств:$\begin{cases}7x - 3x^2 \le 0 \\(x-2)^2 > 1.44\end{cases}$

Решим первое неравенство: $7x - 3x^2 \le 0$.
Умножим на $-1$ и сменим знак: $3x^2 - 7x \ge 0$.
Разложим на множители: $x(3x-7) \ge 0$.
Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 7/3$.
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; 0] \cup [7/3; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $(x-2)^2 > 1.44$.
Извлечем корень: $|x-2| > \sqrt{1.44}$, то есть $|x-2| > 1.2$.
Распадается на два неравенства: $x-2 > 1.2$ или $x-2 < -1.2$.
$x > 3.2$ или $x < 0.8$.
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; 0.8) \cup (3.2; +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $((-\infty; 0] \cup [7/3; +\infty)) \cap ((-\infty; 0.8) \cup (3.2; +\infty))$.
Учитывая, что $7/3 \approx 2.33$, пересечение дает $(-\infty; 0] \cup (3.2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0] \cup (3.2; +\infty)$.

7)

Решим систему неравенств:$\begin{cases}5.2x - 4x^2 \le 0 \\(3x-2)^2 \le 2.25\end{cases}$

Решим первое неравенство: $5.2x - 4x^2 \le 0$.
Умножим на $-1$ и сменим знак: $4x^2 - 5.2x \ge 0$.
Разложим на множители: $x(4x - 5.2) \ge 0$.
Корни: $x_1 = 0$ и $4x_2 - 5.2 = 0 \implies x_2 = 5.2/4 = 1.3$.
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; 0] \cup [1.3; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $(3x-2)^2 \le 2.25$.
Извлечем корень: $|3x-2| \le \sqrt{2.25}$, то есть $|3x-2| \le 1.5$.
Перейдем к двойному неравенству: $-1.5 \le 3x-2 \le 1.5$.
Прибавим $2$: $0.5 \le 3x \le 3.5$.
Разделим на $3$: $0.5/3 \le x \le 3.5/3$, что равно $1/6 \le x \le 7/6$.
Решение второго неравенства: $x \in [1/6; 7/6]$.

Найдем пересечение решений: $((-\infty; 0] \cup [1.3; +\infty)) \cap [1/6; 7/6]$.
Поскольку $1/6 \approx 0.167$ и $7/6 \approx 1.167$, интервал $[1/6; 7/6]$ не пересекается ни с $(-\infty; 0]$, ни с $[1.3; +\infty)$.
Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: Нет решений.

8)

Решим систему неравенств:$\begin{cases}1.4x + x^2 \le 0 \\(2x+3)^2 > 0.25\end{cases}$

Решим первое неравенство: $1.4x + x^2 \le 0$.
Разложим на множители: $x(1.4 + x) \le 0$.
Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = -1.4$.
Решение первого неравенства: $x \in [-1.4; 0]$.

Решим второе неравенство: $(2x+3)^2 > 0.25$.
Извлечем корень: $|2x+3| > \sqrt{0.25}$, то есть $|2x+3| > 0.5$.
Распадается на два неравенства: $2x+3 > 0.5$ или $2x+3 < -0.5$.
$2x > -2.5 \implies x > -1.25$.
$2x < -3.5 \implies x < -1.75$.
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; -1.75) \cup (-1.25; +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $[-1.4; 0] \cap ((-\infty; -1.75) \cup (-1.25; +\infty))$.
Пересечением является интервал $(-1.25; 0]$.

Ответ: $x \in (-1.25; 0]$.

20.4. 1) $\left\{ \begin{array}{l} 4x-4-x^2 > 0, \\ (3x-2)^2 > 3,61; \end{array} \right.$

2) $\left\{ \begin{array}{l} 5+4x-x^2 > 0, \\ 3x^2+x-2 > 0; \end{array} \right.$

3) $\left\{ \begin{array}{l} 7x-4-3x^2 \le 0, \\ 2x^2+3x-5 > 0; \end{array} \right.$

4) $\left\{ \begin{array}{l} 3x^2-x > 0, \\ 2x^2-7x \le -5; \end{array} \right.$

5) $\left\{ \begin{array}{l} 14x-3x-2x^2 < 0, \\ 3x^2+5x > -8; \end{array} \right.$

6) $\left\{ \begin{array}{l} -7x-3x+4x^2 < 0, \\ 5x^2+7x > 0. \end{array} \right.$

1) Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} 4x - 4 - x^2 > 0 \\ (3x - 2)^2 > 3,61 \end{cases} $$

Рассмотрим первое неравенство: $4x - 4 - x^2 > 0$.
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $x^2 - 4x + 4 < 0$.
Левая часть является полным квадратом: $(x - 2)^2 < 0$.
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, то есть $(x - 2)^2 \geq 0$ для любого $x$. Следовательно, неравенство $(x - 2)^2 < 0$ не имеет решений.

