Номер 32, страница 170 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

32. Упростите выражение:

1) $\left(\frac{1}{x+x\sqrt{y}} + \frac{1}{x-x\sqrt{y}}\right) \cdot \frac{y-1}{4}$;

2) $\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\right) \cdot \frac{(a-b)^2}{6}$

1) Для упрощения выражения $(\frac{1}{x + x\sqrt{y}} + \frac{1}{x - x\sqrt{y}}) \cdot \frac{y-1}{4}$ начнем с действия в скобках.
Сначала вынесем общий множитель $x$ в знаменателях дробей:
$\frac{1}{x(1 + \sqrt{y})} + \frac{1}{x(1 - \sqrt{y})}$
Приведем дроби к общему знаменателю, которым является $x(1 + \sqrt{y})(1 - \sqrt{y})$.
$\frac{1 \cdot (1 - \sqrt{y})}{x(1 + \sqrt{y})(1 - \sqrt{y})} + \frac{1 \cdot (1 + \sqrt{y})}{x(1 + \sqrt{y})(1 - \sqrt{y})} = \frac{1 - \sqrt{y} + 1 + \sqrt{y}}{x(1 + \sqrt{y})(1 - \sqrt{y})}$
Упростим числитель, а в знаменателе применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:
$\frac{2}{x(1^2 - (\sqrt{y})^2)} = \frac{2}{x(1 - y)}$
Теперь выполним умножение полученной дроби на вторую часть выражения:
$\frac{2}{x(1 - y)} \cdot \frac{y-1}{4}$
Заметим, что $y-1 = -(1-y)$, поэтому можем переписать выражение следующим образом:
$\frac{2}{x(1 - y)} \cdot \frac{-(1-y)}{4}$
Сократим общие множители $(1-y)$ в числителе и знаменателе, а также числовые коэффициенты 2 и 4:
$\frac{\cancel{2}}{x(\cancel{1 - y})} \cdot \frac{-(\cancel{1-y})}{\cancel{4}_2} = \frac{-1}{2x}$
Ответ: $-\frac{1}{2x}$

2) Рассмотрим выражение $(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}) \cdot \frac{(a-b)^2}{6}$.
Первым шагом упростим выражение в скобках. В скобках находится разность двух одинаковых дробей:
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} = 0$
Теперь результат из скобок (который равен нулю) умножим на оставшуюся часть выражения:
$0 \cdot \frac{(a-b)^2}{6} = 0$
Произведение любого выражения на ноль равно нулю.
Ответ: $0$