Номер 18, страница 169 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18. Вычислите значение выражения:

1) $x^2 - 6$ при $x = 1 - 2\sqrt{5}$;

2) $x^2 - 4x + 5$ при $x = 2 + \sqrt{3}$;

3) $x^2 - 6x$ при $x = 3 - \sqrt{3}$;

4) $x^2 - 3x + 6$ при $x = \frac{3 - \sqrt{2}}{2}$.

1) Чтобы вычислить значение выражения $x^2 - 6$ при $x = 1 - 2\sqrt{5}$, подставим значение $x$ в выражение:

$(1 - 2\sqrt{5})^2 - 6$

Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 2\sqrt{5} + (2\sqrt{5})^2 - 6 = 1 - 4\sqrt{5} + 4 \cdot 5 - 6 = 1 - 4\sqrt{5} + 20 - 6$

Сгруппируем и сложим числовые значения:

$(1 + 20 - 6) - 4\sqrt{5} = 15 - 4\sqrt{5}$

Ответ: $15 - 4\sqrt{5}$.

2) Чтобы вычислить значение выражения $x^2 - 4x + 5$ при $x = 2 + \sqrt{3}$, можно преобразовать исходное выражение, выделив полный квадрат:

$x^2 - 4x + 5 = (x^2 - 4x + 4) + 1 = (x - 2)^2 + 1$

Теперь подставим значение $x = 2 + \sqrt{3}$ в преобразованное выражение. Сначала найдем значение $x-2$:

$x - 2 = (2 + \sqrt{3}) - 2 = \sqrt{3}$

Подставляем это в $(x - 2)^2 + 1$:

$(\sqrt{3})^2 + 1 = 3 + 1 = 4$

Ответ: $4$.

3) Чтобы вычислить значение выражения $x^2 - 6x$ при $x = 3 - \sqrt{3}$, можно выделить полный квадрат:

$x^2 - 6x = (x^2 - 6x + 9) - 9 = (x - 3)^2 - 9$

Теперь подставим значение $x = 3 - \sqrt{3}$. Найдем значение $x-3$:

$x - 3 = (3 - \sqrt{3}) - 3 = -\sqrt{3}$

Подставляем это в $(x - 3)^2 - 9$:

$(-\sqrt{3})^2 - 9 = 3 - 9 = -6$

Ответ: $-6$.

4) Чтобы вычислить значение выражения $x^2 - 3x + 6$ при $x = \frac{3 - \sqrt{2}}{2}$, преобразуем равенство для $x$:

$x = \frac{3 - \sqrt{2}}{2}$

Умножим обе части на 2:

$2x = 3 - \sqrt{2}$

Перенесем 3 в левую часть:

$2x - 3 = -\sqrt{2}$

Возведем обе части в квадрат:

$(2x - 3)^2 = (-\sqrt{2})^2$

$4x^2 - 12x + 9 = 2$

Перенесем 2 в левую часть:

$4x^2 - 12x + 7 = 0$

Заметим, что искомое выражение $x^2 - 3x + 6$ связано с полученным. Вынесем 4 за скобки в левой части уравнения:

$4(x^2 - 3x) + 7 = 0$

Отсюда найдем значение $x^2 - 3x$:

$4(x^2 - 3x) = -7$

$x^2 - 3x = -\frac{7}{4}$

Теперь подставим это значение в исходное выражение:

$x^2 - 3x + 6 = (-\frac{7}{4}) + 6 = -\frac{7}{4} + \frac{24}{4} = \frac{-7 + 24}{4} = \frac{17}{4}$

Ответ: $\frac{17}{4}$.