Поскольку первое неравенство системы не имеет решений, вся система не имеет решений.

Ответ: нет решений.

2) Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} 5 + 4x - x^2 > 0 \\ 3x^2 + x - 2 > 0 \end{cases} $$

Решим первое неравенство: $5 + 4x - x^2 > 0$.
Умножим на -1: $x^2 - 4x - 5 < 0$.
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 4x - 5 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 5$.
Парабола $y = x^2 - 4x - 5$ ветвями вверх, поэтому неравенство $y < 0$ выполняется между корнями: $-1 < x < 5$.

Решим второе неравенство: $3x^2 + x - 2 > 0$.
Найдем корни уравнения $3x^2 + x - 2 = 0$.
Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.
Корни: $x = \frac{-1 \pm 5}{6}$, то есть $x_1 = \frac{-6}{6} = -1$ и $x_2 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
Парабола $y = 3x^2 + x - 2$ ветвями вверх, поэтому неравенство $y > 0$ выполняется вне корней: $x < -1$ или $x > \frac{2}{3}$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств: $x \in (-1, 5)$ и $x \in (-\infty, -1) \cup (\frac{2}{3}, +\infty)$.
Общим решением будет интервал $(\frac{2}{3}, 5)$.

Ответ: $(\frac{2}{3}; 5)$.

3) Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} 7x - 4 - 3x^2 \leq 0 \\ 2x^2 + 3x - 5 > 0 \end{cases} $$

Решим первое неравенство: $7x - 4 - 3x^2 \leq 0$.
Умножим на -1: $3x^2 - 7x + 4 \geq 0$.
Найдем корни уравнения $3x^2 - 7x + 4 = 0$.
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1$.
Корни: $x = \frac{7 \pm 1}{6}$, то есть $x_1 = \frac{6}{6} = 1$ и $x_2 = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.
Парабола ветвями вверх, поэтому неравенство $y \geq 0$ выполняется при $x \leq 1$ или $x \geq \frac{4}{3}$.

Решим второе неравенство: $2x^2 + 3x - 5 > 0$.
Найдем корни уравнения $2x^2 + 3x - 5 = 0$.
Сумма коэффициентов $2 + 3 - 5 = 0$, поэтому один из корней $x_1 = 1$. Второй корень $x_2 = c/a = -5/2$.
Парабола ветвями вверх, поэтому неравенство $y > 0$ выполняется при $x < -5/2$ или $x > 1$.

Найдем пересечение решений: $x \in (-\infty, 1] \cup [\frac{4}{3}, +\infty)$ и $x \in (-\infty, -5/2) \cup (1, +\infty)$.
Объединяя условия, получаем: $x < -5/2$ или $x \geq 4/3$.

Ответ: $(-\infty; -2,5) \cup [\frac{4}{3}; +\infty)$.

4) Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} 3x^2 - x > 0 \\ 2x^2 - 7x \leq -5 \end{cases} $$

Решим первое неравенство: $3x^2 - x > 0$.
Вынесем $x$ за скобки: $x(3x - 1) > 0$.
Корни $x=0$ и $x=1/3$. Парабола ветвями вверх, значит, решение: $x < 0$ или $x > 1/3$.

Решим второе неравенство: $2x^2 - 7x \leq -5$.
Перенесем -5 влево: $2x^2 - 7x + 5 \leq 0$.
Найдем корни уравнения $2x^2 - 7x + 5 = 0$.
Сумма коэффициентов $2 - 7 + 5 = 0$, поэтому один из корней $x_1 = 1$. Второй корень $x_2 = c/a = 5/2 = 2,5$.
Парабола ветвями вверх, значит, неравенство $y \leq 0$ выполняется между корнями, включая их: $1 \leq x \leq 2,5$.

Найдем пересечение решений: $x \in (-\infty, 0) \cup (\frac{1}{3}, +\infty)$ и $x \in [1, 2,5]$.
Интервал $[1, 2,5]$ полностью содержится в области $x > 1/3$.
Следовательно, общее решение - это $1 \leq x \leq 2,5$.

