Страница 168 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8. Вычислите:

1) $3\sqrt{(-2)^6} + 0.1\sqrt{2^{10}} - \sqrt{(-2)^{12}}$;

2) $-2\sqrt{10^4} - 0.1\sqrt{(-3)^8} + 2.5\sqrt{(-0.1)^4}$.

1) Для решения этого выражения воспользуемся свойством квадратного корня $\sqrt{a^{2n}} = |a^n|$. Это свойство означает, что корень из числа в четной степени равен модулю этого числа в степени, вдвое меньшей. Поскольку любая четная степень отрицательного числа является положительным числом, то $\sqrt{(-a)^{2n}} = \sqrt{a^{2n}} = |a^n|$.

Исходное выражение: $3\sqrt{(-2)^6} + 0,1\sqrt{2^{10}} - \sqrt{(-2)^{12}}$

Рассмотрим каждый член выражения по отдельности:

1. Первый член: $3\sqrt{(-2)^6}$.
Применяем свойство: $\sqrt{(-2)^6} = \sqrt{((-2)^3)^2} = |(-2)^3| = |-8| = 8$.
Тогда $3\sqrt{(-2)^6} = 3 \cdot 8 = 24$.

2. Второй член: $0,1\sqrt{2^{10}}$.
Применяем свойство: $\sqrt{2^{10}} = \sqrt{(2^5)^2} = |2^5| = 32$.
Тогда $0,1\sqrt{2^{10}} = 0,1 \cdot 32 = 3,2$.

3. Третий член: $-\sqrt{(-2)^{12}}$.
Применяем свойство: $\sqrt{(-2)^{12}} = \sqrt{((-2)^6)^2} = |(-2)^6| = |64| = 64$.
Тогда $-\sqrt{(-2)^{12}} = -64$.

Теперь сложим и вычтем полученные значения:
$24 + 3,2 - 64 = 27,2 - 64 = -36,8$.

Ответ: $-36,8$.

2) Решим второе выражение, используя то же свойство $\sqrt{a^{2n}} = |a^n|$.

Исходное выражение: $-2\sqrt{10^4} - 0,1\sqrt{(-3)^8} + 2,5\sqrt{(-0,1)^4}$.

Рассмотрим каждый член выражения по отдельности:

1. Первый член: $-2\sqrt{10^4}$.
Применяем свойство: $\sqrt{10^4} = \sqrt{(10^2)^2} = |10^2| = 100$.
Тогда $-2\sqrt{10^4} = -2 \cdot 100 = -200$.

2. Второй член: $-0,1\sqrt{(-3)^8}$.
Применяем свойство: $\sqrt{(-3)^8} = \sqrt{((-3)^4)^2} = |(-3)^4| = |81| = 81$.
Тогда $-0,1\sqrt{(-3)^8} = -0,1 \cdot 81 = -8,1$.

3. Третий член: $2,5\sqrt{(-0,1)^4}$.
Применяем свойство: $\sqrt{(-0,1)^4} = \sqrt{((-0,1)^2)^2} = |(-0,1)^2| = |0,01| = 0,01$.
Тогда $2,5\sqrt{(-0,1)^4} = 2,5 \cdot 0,01 = 0,025$.

Теперь сложим и вычтем полученные значения:
$-200 - 8,1 + 0,025 = -208,1 + 0,025 = -208,075$.

Ответ: $-208,075$.

9. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt{4^3}$;

2) $\sqrt{16^5}$;

3) $\sqrt{8 \cdot 162}$;

4) $\sqrt{750 \cdot 270}$;

5) $\sqrt{9^5}$;

6) $\sqrt{25^3}$;

7) $\sqrt{96 \cdot 486}$;

8) $\sqrt{1848 \cdot 462}$.

1) Для вычисления выражения $ \sqrt{4^3} $ можно воспользоваться свойством степеней и корней. Представим $ 4^3 $ как $ 4^2 \cdot 4 $. Тогда $ \sqrt{4^3} = \sqrt{4^2 \cdot 4} $. Используя свойство корня из произведения $ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $, получаем: $ \sqrt{4^2} \cdot \sqrt{4} = 4 \cdot 2 = 8 $. Другой способ: $ \sqrt{4^3} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8 $.
Ответ: 8.

2) Для вычисления выражения $ \sqrt{16^5} $ воспользуемся свойством $ \sqrt{a^n} = (\sqrt{a})^n $. $ \sqrt{16^5} = (\sqrt{16})^5 = 4^5 $. Вычислим $ 4^5 $: $ 4^5 = 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 16 \cdot 4 = 256 \cdot 4 = 1024 $.
Ответ: 1024.

