Номер 44, страница 171 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

44. Решите уравнение:

1) $\frac{x^3 - 8}{2x - 4} = 12x - 18;$

2) $\frac{8x^3 + 27}{4x + 6} = 5x + 21;$

3) $\frac{x^4 - 625}{25 - x^2} = -8x - 90;$

4) $\frac{x^3 - 125}{x - 5} = 8x + 35.$

1) $\frac{x^3 - 8}{2x - 4} = 12x - 18$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен равняться нулю:
$2x - 4 \neq 0$
$2x \neq 4$
$x \neq 2$

Упростим левую часть уравнения. Разложим числитель по формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$, а в знаменателе вынесем общий множитель:
$\frac{x^3 - 2^3}{2(x - 2)} = \frac{(x-2)(x^2 + 2x + 4)}{2(x-2)}$

Сократим дробь на $(x-2)$, так как из ОДЗ мы знаем, что $x \neq 2$:
$\frac{x^2 + 2x + 4}{2}$

Теперь решим полученное уравнение:
$\frac{x^2 + 2x + 4}{2} = 12x - 18$
$x^2 + 2x + 4 = 2(12x - 18)$
$x^2 + 2x + 4 = 24x - 36$
$x^2 + 2x - 24x + 4 + 36 = 0$
$x^2 - 22x + 40 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 22$
$x_1 \cdot x_2 = 40$
Корни уравнения: $x_1 = 20$ и $x_2 = 2$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 2$). Корень $x_2=2$ является посторонним.
Ответ: $20$.

2) $\frac{8x^3 + 27}{4x + 6} = 5x + 21$

ОДЗ:
$4x + 6 \neq 0$
$4x \neq -6$
$x \neq -\frac{6}{4} \implies x \neq -1.5$

Упростим левую часть уравнения. Разложим числитель по формуле суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$:
$\frac{(2x)^3 + 3^3}{2(2x + 3)} = \frac{(2x+3)(4x^2 - 6x + 9)}{2(2x+3)}$

Сократим дробь на $(2x+3)$, так как $x \neq -1.5$:
$\frac{4x^2 - 6x + 9}{2}$

Решим полученное уравнение:
$\frac{4x^2 - 6x + 9}{2} = 5x + 21$
$4x^2 - 6x + 9 = 2(5x + 21)$
$4x^2 - 6x + 9 = 10x + 42$
$4x^2 - 16x - 33 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-16)^2 - 4(4)(-33) = 256 + 528 = 784 = 28^2$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 \pm 28}{2 \cdot 4} = \frac{16 \pm 28}{8}$
$x_1 = \frac{16 + 28}{8} = \frac{44}{8} = \frac{11}{2} = 5.5$
$x_2 = \frac{16 - 28}{8} = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2} = -1.5$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq -1.5$). Корень $x_2=-1.5$ является посторонним.
Ответ: $5.5$.

3) $\frac{x^4 - 625}{25 - x^2} = -8x - 90$

ОДЗ:
$25 - x^2 \neq 0$
$x^2 \neq 25 \implies x \neq 5$ и $x \neq -5$.

Упростим левую часть уравнения. Разложим числитель по формуле разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:
$\frac{(x^2)^2 - 25^2}{-(x^2 - 25)} = \frac{(x^2-25)(x^2+25)}{-(x^2-25)}$

Сократим дробь на $(x^2-25)$, так как $x^2 \neq 25$:
$-(x^2+25)$

Решим полученное уравнение:
$-(x^2+25) = -8x - 90$
$-x^2 - 25 = -8x - 90$
$x^2 - 8x - 90 + 25 = 0$
$x^2 - 8x - 65 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = (-8)^2 - 4(1)(-65) = 64 + 260 = 324 = 18^2$
$x_{1,2} = \frac{8 \pm 18}{2}$
$x_1 = \frac{8 + 18}{2} = \frac{26}{2} = 13$
$x_2 = \frac{8 - 18}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq \pm 5$). Корень $x_2=-5$ является посторонним.
Ответ: $13$.

4) $\frac{x^3 - 125}{x - 5} = 8x + 35$

ОДЗ:
$x - 5 \neq 0 \implies x \neq 5$

Упростим левую часть, разложив числитель по формуле разности кубов:
$\frac{x^3 - 5^3}{x - 5} = \frac{(x-5)(x^2 + 5x + 25)}{x-5}$

Сократим дробь на $(x-5)$, так как $x \neq 5$:
$x^2 + 5x + 25$

Решим полученное уравнение:
$x^2 + 5x + 25 = 8x + 35$
$x^2 + 5x - 8x + 25 - 35 = 0$
$x^2 - 3x - 10 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 3$
$x_1 \cdot x_2 = -10$
Корни уравнения: $x_1 = 5$ и $x_2 = -2$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 5$). Корень $x_1=5$ является посторонним.
Ответ: $-2$.