Ответ: $[1; 2,5]$.

5) Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} 14x - 3x - 2x^2 < 0 \\ 3x^2 + 5x > -8 \end{cases} $$

Решим первое неравенство: $14x - 3x - 2x^2 < 0$.
Упростим: $11x - 2x^2 < 0$.
Умножим на -1: $2x^2 - 11x > 0$.
Вынесем $x$ за скобки: $x(2x - 11) > 0$.
Корни $x=0$ и $x=11/2 = 5,5$. Парабола ветвями вверх, значит, решение: $x < 0$ или $x > 5,5$.

Решим второе неравенство: $3x^2 + 5x > -8$.
Перенесем -8 влево: $3x^2 + 5x + 8 > 0$.
Найдем дискриминант уравнения $3x^2 + 5x + 8 = 0$.
$D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 25 - 96 = -71$.
Так как коэффициент при $x^2$ положителен (3 > 0), а дискриминант отрицателен ($D < 0$), парабола $y = 3x^2 + 5x + 8$ полностью лежит выше оси Ox. Следовательно, неравенство $3x^2 + 5x + 8 > 0$ выполняется для всех действительных чисел $x$.

Решением системы является решение первого неравенства, так как второе верно для любого $x$.

Ответ: $(-\infty; 0) \cup (5,5; +\infty)$.

6) Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} -7x - 3x + 4x^2 < 0 \\ 5x^2 + 7x > 0 \end{cases} $$

Решим первое неравенство: $-7x - 3x + 4x^2 < 0$.
Упростим: $4x^2 - 10x < 0$.
Вынесем $2x$ за скобки: $2x(2x - 5) < 0$.
Корни $x=0$ и $x=5/2 = 2,5$. Парабола ветвями вверх, значит, неравенство $y < 0$ выполняется между корнями: $0 < x < 2,5$.

Решим второе неравенство: $5x^2 + 7x > 0$.
Вынесем $x$ за скобки: $x(5x + 7) > 0$.
Корни $x=0$ и $x=-7/5 = -1,4$. Парабола ветвями вверх, значит, неравенство $y > 0$ выполняется вне корней: $x < -1,4$ или $x > 0$.

Найдем пересечение решений: $x \in (0, 2,5)$ и $x \in (-\infty, -1,4) \cup (0, +\infty)$.
Общим решением будет интервал $(0, 2,5)$.

Ответ: $(0; 2,5)$.

20.5. 1) $\begin{cases} 9-7x-2x^2 < 0, \\ 3x^2+5x \ge 0; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 32-5x-3x^2 < 0, \\ -3x^2+5x > -8; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 10-3x-x^2 \ge 0, \\ 3x-5x^2 > 0; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 14-3x-2x^2 < 0, \\ 3x^2+5x > 8; \end{cases}$

5) $\begin{cases} 17-9x-8x^2 < 0, \\ 2,6x^2-3x > 0; \end{cases}$

6) $\begin{cases} 5,4-3,4x-2x^2 \ge 0, \\ -3x^2+7,5x > 0. \end{cases}$

1)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 9-7x-2x^2 < 0, \\ 3x^2+5x \ge 0; \end{cases}$

1. Решим первое неравенство $9-7x-2x^2 < 0$. Умножим обе части на $-1$ и сменим знак неравенства: $2x^2+7x-9 > 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $2x^2+7x-9 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 49 + 72 = 121 = 11^2$.

Корни: $x_1 = \frac{-7-11}{4} = -\frac{18}{4} = -4,5$; $x_2 = \frac{-7+11}{4} = \frac{4}{4} = 1$.

Так как ветви параболы $y=2x^2+7x-9$ направлены вверх, решение неравенства $2x^2+7x-9 > 0$ находится за пределами корней: $x \in (-\infty; -4,5) \cup (1; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство $3x^2+5x \ge 0$.

Вынесем $x$ за скобки: $x(3x+5) \ge 0$.

Корни уравнения $x(3x+5) = 0$ равны $x_1=0$ и $x_2 = -5/3$.

Ветви параболы $y=3x^2+5x$ направлены вверх, поэтому решение неравенства $3x^2+5x \ge 0$ находится на корнях и за их пределами: $x \in (-\infty; -5/3] \cup [0; +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений $(-\infty; -4,5) \cup (1; +\infty)$ и $(-\infty; -5/3] \cup [0; +\infty)$.