3) Чтобы найти значение выражения $ \sqrt{8 \cdot 162} $, разложим числа под корнем на множители так, чтобы выделить полные квадраты. $ 8 = 4 \cdot 2 $. $ 162 = 2 \cdot 81 $. Подставим разложение в исходное выражение: $ \sqrt{8 \cdot 162} = \sqrt{(4 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 81)} = \sqrt{4 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 81} = \sqrt{4 \cdot 4 \cdot 81} $. Теперь извлечем корень из каждого множителя: $ \sqrt{4} \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{81} = 2 \cdot 2 \cdot 9 = 36 $.
Ответ: 36.

4) Для вычисления $ \sqrt{750 \cdot 270} $ разложим числа на удобные множители. $ 750 = 75 \cdot 10 = (25 \cdot 3) \cdot 10 $. $ 270 = 27 \cdot 10 $. Подставим в выражение: $ \sqrt{750 \cdot 270} = \sqrt{(25 \cdot 3 \cdot 10) \cdot (27 \cdot 10)} = \sqrt{25 \cdot 3 \cdot 27 \cdot 10 \cdot 10} = \sqrt{25 \cdot (3 \cdot 27) \cdot 100} $. $ 3 \cdot 27 = 81 $. Получаем: $ \sqrt{25 \cdot 81 \cdot 100} $. Извлекаем корень из каждого множителя: $ \sqrt{25} \cdot \sqrt{81} \cdot \sqrt{100} = 5 \cdot 9 \cdot 10 = 450 $.
Ответ: 450.

5) Для вычисления $ \sqrt{9^5} $ воспользуемся свойством $ \sqrt{a^n} = (\sqrt{a})^n $. $ \sqrt{9^5} = (\sqrt{9})^5 = 3^5 $. Вычислим $ 3^5 $: $ 3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 \cdot 3 = 81 \cdot 3 = 243 $.
Ответ: 243.

6) Для вычисления $ \sqrt{25^3} $ используем тот же подход: $ \sqrt{a^n} = (\sqrt{a})^n $. $ \sqrt{25^3} = (\sqrt{25})^3 = 5^3 $. Вычислим $ 5^3 $: $ 5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125 $.
Ответ: 125.

7) Чтобы найти значение выражения $ \sqrt{96 \cdot 486} $, разложим числа под корнем на множители. $ 96 = 16 \cdot 6 $. $ 486 = 81 \cdot 6 $. Подставим разложение в исходное выражение: $ \sqrt{96 \cdot 486} = \sqrt{(16 \cdot 6) \cdot (81 \cdot 6)} = \sqrt{16 \cdot 81 \cdot 6 \cdot 6} = \sqrt{16 \cdot 81 \cdot 36} $. Извлекаем корень из каждого множителя: $ \sqrt{16} \cdot \sqrt{81} \cdot \sqrt{36} = 4 \cdot 9 \cdot 6 = 36 \cdot 6 = 216 $.
Ответ: 216.

8) Для вычисления $ \sqrt{1848 \cdot 462} $ попробуем найти связь между числами. Заметим, что $ 1848 $ является кратным $ 462 $. Проверим делением: $ 1848 / 462 = 4 $. Таким образом, $ 1848 = 4 \cdot 462 $. Подставим это в выражение: $ \sqrt{1848 \cdot 462} = \sqrt{(4 \cdot 462) \cdot 462} = \sqrt{4 \cdot 462^2} $. Извлекаем корень из произведения: $ \sqrt{4} \cdot \sqrt{462^2} = 2 \cdot 462 = 924 $.
Ответ: 924.

10. При каких значениях переменной верно равенство:

1) $\sqrt{y^4} = y^2$;

2) $\sqrt{x^6} = x^3$;

3) $\sqrt{a^{14}} = -a^7$;

4) $\sqrt{x^{12}} = x^6$;

5) $\sqrt{c^{10}} = -c^5$;

6) $\sqrt{b^2} = b$;

7) $\sqrt{x^2} = (\sqrt{x})^2$ ?

1) Равенство $\sqrt{y^4} = y^2$.
Для решения используем свойство арифметического квадратного корня: $\sqrt{a^2} = |a|$. Преобразуем левую часть равенства: $\sqrt{y^4} = \sqrt{(y^2)^2}$. Применяя указанное свойство, где в качестве $a$ выступает $y^2$, получаем $\sqrt{(y^2)^2} = |y^2|$. Выражение $y^2$ всегда неотрицательно при любом действительном значении $y$ (квадрат любого числа не может быть отрицательным). Поэтому, модуль неотрицательного числа равен самому числу: $|y^2| = y^2$. Таким образом, левая часть равенства $\sqrt{y^4}$ тождественно равна $y^2$ для любого значения $y$.
Ответ: при любом значении $y$.

