Номер 26, страница 170 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

26.

1) $\frac{x\sqrt{x} - y\sqrt{y}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}};$

2) $\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{a\sqrt{a} + b\sqrt{b}};$

3) $\frac{2\sqrt{2} - x\sqrt{x}}{2 + \sqrt{2x} + x};$

4) $\frac{a - \sqrt{3a} + 3}{a\sqrt{a} + 3\sqrt{3}}.$

1) Для упрощения дроби $\frac{x\sqrt{x} - y\sqrt{y}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}$ представим выражения в числителе в виде кубов.
Заметим, что $x\sqrt{x} = x^1 \cdot x^{1/2} = x^{3/2} = (\sqrt{x})^3$. Аналогично, $y\sqrt{y} = (\sqrt{y})^3$.
Таким образом, выражение можно переписать как $\frac{(\sqrt{x})^3 - (\sqrt{y})^3}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}$.
В числителе находится разность кубов. Используем формулу $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$, где $a=\sqrt{x}$ и $b=\sqrt{y}$:
$(\sqrt{x})^3 - (\sqrt{y})^3 = (\sqrt{x}-\sqrt{y})((\sqrt{x})^2 + \sqrt{x}\sqrt{y} + (\sqrt{y})^2) = (\sqrt{x}-\sqrt{y})(x+\sqrt{xy}+y)$.
Подставим это в дробь:
$\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(x+\sqrt{xy}+y)}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}$
В данном виде прямое сокращение невозможно. Выполним деление, чтобы упростить выражение. Сделаем замену $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt{y}$. Получим $\frac{a^3 - b^3}{a+b}$.
Преобразуем числитель: $a^3 - b^3 = a^3 + b^3 - 2b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) - 2b^3$.
Теперь разделим на $(a+b)$:
$\frac{(a+b)(a^2-ab+b^2) - 2b^3}{a+b} = \frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{a+b} - \frac{2b^3}{a+b} = a^2-ab+b^2 - \frac{2b^3}{a+b}$.
Выполним обратную замену:
$x - \sqrt{xy} + y - \frac{2(\sqrt{y})^3}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} = x - \sqrt{xy} + y - \frac{2y\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$.
Ответ: $x - \sqrt{xy} + y - \frac{2y\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$.

2) Рассмотрим дробь $\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{a\sqrt{a} + b\sqrt{b}}$.
Представим знаменатель в виде суммы кубов. $a\sqrt{a} = (\sqrt{a})^3$ и $b\sqrt{b} = (\sqrt{b})^3$.
Знаменатель равен $(\sqrt{a})^3 + (\sqrt{b})^3$.
Используем формулу суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$.
$a\sqrt{a} + b\sqrt{b} = (\sqrt{a} + \sqrt{b})((\sqrt{a})^2 - \sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2) = (\sqrt{a} + \sqrt{b})(a - \sqrt{ab} + b)$.
Подставим полученное выражение в знаменатель исходной дроби:
$\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(a - \sqrt{ab} + b)}$.
Сократим общий множитель $(\sqrt{a} + \sqrt{b})$ в числителе и знаменателе:
$\frac{1}{a - \sqrt{ab} + b}$.
Ответ: $\frac{1}{a - \sqrt{ab} + b}$.

3) Рассмотрим дробь $\frac{2\sqrt{2} - x\sqrt{x}}{2 + \sqrt{2x} + x}$.
Представим числитель в виде разности кубов. $2\sqrt{2} = (\sqrt{2})^3$ и $x\sqrt{x} = (\sqrt{x})^3$.
Числитель равен $(\sqrt{2})^3 - (\sqrt{x})^3$.
Используем формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.
$2\sqrt{2} - x\sqrt{x} = (\sqrt{2} - \sqrt{x})((\sqrt{2})^2 + \sqrt{2}\sqrt{x} + (\sqrt{x})^2) = (\sqrt{2} - \sqrt{x})(2 + \sqrt{2x} + x)$.
Подставим полученное выражение в числитель исходной дроби:
$\frac{(\sqrt{2} - \sqrt{x})(2 + \sqrt{2x} + x)}{2 + \sqrt{2x} + x}$.
Сократим общий множитель $(2 + \sqrt{2x} + x)$ в числителе и знаменателе:
$\sqrt{2} - \sqrt{x}$.
Ответ: $\sqrt{2} - \sqrt{x}$.

4) Рассмотрим дробь $\frac{a - \sqrt{3a} + 3}{a\sqrt{a} + 3\sqrt{3}}$.
Представим знаменатель в виде суммы кубов. $a\sqrt{a} = (\sqrt{a})^3$ и $3\sqrt{3} = (\sqrt{3})^3$.
Знаменатель равен $(\sqrt{a})^3 + (\sqrt{3})^3$.
Используем формулу суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$.
$a\sqrt{a} + 3\sqrt{3} = (\sqrt{a} + \sqrt{3})((\sqrt{a})^2 - \sqrt{a}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2) = (\sqrt{a} + \sqrt{3})(a - \sqrt{3a} + 3)$.
Подставим полученное выражение в знаменатель исходной дроби:
$\frac{a - \sqrt{3a} + 3}{(\sqrt{a} + \sqrt{3})(a - \sqrt{3a} + 3)}$.
Сократим общий множитель $(a - \sqrt{3a} + 3)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{3}}$.
Ответ: $\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{3}}$.