Номер 13, страница 168 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt{(-2c)^2}$;

2) $\sqrt{(-c)^2 (-x)^4}$;

3) $0,5\sqrt{60c^2}$;

4) $0,1\sqrt{75a^3}$;

5) $a\sqrt{18a^2y}$;

6) $0,5\sqrt{144c^2}$;

7) $0,2\sqrt{225a^5}$;

8) $-m\sqrt{81ym^4}$.

1) $\sqrt{(-2c)^2}$
Сначала упростим выражение под корнем: $(-2c)^2 = (-2)^2 \cdot c^2 = 4c^2$.
Получаем $\sqrt{4c^2}$.
Теперь вынесем множители из-под знака корня, используя свойство $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ (для $a, b \ge 0$) и основное свойство корня $\sqrt{x^2}=|x|$.
$\sqrt{4c^2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{c^2} = 2|c|$.
Ответ: $2|c|$.

2) $\sqrt{(-c)^2(-x)^4}$
Упростим подкоренное выражение: $(-c)^2 = c^2$ и $(-x)^4 = x^4$.
Выражение принимает вид $\sqrt{c^2x^4}$.
Выносим множители: $\sqrt{c^2x^4} = \sqrt{c^2} \cdot \sqrt{x^4}$.
Так как $x^4 = (x^2)^2$, то $\sqrt{x^4} = \sqrt{(x^2)^2} = |x^2| = x^2$ (поскольку $x^2 \ge 0$).
Также, $\sqrt{c^2}=|c|$.
Итоговый результат: $|c|x^2$.
Ответ: $|c|x^2$.

3) $0,5\sqrt{60c^2}$
Разложим число 60 на множители так, чтобы выделить полный квадрат: $60 = 4 \cdot 15$.
Выражение становится $0,5\sqrt{4 \cdot 15 \cdot c^2}$.
Выносим множители из-под знака корня: $0,5 \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{c^2} \cdot \sqrt{15} = 0,5 \cdot 2 \cdot |c| \cdot \sqrt{15}$.
Упрощаем: $1 \cdot |c| \cdot \sqrt{15} = |c|\sqrt{15}$.
Ответ: $|c|\sqrt{15}$.

4) $0,1\sqrt{75a^3}$
Область допустимых значений для этого выражения определяется условием $75a^3 \ge 0$, что равносильно $a^3 \ge 0$, а значит $a \ge 0$.
Разложим подкоренное выражение на множители, выделяя полные квадраты: $75 = 25 \cdot 3$ и $a^3 = a^2 \cdot a$.
Получаем $0,1\sqrt{25 \cdot 3 \cdot a^2 \cdot a} = 0,1\sqrt{25a^2 \cdot 3a}$.
Выносим множители: $0,1 \cdot \sqrt{25} \cdot \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{3a} = 0,1 \cdot 5 \cdot |a| \cdot \sqrt{3a}$.
Так как из области допустимых значений мы знаем, что $a \ge 0$, то $|a| = a$.
Подставляем и упрощаем: $0,1 \cdot 5 \cdot a \cdot \sqrt{3a} = 0,5a\sqrt{3a}$.
Ответ: $0,5a\sqrt{3a}$.

5) $a\sqrt{18a^2y}$
Область допустимых значений: $18a^2y \ge 0$. Так как $18>0$ и $a^2 \ge 0$, это условие сводится к $y \ge 0$ (при $a \neq 0$; если $a=0$, то выражение равно 0).
Разложим подкоренное выражение на множители: $18 = 9 \cdot 2$.
Выражение принимает вид $a\sqrt{9 \cdot 2 \cdot a^2 y}$.
Выносим множители из-под корня: $a \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{2y} = a \cdot 3 \cdot |a| \cdot \sqrt{2y} = 3a|a|\sqrt{2y}$.
Ответ: $3a|a|\sqrt{2y}$ (при $y \ge 0$).

6) $0,5\sqrt{144c^2}$
Выносим множители из-под знака корня, используя то, что $144 = 12^2$.
$0,5\sqrt{144c^2} = 0,5 \cdot \sqrt{144} \cdot \sqrt{c^2}$.
Применяя свойство $\sqrt{x^2}=|x|$, получаем: $0,5 \cdot 12 \cdot |c|$.
Упрощаем: $6|c|$.
Ответ: $6|c|$.

7) $0,2\sqrt{225a^5}$
Область допустимых значений: $225a^5 \ge 0$, что означает $a^5 \ge 0$, и следовательно $a \ge 0$.
Разложим подкоренное выражение: $225 = 15^2$ и $a^5 = a^4 \cdot a$.
Получаем $0,2\sqrt{225 \cdot a^4 \cdot a}$.
Выносим множители: $0,2 \cdot \sqrt{225} \cdot \sqrt{a^4} \cdot \sqrt{a} = 0,2 \cdot 15 \cdot \sqrt{(a^2)^2} \cdot \sqrt{a}$.
Так как $\sqrt{(a^2)^2} = |a^2| = a^2$ (поскольку $a^2$ всегда неотрицательно), получаем: $0,2 \cdot 15 \cdot a^2 \cdot \sqrt{a}$.
Упрощаем: $3a^2\sqrt{a}$.
Ответ: $3a^2\sqrt{a}$.

8) $-m\sqrt{81ym^4}$
Область допустимых значений: $81ym^4 \ge 0$. Так как $81 > 0$ и $m^4 \ge 0$, это условие выполняется при $y \ge 0$ (при $m \neq 0$; если $m=0$, то выражение равно 0).
Разложим подкоренное выражение: $81 = 9^2$ и $m^4 = (m^2)^2$.
Выражение принимает вид $-m\sqrt{9^2 \cdot (m^2)^2 \cdot y}$.
Выносим множители из-под корня: $-m \cdot \sqrt{9^2} \cdot \sqrt{(m^2)^2} \cdot \sqrt{y} = -m \cdot 9 \cdot |m^2| \cdot \sqrt{y}$.
Поскольку $m^2$ всегда неотрицательно, $|m^2|=m^2$.
Подставляем и упрощаем: $-m \cdot 9 \cdot m^2 \cdot \sqrt{y} = -9m^3\sqrt{y}$.
Ответ: $-9m^3\sqrt{y}$ (при $y \ge 0$).