2) Равенство $\sqrt{x^6} = x^3$.
Преобразуем левую часть, представив подкоренное выражение в виде квадрата: $\sqrt{x^6} = \sqrt{(x^3)^2}$. По свойству корня $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем: $\sqrt{(x^3)^2} = |x^3|$. Исходное равенство принимает вид: $|x^3| = x^3$. Равенство $|a| = a$ верно только в том случае, когда $a \ge 0$. В нашем случае это означает, что $x^3 \ge 0$. Неравенство $x^3 \ge 0$ выполняется, когда $x \ge 0$.
Ответ: при $x \ge 0$.

3) Равенство $\sqrt{a^{14}} = -a^7$.
Преобразуем левую часть: $\sqrt{a^{14}} = \sqrt{(a^7)^2}$. Используя свойство $\sqrt{k^2} = |k|$, получаем: $\sqrt{(a^7)^2} = |a^7|$. Исходное равенство принимает вид: $|a^7| = -a^7$. Равенство $|k| = -k$ верно только в том случае, когда $k \le 0$. В данном случае это означает, что $a^7 \le 0$. Неравенство $a^7 \le 0$ выполняется, когда $a \le 0$.
Ответ: при $a \le 0$.

4) Равенство $\sqrt{x^{12}} = x^6$.
Представим левую часть в виде: $\sqrt{x^{12}} = \sqrt{(x^6)^2}$. Применяя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем: $\sqrt{(x^6)^2} = |x^6|$. Исходное равенство становится: $|x^6| = x^6$. Выражение $x^6$ всегда неотрицательно, так как любое число в четной степени ($6$) не может быть отрицательным. Значит, $x^6 \ge 0$ при любом действительном $x$. Модуль неотрицательного числа равен самому числу, поэтому $|x^6| = x^6$ является тождеством.
Ответ: при любом значении $x$.

5) Равенство $\sqrt{c^{10}} = -c^5$.
Преобразуем левую часть: $\sqrt{c^{10}} = \sqrt{(c^5)^2}$. По свойству $\sqrt{a^2} = |a|$, имеем: $\sqrt{(c^5)^2} = |c^5|$. Исходное равенство принимает вид: $|c^5| = -c^5$. Это равенство справедливо только тогда, когда выражение под знаком модуля неположительно, то есть $c^5 \le 0$. Неравенство $c^5 \le 0$ выполняется, когда $c \le 0$.
Ответ: при $c \le 0$.

6) Равенство $\sqrt{b^2} = b$.
По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{b^2} = |b|$. Таким образом, исходное равенство эквивалентно равенству $|b| = b$. Это равенство верно тогда и только тогда, когда $b$ является неотрицательным числом. Следовательно, $b \ge 0$.
Ответ: при $b \ge 0$.

7) Равенство $\sqrt{x^2} = (\sqrt{x})^2$.
Рассмотрим области определения левой и правой частей равенства. Левая часть, $\sqrt{x^2}$, определена для всех действительных чисел $x$, так как $x^2 \ge 0$ всегда. По свойству корня $\sqrt{x^2} = |x|$. Правая часть, $(\sqrt{x})^2$, определена только тогда, когда выражение под корнем неотрицательно, то есть при $x \ge 0$. Для того чтобы равенство было верным, обе его части должны быть определены. Это возможно только при $x \ge 0$. Теперь проверим, выполняется ли равенство при $x \ge 0$. При $x \ge 0$: Левая часть: $\sqrt{x^2} = |x| = x$ (так как $x$ неотрицательно). Правая часть: $(\sqrt{x})^2 = x$ (по определению корня). Поскольку при $x \ge 0$ обе части равны $x$, равенство верно.
Ответ: при $x \ge 0$.

11. Расположите в порядке возрастания числа:

1) $\frac{2}{3}\sqrt{72}$, $\sqrt{30}$ и $7\sqrt{2}$;

2) $8\sqrt{0,2}$, $\sqrt{41}$ и $\frac{2}{5}\sqrt{250}$;

3) $5\sqrt{\frac{7}{2}}$, $\sqrt{17}$ и $\frac{1}{2}\sqrt{62}$;

4) $12\sqrt{0,5}$, $\sqrt{89}$ и $\frac{3}{4}\sqrt{160}$.

