Номер 38, страница 171 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

38.

1) $3\sqrt{x} = 12x;$

2) $\frac{x}{2\sqrt{x}} = 1;$

3) $\frac{4x}{\sqrt{3x}} = 3;$

4) $x + \sqrt{x} = 12;$

5) $x + \sqrt{x - 4} = 6.$

1) Исходное уравнение: $3\sqrt{x} = 12x$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется из условия подкоренного выражения: $x \ge 0$.
Перенесем все члены в одну сторону: $12x - 3\sqrt{x} = 0$.
Один из корней очевиден: $x=0$. Подставим его в уравнение: $3\sqrt{0} = 12 \cdot 0$, что дает верное равенство $0=0$. Значит, $x_1=0$ является корнем.
Для поиска других корней предположим, что $x > 0$. Вынесем общий множитель $3\sqrt{x}$ за скобки:
$3\sqrt{x}(4\sqrt{x} - 1) = 0$.
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.
а) $3\sqrt{x} = 0 \implies \sqrt{x}=0 \implies x=0$. Этот корень мы уже нашли.
б) $4\sqrt{x} - 1 = 0 \implies 4\sqrt{x} = 1 \implies \sqrt{x} = \frac{1}{4}$.
Возведем обе части в квадрат: $x = (\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}$.
Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 0$).
Ответ: $x_1 = 0, x_2 = \frac{1}{16}$.

2) Исходное уравнение: $\frac{x}{2\sqrt{x}} = 1$.
ОДЗ: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель не должен быть равен нулю. $x \ge 0$ и $2\sqrt{x} \neq 0$. Объединяя эти условия, получаем $x > 0$.
При $x > 0$ мы можем представить $x$ как $(\sqrt{x})^2$.
Уравнение принимает вид: $\frac{(\sqrt{x})^2}{2\sqrt{x}} = 1$.
Сокращаем дробь на $\sqrt{x}$ (это возможно, так как $x > 0$, следовательно $\sqrt{x} \neq 0$):
$\frac{\sqrt{x}}{2} = 1$.
Умножим обе части на 2: $\sqrt{x} = 2$.
Возведем обе части в квадрат: $x = 4$.
Корень $x=4$ удовлетворяет ОДЗ ($4>0$).
Ответ: $x=4$.

3) Исходное уравнение: $\frac{4x}{\sqrt{3x}} = 3$.
ОДЗ: $3x > 0$, что означает $x > 0$.
Умножим обе части уравнения на $\sqrt{3x}$ (что допустимо, так как $\sqrt{3x} \neq 0$ в ОДЗ):
$4x = 3\sqrt{3x}$.
Так как $x>0$, левая часть ($4x$) положительна, правая часть ($3\sqrt{3x}$) также положительна. Мы можем возвести обе части в квадрат:
$(4x)^2 = (3\sqrt{3x})^2$
$16x^2 = 9 \cdot 3x$
$16x^2 = 27x$
Перенесем все в левую часть: $16x^2 - 27x = 0$.
Вынесем $x$ за скобки: $x(16x - 27) = 0$.
Получаем два возможных корня: $x=0$ или $16x-27=0$.
Корень $x=0$ не входит в ОДЗ ($x > 0$), поэтому он является посторонним.
Решаем второе уравнение: $16x = 27 \implies x = \frac{27}{16}$.
Корень $x=\frac{27}{16}$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x=\frac{27}{16}$.

4) Исходное уравнение: $x + \sqrt{x} = 12$.
ОДЗ: $x \ge 0$.
Это иррациональное уравнение. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x}$. Так как $\sqrt{x}$ по определению неотрицателен, то $t \ge 0$. Тогда $x = t^2$.
Подставим замену в исходное уравнение:
$t^2 + t = 12$
$t^2 + t - 12 = 0$
Мы получили квадратное уравнение относительно $t$. Решим его по теореме Виета. Ищем два числа, произведение которых равно -12, а сумма равна -1. Это числа -4 и 3.
$t_1 = -4$, $t_2 = 3$.
Возвращаемся к замене. У нас есть условие $t \ge 0$. Корень $t_1 = -4$ не удовлетворяет этому условию, поэтому он посторонний.
Остается один корень: $t_2 = 3$.
Выполняем обратную замену: $\sqrt{x} = 3$.
Возводим в квадрат: $x = 9$.
Корень $x=9$ удовлетворяет ОДЗ ($9 \ge 0$).
Проверка: $9 + \sqrt{9} = 9 + 3 = 12$. Верно.
Ответ: $x=9$.

5) Исходное уравнение: $x + \sqrt{x-4} = 6$.
ОДЗ: $x-4 \ge 0 \implies x \ge 4$.
Уединим радикал в одной части уравнения:
$\sqrt{x-4} = 6 - x$.
Левая часть уравнения ($\sqrt{x-4}$) по определению арифметического корня неотрицательна. Следовательно, и правая часть должна быть неотрицательной:
$6 - x \ge 0 \implies x \le 6$.
Объединяя это условие с ОДЗ, получаем, что корень (если он существует) должен находиться в промежутке $4 \le x \le 6$.
Теперь возведем обе части уравнения $\sqrt{x-4} = 6 - x$ в квадрат:
$(\sqrt{x-4})^2 = (6-x)^2$
$x - 4 = 36 - 12x + x^2$
Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 - 12x - x + 36 + 4 = 0$
$x^2 - 13x + 40 = 0$
Решим это уравнение. По теореме Виета, ищем два числа, произведение которых 40, а сумма 13. Это числа 5 и 8.
$x_1 = 5$, $x_2 = 8$.
Проверим найденные корни на соответствие условию $4 \le x \le 6$.
$x_1 = 5$ удовлетворяет этому условию ($4 \le 5 \le 6$).
$x_2 = 8$ не удовлетворяет этому условию, так как $8 > 6$. Значит, $x=8$ - посторонний корень.
Проверим корень $x=5$ подстановкой в исходное уравнение:
$5 + \sqrt{5-4} = 5 + \sqrt{1} = 5 + 1 = 6$. Верно.
Ответ: $x=5$.