Номер 16, страница 169 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16. При каких значениях переменной верно равенство:

1) $x\sqrt{3} = \sqrt{3x^2}$;

2) $\sqrt{13a^2} = -a\sqrt{13}$;

3) $y\sqrt{5} = -\sqrt{5y^2}$;

4) $\sqrt{5x^2} = x\sqrt{5}$?

1) Для того чтобы равенство $x\sqrt{3} = \sqrt{3x^2}$ было верным, необходимо определить, при каких значениях $x$ можно внести множитель $x$ под знак корня именно таким образом. Вспомним правило внесения множителя под знак корня: $k\sqrt{a} = \sqrt{k^2a}$ только при $k \ge 0$. Если $k < 0$, то $k\sqrt{a} = -\sqrt{k^2a}$. В данном равенстве множитель $x$ вносится под корень со знаком плюс, следовательно, $x$ должен быть неотрицательным.
Другой способ решения — преобразовать правую часть равенства, используя свойство $\sqrt{b^2} = |b|$:$\sqrt{3x^2} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{x^2} = \sqrt{3} \cdot |x|$.Тогда исходное равенство принимает вид:$x\sqrt{3} = |x|\sqrt{3}$Разделив обе части на $\sqrt{3}$, получаем:$x = |x|$Это равенство справедливо для всех $x$, которые больше или равны нулю.
Ответ: $x \ge 0$.

2) Рассмотрим равенство $\sqrt{13a^2} = -a\sqrt{13}$. Преобразуем левую часть, используя правило вынесения множителя из-под знака корня $\sqrt{b^2} = |b|$:$\sqrt{13a^2} = \sqrt{13} \cdot \sqrt{a^2} = |a|\sqrt{13}$.Теперь исходное равенство можно записать так:$|a|\sqrt{13} = -a\sqrt{13}$Разделим обе части на $\sqrt{13}$:$|a| = -a$Это равенство верно, когда переменная $a$ является неположительным числом (т.е. отрицательным или равным нулю). Например, если $a = -5$, то $|-5| = -(-5)$, что дает $5=5$. Если $a=0$, то $|0| = -0$, что дает $0=0$. Если $a=5$, то $|5| = -5$, что неверно ($5 \neq -5$).
Ответ: $a \le 0$.

3) Проанализируем равенство $y\sqrt{5} = -\sqrt{5y^2}$. Это равенство связано с правилом внесения множителя под знак корня. Как упоминалось в пункте 1, равенство вида $k\sqrt{a} = -\sqrt{k^2a}$ выполняется, когда $k \le 0$. Проверим случай $y=0$: левая часть $0\sqrt{5}=0$, правая часть $-\sqrt{5 \cdot 0^2} = 0$. Равенство верно. Значит, $y$ может быть равен нулю. Если $y<0$, то по правилу внесения отрицательного множителя под корень, равенство также будет верным.
Также можно преобразовать правую часть:$-\sqrt{5y^2} = -\sqrt{5} \cdot \sqrt{y^2} = -|y|\sqrt{5}$.Подставим это в исходное уравнение:$y\sqrt{5} = -|y|\sqrt{5}$Разделив на $\sqrt{5}$, получаем:$y = -|y|$Это равенство, как и в пункте 2, верно для всех неположительных значений $y$.
Ответ: $y \le 0$.

4) Рассмотрим равенство $\sqrt{5x^2} = x\sqrt{5}$. Преобразуем левую часть равенства, вынося множитель из-под знака корня:$\sqrt{5x^2} = \sqrt{5} \cdot \sqrt{x^2} = |x|\sqrt{5}$.Исходное равенство принимает вид:$|x|\sqrt{5} = x\sqrt{5}$Разделим обе части на $\sqrt{5}$:$|x| = x$Это равенство, как и в пункте 1, верно для всех неотрицательных значений $x$.
Ответ: $x \ge 0$.