1) Чтобы расположить числа в порядке возрастания, приведем их к виду $\sqrt{a}$, внеся множитель под знак корня.
$\frac{2}{3}\sqrt{72} = \sqrt{(\frac{2}{3})^2 \cdot 72} = \sqrt{\frac{4}{9} \cdot 72} = \sqrt{4 \cdot 8} = \sqrt{32}$.
Второе число: $\sqrt{30}$.
$7\sqrt{2} = \sqrt{7^2 \cdot 2} = \sqrt{49 \cdot 2} = \sqrt{98}$.
Теперь у нас есть числа $\sqrt{32}$, $\sqrt{30}$ и $\sqrt{98}$. Сравним подкоренные выражения: $30 < 32 < 98$.
Следовательно, $\sqrt{30} < \sqrt{32} < \sqrt{98}$, что в исходном виде записывается как $\sqrt{30} < \frac{2}{3}\sqrt{72} < 7\sqrt{2}$.
Ответ: $\sqrt{30}, \frac{2}{3}\sqrt{72}, 7\sqrt{2}$.

2) Приведем все числа к виду $\sqrt{a}$.
$8\sqrt{0,2} = \sqrt{8^2 \cdot 0,2} = \sqrt{64 \cdot 0,2} = \sqrt{12,8}$.
Второе число: $\sqrt{41}$.
$\frac{2}{5}\sqrt{250} = \sqrt{(\frac{2}{5})^2 \cdot 250} = \sqrt{\frac{4}{25} \cdot 250} = \sqrt{4 \cdot 10} = \sqrt{40}$.
Сравниваем подкоренные выражения чисел $\sqrt{12,8}$, $\sqrt{41}$ и $\sqrt{40}$: $12,8 < 40 < 41$.
Следовательно, $\sqrt{12,8} < \sqrt{40} < \sqrt{41}$, что в исходном виде записывается как $8\sqrt{0,2} < \frac{2}{5}\sqrt{250} < \sqrt{41}$.
Ответ: $8\sqrt{0,2}, \frac{2}{5}\sqrt{250}, \sqrt{41}$.

3) Приведем все числа к виду $\sqrt{a}$.
$5\sqrt{\frac{7}{2}} = \sqrt{5^2 \cdot \frac{7}{2}} = \sqrt{25 \cdot \frac{7}{2}} = \sqrt{\frac{175}{2}} = \sqrt{87,5}$.
Второе число: $\sqrt{17}$.
$\frac{1}{2}\sqrt{62} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 \cdot 62} = \sqrt{\frac{1}{4} \cdot 62} = \sqrt{\frac{62}{4}} = \sqrt{15,5}$.
Сравниваем подкоренные выражения чисел $\sqrt{87,5}$, $\sqrt{17}$ и $\sqrt{15,5}$: $15,5 < 17 < 87,5$.
Следовательно, $\sqrt{15,5} < \sqrt{17} < \sqrt{87,5}$, что в исходном виде записывается как $\frac{1}{2}\sqrt{62} < \sqrt{17} < 5\sqrt{\frac{7}{2}}$.
Ответ: $\frac{1}{2}\sqrt{62}, \sqrt{17}, 5\sqrt{\frac{7}{2}}$.

4) Приведем все числа к виду $\sqrt{a}$.
$12\sqrt{0,5} = \sqrt{12^2 \cdot 0,5} = \sqrt{144 \cdot 0,5} = \sqrt{72}$.
Второе число: $\sqrt{89}$.
$\frac{3}{4}\sqrt{160} = \sqrt{(\frac{3}{4})^2 \cdot 160} = \sqrt{\frac{9}{16} \cdot 160} = \sqrt{9 \cdot 10} = \sqrt{90}$.
Сравниваем подкоренные выражения чисел $\sqrt{72}$, $\sqrt{89}$ и $\sqrt{90}$: $72 < 89 < 90$.
Следовательно, $\sqrt{72} < \sqrt{89} < \sqrt{90}$, что в исходном виде записывается как $12\sqrt{0,5} < \sqrt{89} < \frac{3}{4}\sqrt{160}$.
Ответ: $12\sqrt{0,5}, \sqrt{89}, \frac{3}{4}\sqrt{160}$.

12. Преобразуйте выражение:

1) $\sqrt{a^4 b^4}$;

2) $\sqrt{\frac{16a^{12}}{b^{10}}}$, где $b > 0$;

3) $\sqrt{b^6 c^8}$, где $b \geq 0$;

4) $\sqrt{16x^4 y^{12}}$;

5) $\sqrt{\frac{4x^2}{y^6}}$, где $x < 0, y < 0$;

6) $\sqrt{0,25 p^2 y^6}$, где $p \geq 0, y \leq 0$.