Пересечение множеств $(-\infty; -4,5)$ и $(-\infty; -5/3]$ дает интервал $(-\infty; -4,5)$.

Пересечение множеств $(1; +\infty)$ и $[0; +\infty)$ дает интервал $(1; +\infty)$.

Объединяя результаты, получаем итоговое решение системы.

Ответ: $(-\infty; -4,5) \cup (1; +\infty)$.

2)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 32-5x-3x^2 < 0, \\ -3x^2+5x > -8; \end{cases}$

1. Решим первое неравенство $32-5x-3x^2 < 0$. Умножим на $-1$: $3x^2+5x-32 > 0$.

Найдем корни уравнения $3x^2+5x-32 = 0$.

$D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-32) = 25 + 384 = 409$.

Корни: $x_1 = \frac{-5-\sqrt{409}}{6}$; $x_2 = \frac{-5+\sqrt{409}}{6}$.

Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty; \frac{-5-\sqrt{409}}{6}) \cup (\frac{-5+\sqrt{409}}{6}; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство $-3x^2+5x > -8$, то есть $-3x^2+5x+8 > 0$. Умножим на $-1$: $3x^2-5x-8 < 0$.

Найдем корни уравнения $3x^2-5x-8 = 0$.

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 25 + 96 = 121 = 11^2$.

Корни: $x_1 = \frac{5-11}{6} = -1$; $x_2 = \frac{5+11}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$.

Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства находится между корнями: $x \in (-1; 8/3)$.

3. Найдем пересечение решений $(-\infty; \frac{-5-\sqrt{409}}{6}) \cup (\frac{-5+\sqrt{409}}{6}; +\infty)$ и $(-1; 8/3)$.

Оценим значения корней: $\sqrt{409} \approx 20.22$.

$\frac{-5-\sqrt{409}}{6} \approx \frac{-5-20.22}{6} \approx -4.2$, что меньше $-1$.

$\frac{-5+\sqrt{409}}{6} \approx \frac{-5+20.22}{6} \approx 2.54$, что находится между $-1$ и $8/3 \approx 2.67$.

Пересечением является интервал $(\frac{-5+\sqrt{409}}{6}; \frac{8}{3})$.

Ответ: $(\frac{-5+\sqrt{409}}{6}; \frac{8}{3})$.

3)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 10-3x-x^2 \ge 0, \\ 3x-5x^2 > 0; \end{cases}$

1. Решим первое неравенство $10-3x-x^2 \ge 0$. Умножим на $-1$: $x^2+3x-10 \le 0$.

Найдем корни уравнения $x^2+3x-10=0$. По теореме Виета, корни $x_1=-5$ и $x_2=2$.

Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства находится между корнями, включая их: $x \in [-5; 2]$.

2. Решим второе неравенство $3x-5x^2 > 0$. Вынесем $x$ за скобки: $x(3-5x) > 0$.

Корни уравнения $x(3-5x)=0$ равны $x_1=0$ и $x_2=3/5$.

Ветви параболы $y=3x-5x^2$ направлены вниз, поэтому решение неравенства находится между корнями: $x \in (0; 3/5)$.

3. Найдем пересечение решений $[-5; 2]$ и $(0; 3/5)$.

Интервал $(0; 3/5)$ полностью содержится в отрезке $[-5; 2]$.

Ответ: $(0; 3/5)$.

4)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 14-3x-2x^2 < 0, \\ 3x^2+5x > 8; \end{cases}$

1. Решим первое неравенство $14-3x-2x^2 < 0$. Умножим на $-1$: $2x^2+3x-14 > 0$.

Найдем корни уравнения $2x^2+3x-14=0$.

$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-14) = 9+112 = 121 = 11^2$.

Корни: $x_1 = \frac{-3-11}{4} = -3,5$; $x_2 = \frac{-3+11}{4} = 2$.

Ветви параболы направлены вверх, решение: $x \in (-\infty; -3,5) \cup (2; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство $3x^2+5x > 8$, или $3x^2+5x-8 > 0$.

Найдем корни уравнения $3x^2+5x-8=0$.

$D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 25+96 = 121 = 11^2$.

Корни: $x_1 = \frac{-5-11}{6} = -\frac{16}{6} = -\frac{8}{3}$; $x_2 = \frac{-5+11}{6} = 1$.

