Номер 19, страница 169 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19. Докажите, что является натуральным числом значение выражения:

1) $\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} + \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} + \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} \cdot \sqrt{7 - 4\sqrt{3}}.$

2) $(\sqrt{5 - 2\sqrt{6}} + \sqrt{5 + 2\sqrt{6}}) \cdot \sqrt{3} + 3.$

1)Для доказательства того, что значение выражения является натуральным числом, мы упростим его по частям.Выражение: $\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} + \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} + \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} \cdot \sqrt{7 - 4\sqrt{3}}$.

Сначала упростим первые два слагаемых, используя формулу для квадрата разности и квадрата суммы $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.Для $\sqrt{7 - 4\sqrt{3}}$, представим подкоренное выражение в виде полного квадрата:$7 - 4\sqrt{3} = 7 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3}$. Мы ищем два числа $a$ и $b$ такие, что $a^2 + b^2 = 7$ и $2ab = 4\sqrt{3}$ (или $ab = 2\sqrt{3}$).Подходят числа $a=2$ и $b=\sqrt{3}$, так как $a^2+b^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 = 4 + 3 = 7$.Тогда $7 - 4\sqrt{3} = (2 - \sqrt{3})^2$.Поскольку $2 > \sqrt{3}$ (так как $4 > 3$), выражение $2 - \sqrt{3}$ положительно.Следовательно, $\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{(2 - \sqrt{3})^2} = 2 - \sqrt{3}$.

Аналогично для $\sqrt{7 + 4\sqrt{3}}$:$7 + 4\sqrt{3} = 4 + 3 + 4\sqrt{3} = 2^2 + (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} = (2 + \sqrt{3})^2$.Следовательно, $\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{(2 + \sqrt{3})^2} = 2 + \sqrt{3}$.

Теперь упростим третье слагаемое, используя свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ и формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$:$\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} \cdot \sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{(7 + 4\sqrt{3})(7 - 4\sqrt{3})} = \sqrt{7^2 - (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{49 - 16 \cdot 3} = \sqrt{49 - 48} = \sqrt{1} = 1$.

Подставим все упрощенные части обратно в исходное выражение:$(2 - \sqrt{3}) + (2 + \sqrt{3}) + 1 = 2 - \sqrt{3} + 2 + \sqrt{3} + 1 = 4 + 1 = 5$.

Значение выражения равно 5, что является натуральным числом, что и требовалось доказать.Ответ: 5.

2)Для доказательства того, что значение выражения является натуральным числом, мы упростим его.Выражение: $(\sqrt{5 - 2\sqrt{6}} + \sqrt{5 + 2\sqrt{6}}) \cdot \sqrt{3} + 3$.

Сначала упростим выражение в скобках. Для этого, как и в предыдущем задании, представим подкоренные выражения в виде полного квадрата.Для $\sqrt{5 - 2\sqrt{6}}$:Ищем числа $a$ и $b$ такие, что $a^2 + b^2 = 5$ и $2ab = 2\sqrt{6}$ (или $ab = \sqrt{6}$).Подходят числа $a=\sqrt{3}$ и $b=\sqrt{2}$, так как $a^2+b^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 = 3 + 2 = 5$.Тогда $5 - 2\sqrt{6} = (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{3} - \sqrt{2})^2$.Поскольку $\sqrt{3} > \sqrt{2}$, выражение $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ положительно.Следовательно, $\sqrt{5 - 2\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$.

Аналогично для $\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}$:$5 + 2\sqrt{6} = (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^2$.Следовательно, $\sqrt{5 + 2\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$.

Теперь подставим упрощенные выражения в скобки:$\sqrt{5 - 2\sqrt{6}} + \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} = (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{3} + \sqrt{2}) = \sqrt{3} - \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{2} = 2\sqrt{3}$.

Подставим результат в исходное выражение и вычислим его значение:$(2\sqrt{3}) \cdot \sqrt{3} + 3 = 2 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) + 3 = 2 \cdot 3 + 3 = 6 + 3 = 9$.

Значение выражения равно 9, что является натуральным числом, что и требовалось доказать.Ответ: 9.