1) Для преобразования выражения $\sqrt{a^4b^4}$ воспользуемся свойством квадратного корня $\sqrt{x^2} = |x|$ и свойством степеней $(x^m)^n=x^{mn}$.
Представим подкоренное выражение в виде квадрата: $a^4b^4 = (a^2)^2(b^2)^2 = (a^2b^2)^2$.
Тогда $\sqrt{a^4b^4} = \sqrt{(a^2b^2)^2} = |a^2b^2|$.
Поскольку $a^2 \ge 0$ и $b^2 \ge 0$ при любых действительных значениях $a$ и $b$, их произведение $a^2b^2$ также всегда неотрицательно.
Следовательно, $|a^2b^2| = a^2b^2$.
Ответ: $a^2b^2$.

2) Преобразуем выражение $\sqrt{\frac{16a^{12}}{b^{10}}}$, где $b > 0$.
Используем свойство корня из дроби: $\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$.
$\sqrt{\frac{16a^{12}}{b^{10}}} = \frac{\sqrt{16a^{12}}}{\sqrt{b^{10}}}$.
Упростим числитель: $\sqrt{16a^{12}} = \sqrt{16 \cdot (a^6)^2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{(a^6)^2} = 4|a^6|$. Поскольку $a^6 = (a^3)^2 \ge 0$, то $|a^6| = a^6$. Таким образом, числитель равен $4a^6$.
Упростим знаменатель: $\sqrt{b^{10}} = \sqrt{(b^5)^2} = |b^5|$. По условию $b > 0$, значит $b^5 > 0$. Следовательно, $|b^5| = b^5$.
Объединяем числитель и знаменатель: $\frac{4a^6}{b^5}$.
Ответ: $\frac{4a^6}{b^5}$.

3) Преобразуем выражение $\sqrt{b^6c^8}$, где $b \ge 0$.
Используем свойство корня из произведения: $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$.
$\sqrt{b^6c^8} = \sqrt{b^6} \cdot \sqrt{c^8}$.
Упростим первый множитель: $\sqrt{b^6} = \sqrt{(b^3)^2} = |b^3|$. По условию $b \ge 0$, значит $b^3 \ge 0$. Следовательно, $|b^3| = b^3$.
Упростим второй множитель: $\sqrt{c^8} = \sqrt{(c^4)^2} = |c^4|$. Поскольку $c^4 = (c^2)^2 \ge 0$ для любого $c$, то $|c^4| = c^4$.
Перемножаем результаты: $b^3c^4$.
Ответ: $b^3c^4$.

4) Преобразуем выражение $\sqrt{16x^4y^{12}}$.
$\sqrt{16x^4y^{12}} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{x^4} \cdot \sqrt{y^{12}}$.
$\sqrt{16} = 4$.
$\sqrt{x^4} = \sqrt{(x^2)^2} = |x^2|$. Так как $x^2 \ge 0$ при любом $x$, то $|x^2|=x^2$.
$\sqrt{y^{12}} = \sqrt{(y^6)^2} = |y^6|$. Так как $y^6=(y^3)^2 \ge 0$ при любом $y$, то $|y^6|=y^6$.
Перемножаем полученные выражения: $4x^2y^6$.
Ответ: $4x^2y^6$.

5) Преобразуем выражение $\sqrt{\frac{4x^2}{y^6}}$, где $x < 0, y < 0$.
$\sqrt{\frac{4x^2}{y^6}} = \frac{\sqrt{4x^2}}{\sqrt{y^6}}$.
Упростим числитель: $\sqrt{4x^2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{x^2} = 2|x|$. По условию $x < 0$, поэтому $|x| = -x$. Числитель равен $2(-x) = -2x$.
Упростим знаменатель: $\sqrt{y^6} = \sqrt{(y^3)^2} = |y^3|$. По условию $y < 0$, поэтому $y^3 < 0$. Следовательно, $|y^3| = -y^3$.
Объединяем: $\frac{-2x}{-y^3} = \frac{2x}{y^3}$.
Ответ: $\frac{2x}{y^3}$.

6) Преобразуем выражение $\sqrt{0.25p^2y^6}$, где $p \ge 0, y \le 0$.
$\sqrt{0.25p^2y^6} = \sqrt{0.25} \cdot \sqrt{p^2} \cdot \sqrt{y^6}$.
$\sqrt{0.25} = 0.5$.
$\sqrt{p^2} = |p|$. По условию $p \ge 0$, поэтому $|p| = p$.
$\sqrt{y^6} = \sqrt{(y^3)^2} = |y^3|$. По условию $y \le 0$, поэтому $y^3 \le 0$. Следовательно, $|y^3| = -y^3$.
Перемножаем результаты: $0.5 \cdot p \cdot (-y^3) = -0.5py^3$.
Ответ: $-0.5py^3$.

13. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt{(-2c)^2}$;

2) $\sqrt{(-c)^2 (-x)^4}$;

3) $0,5\sqrt{60c^2}$;

4) $0,1\sqrt{75a^3}$;

5) $a\sqrt{18a^2y}$;

6) $0,5\sqrt{144c^2}$;

7) $0,2\sqrt{225a^5}$;

8) $-m\sqrt{81ym^4}$.

1) $\sqrt{(-2c)^2}$
Сначала упростим выражение под корнем: $(-2c)^2 = (-2)^2 \cdot c^2 = 4c^2$.
Получаем $\sqrt{4c^2}$.
Теперь вынесем множители из-под знака корня, используя свойство $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ (для $a, b \ge 0$) и основное свойство корня $\sqrt{x^2}=|x|$.
$\sqrt{4c^2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{c^2} = 2|c|$.
Ответ: $2|c|$.

2) $\sqrt{(-c)^2(-x)^4}$
Упростим подкоренное выражение: $(-c)^2 = c^2$ и $(-x)^4 = x^4$.
Выражение принимает вид $\sqrt{c^2x^4}$.
Выносим множители: $\sqrt{c^2x^4} = \sqrt{c^2} \cdot \sqrt{x^4}$.
Так как $x^4 = (x^2)^2$, то $\sqrt{x^4} = \sqrt{(x^2)^2} = |x^2| = x^2$ (поскольку $x^2 \ge 0$).
Также, $\sqrt{c^2}=|c|$.
Итоговый результат: $|c|x^2$.
Ответ: $|c|x^2$.

3) $0,5\sqrt{60c^2}$
Разложим число 60 на множители так, чтобы выделить полный квадрат: $60 = 4 \cdot 15$.
Выражение становится $0,5\sqrt{4 \cdot 15 \cdot c^2}$.
Выносим множители из-под знака корня: $0,5 \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{c^2} \cdot \sqrt{15} = 0,5 \cdot 2 \cdot |c| \cdot \sqrt{15}$.
Упрощаем: $1 \cdot |c| \cdot \sqrt{15} = |c|\sqrt{15}$.
Ответ: $|c|\sqrt{15}$.

4) $0,1\sqrt{75a^3}$
Область допустимых значений для этого выражения определяется условием $75a^3 \ge 0$, что равносильно $a^3 \ge 0$, а значит $a \ge 0$.
Разложим подкоренное выражение на множители, выделяя полные квадраты: $75 = 25 \cdot 3$ и $a^3 = a^2 \cdot a$.
Получаем $0,1\sqrt{25 \cdot 3 \cdot a^2 \cdot a} = 0,1\sqrt{25a^2 \cdot 3a}$.
Выносим множители: $0,1 \cdot \sqrt{25} \cdot \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{3a} = 0,1 \cdot 5 \cdot |a| \cdot \sqrt{3a}$.
Так как из области допустимых значений мы знаем, что $a \ge 0$, то $|a| = a$.
Подставляем и упрощаем: $0,1 \cdot 5 \cdot a \cdot \sqrt{3a} = 0,5a\sqrt{3a}$.
Ответ: $0,5a\sqrt{3a}$.

5) $a\sqrt{18a^2y}$
Область допустимых значений: $18a^2y \ge 0$. Так как $18>0$ и $a^2 \ge 0$, это условие сводится к $y \ge 0$ (при $a \neq 0$; если $a=0$, то выражение равно 0).
Разложим подкоренное выражение на множители: $18 = 9 \cdot 2$.
Выражение принимает вид $a\sqrt{9 \cdot 2 \cdot a^2 y}$.
Выносим множители из-под корня: $a \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{2y} = a \cdot 3 \cdot |a| \cdot \sqrt{2y} = 3a|a|\sqrt{2y}$.
Ответ: $3a|a|\sqrt{2y}$ (при $y \ge 0$).

6) $0,5\sqrt{144c^2}$
Выносим множители из-под знака корня, используя то, что $144 = 12^2$.
$0,5\sqrt{144c^2} = 0,5 \cdot \sqrt{144} \cdot \sqrt{c^2}$.
Применяя свойство $\sqrt{x^2}=|x|$, получаем: $0,5 \cdot 12 \cdot |c|$.
Упрощаем: $6|c|$.
Ответ: $6|c|$.