Ветви параболы направлены вверх, решение: $x \in (-\infty; -8/3) \cup (1; +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений $(-\infty; -3,5) \cup (2; +\infty)$ и $(-\infty; -8/3) \cup (1; +\infty)$.

Так как $-3,5 < -8/3$ (т.е. $-3.5 < -2.66...$), пересечение $(-\infty; -3,5)$ и $(-\infty; -8/3)$ дает $(-\infty; -3,5)$.

Так как $2 > 1$, пересечение $(2; +\infty)$ и $(1; +\infty)$ дает $(2; +\infty)$.

Объединяем полученные интервалы.

Ответ: $(-\infty; -3,5) \cup (2; +\infty)$.

5)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 17-9x-8x^2 < 0, \\ 2,6x^2-3x > 0; \end{cases}$

1. Решим первое неравенство $17-9x-8x^2 < 0$. Умножим на $-1$: $8x^2+9x-17 > 0$.

Найдем корни уравнения $8x^2+9x-17=0$. Сумма коэффициентов $8+9-17=0$, поэтому один корень $x_1=1$. Второй корень $x_2=c/a = -17/8$.

Ветви параболы направлены вверх, решение: $x \in (-\infty; -17/8) \cup (1; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство $2,6x^2-3x > 0$. Умножим на 10, чтобы избавиться от дроби: $26x^2-30x>0$. Разделим на 2: $13x^2-15x>0$.

Вынесем $x$ за скобки: $x(13x-15) > 0$.

Корни: $x_1=0$ и $x_2=15/13$.

Ветви параболы направлены вверх, решение: $x \in (-\infty; 0) \cup (15/13; +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений $(-\infty; -17/8) \cup (1; +\infty)$ и $(-\infty; 0) \cup (15/13; +\infty)$.

Сравним числа: $-17/8 = -2,125 < 0$ и $15/13 \approx 1,15 > 1$.

Пересечение $(-\infty; -17/8)$ и $(-\infty; 0)$ дает $(-\infty; -17/8)$.

Пересечение $(1; +\infty)$ и $(15/13; +\infty)$ дает $(15/13; +\infty)$.

Объединяем полученные интервалы.

Ответ: $(-\infty; -17/8) \cup (15/13; +\infty)$.

6)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 5,4-3,4x-2x^2 \ge 0, \\ -3x^2+7,5x > 0. \end{cases}$

1. Решим первое неравенство $5,4-3,4x-2x^2 \ge 0$. Умножим на $-10$: $20x^2+34x-54 \le 0$. Разделим на 2: $10x^2+17x-27 \le 0$.

Найдем корни уравнения $10x^2+17x-27 = 0$. Сумма коэффициентов $10+17-27=0$, поэтому один корень $x_1=1$. Второй корень $x_2=c/a = -27/10 = -2,7$.

Ветви параболы направлены вверх, решение находится между корнями: $x \in [-2,7; 1]$.

2. Решим второе неравенство $-3x^2+7,5x > 0$. Умножим на $-1$: $3x^2-7,5x < 0$.

Вынесем $x$ за скобки: $x(3x-7,5) < 0$.

Корни: $x_1=0$ и $x_2=7,5/3=2,5$.

Ветви параболы $y=3x^2-7,5x$ направлены вверх, решение находится между корнями: $x \in (0; 2,5)$.

3. Найдем пересечение решений $[-2,7; 1]$ и $(0; 2,5)$.

Пересечением является интервал $(0; 1]$.

Ответ: $(0; 1]$.

20.6. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt{3x^2 - 4x + 1} + \sqrt{x^2 - 4};$

2) $y = \sqrt{x^2 - 4x + 3} + \sqrt{2x^2 - 18};$

3) $y = \sqrt{x^2 - 4x + 5} + \sqrt{9-x^2};$

4) $y = \sqrt{5x^2 - 4x - 12} + \sqrt{25-x^2}.$

1) $y = \sqrt{3x^2 - 4x + 1} + \sqrt{x^2 - 4}$

Область определения функции задается системой неравенств, так как выражения под знаками квадратного корня должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} 3x^2 - 4x + 1 \ge 0 \\ x^2 - 4 \ge 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $3x^2 - 4x + 1 \ge 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $3x^2 - 4x + 1 = 0$.

Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$.

Корни: $x_1 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$, $x_2 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$.