7) $0,2\sqrt{225a^5}$
Область допустимых значений: $225a^5 \ge 0$, что означает $a^5 \ge 0$, и следовательно $a \ge 0$.
Разложим подкоренное выражение: $225 = 15^2$ и $a^5 = a^4 \cdot a$.
Получаем $0,2\sqrt{225 \cdot a^4 \cdot a}$.
Выносим множители: $0,2 \cdot \sqrt{225} \cdot \sqrt{a^4} \cdot \sqrt{a} = 0,2 \cdot 15 \cdot \sqrt{(a^2)^2} \cdot \sqrt{a}$.
Так как $\sqrt{(a^2)^2} = |a^2| = a^2$ (поскольку $a^2$ всегда неотрицательно), получаем: $0,2 \cdot 15 \cdot a^2 \cdot \sqrt{a}$.
Упрощаем: $3a^2\sqrt{a}$.
Ответ: $3a^2\sqrt{a}$.

8) $-m\sqrt{81ym^4}$
Область допустимых значений: $81ym^4 \ge 0$. Так как $81 > 0$ и $m^4 \ge 0$, это условие выполняется при $y \ge 0$ (при $m \neq 0$; если $m=0$, то выражение равно 0).
Разложим подкоренное выражение: $81 = 9^2$ и $m^4 = (m^2)^2$.
Выражение принимает вид $-m\sqrt{9^2 \cdot (m^2)^2 \cdot y}$.
Выносим множители из-под корня: $-m \cdot \sqrt{9^2} \cdot \sqrt{(m^2)^2} \cdot \sqrt{y} = -m \cdot 9 \cdot |m^2| \cdot \sqrt{y}$.
Поскольку $m^2$ всегда неотрицательно, $|m^2|=m^2$.
Подставляем и упрощаем: $-m \cdot 9 \cdot m^2 \cdot \sqrt{y} = -9m^3\sqrt{y}$.
Ответ: $-9m^3\sqrt{y}$ (при $y \ge 0$).

14. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt{9a^2b}$, где $a < 0$;

2) $\sqrt{-3c^3}$;

3) $2,1\sqrt{300x^4}$, где $x > 0$;

4) $\sqrt{-5m^7}$;

5) $\sqrt{32a^4x^3}$;

6) $a\sqrt{a^5}$;

7) $\sqrt{144a^3b^3}$, где $a < 0, b < 0$;

8) $\frac{1}{x}\sqrt{-x^3}$.

1) Для того чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{9a^2b}$, представим подкоренное выражение в виде произведения множителей, из которых можно извлечь квадратный корень: $\sqrt{9 \cdot a^2 \cdot b}$. Используя свойство корня из произведения $\sqrt{xyz}=\sqrt{x}\sqrt{y}\sqrt{z}$ (при условии, что подкоренные выражения неотрицательны), получаем $\sqrt{9} \cdot \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{b}$. Известно, что $\sqrt{9}=3$ и $\sqrt{a^2}=|a|$. Таким образом, выражение преобразуется к виду $3|a|\sqrt{b}$. По условию задачи $a < 0$, следовательно, модуль отрицательного числа $a$ равен $-a$. Подставляя это в наше выражение, получаем $3(-a)\sqrt{b} = -3a\sqrt{b}$. Заметим, что для существования корня необходимо, чтобы $b \ge 0$.
Ответ: $-3a\sqrt{b}$

2) Для того чтобы выражение $\sqrt{-3c^3}$ имело смысл в действительных числах, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $-3c^3 \ge 0$. Разделив обе части на -3, получаем $c^3 \le 0$, что означает $c \le 0$. Представим подкоренное выражение в виде $\sqrt{c^2 \cdot (-3c)}$. Так как $c \le 0$, то множитель $-3c$ будет неотрицательным. Теперь мы можем вынести $c^2$ из-под знака корня: $\sqrt{c^2} \cdot \sqrt{-3c} = |c|\sqrt{-3c}$. Поскольку $c \le 0$, то $|c| = -c$. Следовательно, итоговое выражение равно $-c\sqrt{-3c}$.
Ответ: $-c\sqrt{-3c}$

3) Упростим выражение $2.1\sqrt{300x^4}$. Сначала вынесем множитель из-под знака корня. Разложим подкоренное выражение на множители: $300x^4 = 100 \cdot 3 \cdot x^4 = (10)^2 \cdot (x^2)^2 \cdot 3$. Тогда $\sqrt{300x^4} = \sqrt{100 \cdot x^4 \cdot 3} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{x^4} \cdot \sqrt{3} = 10 \cdot \sqrt{(x^2)^2} \cdot \sqrt{3} = 10x^2\sqrt{3}$. (Здесь $|x^2|=x^2$, так как $x^2$ всегда неотрицательно). Теперь умножим полученное выражение на коэффициент $2.1$: $2.1 \cdot (10x^2\sqrt{3}) = 21x^2\sqrt{3}$. Условие $x > 0$ является избыточным, но не противоречит решению.
Ответ: $21x^2\sqrt{3}$