Парабола $y=3x^2-4x+1$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $3x^2 - 4x + 1 \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty; \frac{1}{3}] \cup [1; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2 - 4 \ge 0$.

Разложим на множители: $(x-2)(x+2) \ge 0$. Корни: $x_1 = -2$, $x_2 = 2$.

Парабола $y=x^2-4$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $x^2 - 4 \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty; -2] \cup [2; +\infty)$.

Найдем пересечение множеств решений обоих неравенств: $((-\infty; \frac{1}{3}] \cup [1; +\infty)) \cap ((-\infty; -2] \cup [2; +\infty))$.

Пересечением является множество $(-\infty; -2] \cup [2; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -2] \cup [2; +\infty)$.

2) $y = \sqrt{x^2 - 4x + 3} + \sqrt{2x^2 - 18}$

Область определения функции задается системой неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 4x + 3 \ge 0 \\ 2x^2 - 18 \ge 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 - 4x + 3 \ge 0$.

Разложим на множители: $(x-1)(x-3) \ge 0$. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 3$.

Ветви параболы $y=x^2-4x+3$ направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty; 1] \cup [3; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $2x^2 - 18 \ge 0$.

Разделим на 2: $x^2 - 9 \ge 0$.

Разложим на множители: $(x-3)(x+3) \ge 0$. Корни: $x_1 = -3$, $x_2 = 3$.

Ветви параболы $y=x^2-9$ направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty; -3] \cup [3; +\infty)$.

Найдем пересечение множеств решений: $((-\infty; 1] \cup [3; +\infty)) \cap ((-\infty; -3] \cup [3; +\infty))$.

Пересечением является множество $(-\infty; -3] \cup [3; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -3] \cup [3; +\infty)$.

3) $y = \sqrt{x^2 - 4x + 5} + \sqrt{9 - x^2}$

Область определения функции задается системой неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 4x + 5 \ge 0 \\ 9 - x^2 \ge 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 - 4x + 5 \ge 0$.

Найдем дискриминант квадратного трехчлена $x^2 - 4x + 5$: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$.

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), а старший коэффициент положительный ($a=1>0$), то трехчлен $x^2 - 4x + 5$ положителен при любых значениях $x$. Решением неравенства является вся числовая прямая: $x \in (-\infty; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $9 - x^2 \ge 0$.

Это равносильно $x^2 \le 9$, что означает $|x| \le 3$.

Решением этого неравенства является отрезок $[-3; 3]$.

Найдем пересечение множеств решений: $(-\infty; +\infty) \cap [-3; 3]$.

Пересечением является отрезок $[-3; 3]$.

Ответ: $[-3; 3]$.

4) $y = \sqrt{5x^2 - 4x - 12} + \sqrt{25 - x^2}$

Область определения функции задается системой неравенств:

$\begin{cases} 5x^2 - 4x - 12 \ge 0 \\ 25 - x^2 \ge 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $5x^2 - 4x - 12 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $5x^2 - 4x - 12 = 0$.

Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-12) = 16 + 240 = 256 = 16^2$.

Корни: $x_1 = \frac{4 - 16}{2 \cdot 5} = \frac{-12}{10} = -1,2$, $x_2 = \frac{4 + 16}{2 \cdot 5} = \frac{20}{10} = 2$.

Ветви параболы $y=5x^2 - 4x - 12$ направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty; -1,2] \cup [2; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $25 - x^2 \ge 0$.

Это равносильно $x^2 \le 25$, или $|x| \le 5$.

Решением неравенства является отрезок $[-5; 5]$.

Найдем пересечение множеств решений: $((-\infty; -1,2] \cup [2; +\infty)) \cap [-5; 5]$.

Пересечение состоит из двух отрезков: $[-5; -1,2]$ и $[2; 5]$.

Ответ: $[-5; -1,2] \cup [2; 5]$.