4) Рассмотрим выражение $\sqrt{-5m^7}$. Область определения задается условием $-5m^7 \ge 0$, откуда $m^7 \le 0$, что означает $m \le 0$. Представим подкоренное выражение, выделив множитель с четной степенью: $-5m^7 = -5 \cdot m \cdot m^6 = (-5m) \cdot m^6$. Так как $m \le 0$, выражение $-5m$ неотрицательно. $\sqrt{-5m^7} = \sqrt{m^6 \cdot (-5m)} = \sqrt{m^6} \cdot \sqrt{-5m} = \sqrt{(m^3)^2} \cdot \sqrt{-5m} = |m^3|\sqrt{-5m}$. Поскольку $m \le 0$, то $m^3 \le 0$, и, следовательно, $|m^3| = -m^3$. В результате получаем $-m^3\sqrt{-5m}$.
Ответ: $-m^3\sqrt{-5m}$

5) В выражении $\sqrt{32a^4x^3}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательно: $32a^4x^3 \ge 0$. Так как $32a^4 \ge 0$ для любого $a$, то условие сводится к $x^3 \ge 0$, то есть $x \ge 0$. Разложим подкоренное выражение на множители: $32a^4x^3 = 16 \cdot 2 \cdot a^4 \cdot x^2 \cdot x$. Сгруппируем полные квадраты: $\sqrt{(16a^4x^2) \cdot (2x)}$. Вынесем множители из-под корня: $\sqrt{16a^4x^2} \cdot \sqrt{2x} = \sqrt{16}\sqrt{a^4}\sqrt{x^2}\sqrt{2x} = 4|a^2||x|\sqrt{2x}$. Поскольку $a^2 \ge 0$, то $|a^2| = a^2$. Поскольку $x \ge 0$, то $|x| = x$. Окончательное выражение: $4a^2x\sqrt{2x}$.
Ответ: $4a^2x\sqrt{2x}$

6) Для выражения $a\sqrt{a^5}$ корень определен при $a^5 \ge 0$, то есть $a \ge 0$. Сначала упростим корень $\sqrt{a^5}$, вынеся из-под него множитель. $a^5 = a^4 \cdot a$. $\sqrt{a^5} = \sqrt{a^4 \cdot a} = \sqrt{a^4}\sqrt{a} = a^2\sqrt{a}$. Теперь умножим результат на множитель $a$, стоящий перед корнем: $a \cdot (a^2\sqrt{a}) = a^3\sqrt{a}$.
Ответ: $a^3\sqrt{a}$

7) В выражении $\sqrt{144a^3b^3}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательно: $144a^3b^3 \ge 0$, что равносильно $(ab)^3 \ge 0$ или $ab \ge 0$. По условию $a < 0$ и $b < 0$, их произведение $ab$ положительно, так что условие выполняется. Разложим подкоренное выражение: $144a^3b^3 = 144 \cdot a^2 \cdot a \cdot b^2 \cdot b = (144a^2b^2) \cdot (ab)$. Вынесем множители из-под знака корня: $\sqrt{144a^2b^2 \cdot ab} = \sqrt{144a^2b^2}\sqrt{ab} = 12|a||b|\sqrt{ab}$. По условию $a < 0$ и $b < 0$, значит $|a| = -a$ и $|b| = -b$. Подставляем в выражение: $12(-a)(-b)\sqrt{ab} = 12ab\sqrt{ab}$.
Ответ: $12ab\sqrt{ab}$

8) Область определения выражения $\frac{1}{x}\sqrt{-x^3}$ задается условиями: $x \ne 0$ (из-за знаменателя) и $-x^3 \ge 0$ (из-за корня). Условие $-x^3 \ge 0$ эквивалентно $x^3 \le 0$, что означает $x \le 0$. Объединяя оба условия, получаем $x < 0$. Упростим корень: $\sqrt{-x^3} = \sqrt{x^2(-x)}$. Так как $x < 0$, то $-x > 0$. Выносим множитель: $\sqrt{x^2(-x)} = \sqrt{x^2}\sqrt{-x} = |x|\sqrt{-x}$. Поскольку $x < 0$, то $|x| = -x$. Таким образом, $\sqrt{-x^3} = -x\sqrt{-x}$. Подставим это в исходное выражение: $\frac{1}{x} \cdot (-x\sqrt{-x})$. Сокращаем $x$ в числителе и знаменателе: $-\sqrt{-x}$.
Ответ: $-\sqrt{-x}$