20.7. Решите систему неравенств:

1) $ \begin{cases} x^2 + 5x - 6 \le 0, \\ |x| > 4; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x^2 + x - 6 \le 0, \\ |x| \le 1; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} 2x^2 + 5x - 7 > 0, \\ |x| \ge 3; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} 3x^2 + 5x - 8 \le 0, \\ |x| \le 2. \end{cases} $

1) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} x^2 + 5x - 6 \le 0, \\ |x| > 4 \end{cases} $
Сначала решим первое неравенство: $x^2 + 5x - 6 \le 0$.
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 5x - 6 = 0$.
Используем теорему Виета: $x_1 + x_2 = -5$, $x_1 \cdot x_2 = -6$. Корнями являются $x_1 = -6$ и $x_2 = 1$.
Графиком функции $y = x^2 + 5x - 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство $x^2 + 5x - 6 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни.
Решение первого неравенства: $x \in [-6, 1]$.
Теперь решим второе неравенство: $|x| > 4$.
Это неравенство равносильно совокупности $x < -4$ или $x > 4$.
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, -4) \cup (4, +\infty)$.
Найдем пересечение решений обоих неравенств, то есть общую часть множеств $[-6, 1]$ и $(-\infty, -4) \cup (4, +\infty)$.
Для этого удобно изобразить решения на числовой оси:

Пересечением является интервал от -6 (включительно) до -4 (не включительно).
Ответ: $x \in [-6, -4)$.

2) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} x^2 + x - 6 \le 0, \\ |x| \le 1 \end{cases} $
Решим первое неравенство: $x^2 + x - 6 \le 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + x - 6 = 0$.
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -1$, $x_1 \cdot x_2 = -6$. Корнями являются $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.
Так как ветви параболы $y = x^2 + x - 6$ направлены вверх, решение неравенства $x^2 + x - 6 \le 0$ есть отрезок между корнями: $x \in [-3, 2]$.
Решим второе неравенство: $|x| \le 1$.
Это неравенство равносильно двойному неравенству $-1 \le x \le 1$. Решение: $x \in [-1, 1]$.
Найдем пересечение решений: $x \in [-3, 2] \cap [-1, 1]$.

Пересечением этих двух отрезков является отрезок $[-1, 1]$.
Ответ: $x \in [-1, 1]$.

3) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 2x^2 + 5x - 7 > 0, \\ |x| \ge 3 \end{cases} $
Решим первое неравенство: $2x^2 + 5x - 7 > 0$.
Найдем корни уравнения $2x^2 + 5x - 7 = 0$.
Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81 = 9^2$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-5 - 9}{2 \cdot 2} = -\frac{14}{4} = -3.5$; $x_2 = \frac{-5 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.
Ветви параболы $y = 2x^2 + 5x - 7$ направлены вверх, поэтому неравенство $2x^2 + 5x - 7 > 0$ выполняется для $x$, находящихся вне интервала между корнями: $x \in (-\infty, -3.5) \cup (1, +\infty)$.
Решим второе неравенство: $|x| \ge 3$.
Это неравенство равносильно совокупности $x \ge 3$ или $x \le -3$. Решение: $x \in (-\infty, -3] \cup [3, +\infty)$.
Найдем пересечение решений: $x \in ((-\infty, -3.5) \cup (1, +\infty)) \cap ((-\infty, -3] \cup [3, +\infty))$.

Пересечение интервала $(-\infty, -3.5)$ с $(-\infty, -3]$ дает $(-\infty, -3.5)$.
Пересечение интервала $(1, +\infty)$ с $[3, +\infty)$ дает $[3, +\infty)$.
Объединяя результаты, получаем решение системы.
Ответ: $x \in (-\infty, -3.5) \cup [3, +\infty)$.

4) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 3x^2 + 5x - 8 \le 0, \\ |x| \le 2 \end{cases} $
Решим первое неравенство: $3x^2 + 5x - 8 \le 0$.
Найдем корни уравнения $3x^2 + 5x - 8 = 0$.
Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 25 + 96 = 121 = 11^2$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-5 - 11}{2 \cdot 3} = -\frac{16}{6} = -\frac{8}{3}$; $x_2 = \frac{-5 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$.
Ветви параболы $y = 3x^2 + 5x - 8$ направлены вверх, поэтому неравенство $3x^2 + 5x - 8 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями: $x \in [-\frac{8}{3}, 1]$.
Решим второе неравенство: $|x| \le 2$.
Это неравенство равносильно двойному неравенству $-2 \le x \le 2$. Решение: $x \in [-2, 2]$.
Найдем пересечение решений: $x \in [-\frac{8}{3}, 1] \cap [-2, 2]$.
Так как $-\frac{8}{3} \approx -2.67$, то $-\frac{8}{3} < -2$.

Пересечением этих двух отрезков является отрезок $[-2, 1]$.
Ответ: $x \in [-2, 1]$.