Номер 43, страница 171 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

43. Найдите корни уравнения:

1) $x^2 - 2|x| - 15 = 0;$

2) $x^2 - 12|x| + 2 = 0;$

3) $4|x| - x^2 - 2x + 8 = 0;$

4) $x^2 - 2|x - 1| - 15 = 0.$

1) Дано уравнение $x^2 - 2|x| - 15 = 0$.
Поскольку $x^2 = |x|^2$, мы можем переписать уравнение в виде:
$|x|^2 - 2|x| - 15 = 0$.
Это квадратное уравнение относительно $|x|$. Сделаем замену переменной: пусть $t = |x|$. Так как модуль числа не может быть отрицательным, $t \ge 0$.
Получаем уравнение:
$t^2 - 2t - 15 = 0$.
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а произведение равно -15. Корни: $t_1 = 5$ и $t_2 = -3$.
Проверим условие $t \ge 0$:
$t_1 = 5$ удовлетворяет условию $t \ge 0$.
$t_2 = -3$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому этот корень является посторонним.
Возвращаемся к исходной переменной:
$|x| = 5$.
Отсюда получаем два корня: $x_1 = 5$ и $x_2 = -5$.
Ответ: $x = \pm 5$.

2) Дано уравнение $x^2 - 12|x| + 2 = 0$.
Используя свойство $x^2 = |x|^2$, перепишем уравнение:
$|x|^2 - 12|x| + 2 = 0$.
Сделаем замену $t = |x|$, где $t \ge 0$.
$t^2 - 12t + 2 = 0$.
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 144 - 8 = 136$.
$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 \pm \sqrt{136}}{2} = \frac{12 \pm \sqrt{4 \cdot 34}}{2} = \frac{12 \pm 2\sqrt{34}}{2} = 6 \pm \sqrt{34}$.
Получаем два корня для $t$:
$t_1 = 6 + \sqrt{34}$ и $t_2 = 6 - \sqrt{34}$.
Оба корня положительны, так как $\sqrt{34}$ находится между $\sqrt{25}=5$ и $\sqrt{36}=6$, поэтому $6 - \sqrt{34} > 0$. Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.
Возвращаемся к переменной $x$:
1. $|x| = 6 + \sqrt{34}$, откуда $x = \pm(6 + \sqrt{34})$.
2. $|x| = 6 - \sqrt{34}$, откуда $x = \pm(6 - \sqrt{34})$.
Уравнение имеет четыре корня.
Ответ: $x = \pm(6 + \sqrt{34})$, $x = \pm(6 - \sqrt{34})$.

3) Дано уравнение $4|x| - x^2 - 2x + 8 = 0$.
Раскроем модуль, рассмотрев два случая.
Случай 1: $x \ge 0$.
В этом случае $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$4x - x^2 - 2x + 8 = 0$
$-x^2 + 2x + 8 = 0$
$x^2 - 2x - 8 = 0$.
По теореме Виета, корни этого уравнения $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.
Проверяем условие $x \ge 0$. Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет этому условию. Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет, поэтому он является посторонним для данного случая.
Случай 2: $x < 0$.
В этом случае $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$4(-x) - x^2 - 2x + 8 = 0$
$-4x - x^2 - 2x + 8 = 0$
$-x^2 - 6x + 8 = 0$
$x^2 + 6x - 8 = 0$.
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 36 + 32 = 68$.
$x = \frac{-6 \pm \sqrt{68}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{17}}{2} = -3 \pm \sqrt{17}$.
Получаем два корня: $x_3 = -3 + \sqrt{17}$ и $x_4 = -3 - \sqrt{17}$.
Проверяем условие $x < 0$.
Так как $\sqrt{17} > \sqrt{9} = 3$, то $x_3 = -3 + \sqrt{17} > 0$. Этот корень не удовлетворяет условию.
Корень $x_4 = -3 - \sqrt{17}$ очевидно отрицательный, поэтому он удовлетворяет условию $x < 0$.
Объединяя решения из обоих случаев, получаем два корня исходного уравнения.
Ответ: $x = 4$, $x = -3 - \sqrt{17}$.

4) Дано уравнение $x^2 - 2|x-1| - 15 = 0$.
Раскроем модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака выражения $x-1$.
Случай 1: $x - 1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$.
В этом случае $|x-1| = x-1$. Уравнение принимает вид:
$x^2 - 2(x-1) - 15 = 0$
$x^2 - 2x + 2 - 15 = 0$
$x^2 - 2x - 13 = 0$.
Решим это квадратное уравнение:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-13) = 4 + 52 = 56$.
$x = \frac{2 \pm \sqrt{56}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{14}}{2} = 1 \pm \sqrt{14}$.
Получаем два корня: $x_1 = 1 + \sqrt{14}$ и $x_2 = 1 - \sqrt{14}$.
Проверяем условие $x \ge 1$.
Корень $x_1 = 1 + \sqrt{14}$ удовлетворяет условию, так как $\sqrt{14} > 0$.
Корень $x_2 = 1 - \sqrt{14}$ не удовлетворяет условию, так как $\sqrt{14} > 1$, поэтому $1 - \sqrt{14} < 0$.
Случай 2: $x - 1 < 0$, то есть $x < 1$.
В этом случае $|x-1| = -(x-1) = 1-x$. Уравнение принимает вид:
$x^2 - 2(-(x-1)) - 15 = 0$
$x^2 + 2(x-1) - 15 = 0$
$x^2 + 2x - 2 - 15 = 0$
$x^2 + 2x - 17 = 0$.
Решим это квадратное уравнение:
$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-17) = 4 + 68 = 72$.
$x = \frac{-2 \pm \sqrt{72}}{2} = \frac{-2 \pm 6\sqrt{2}}{2} = -1 \pm 3\sqrt{2}$.
Получаем два корня: $x_3 = -1 + 3\sqrt{2}$ и $x_4 = -1 - 3\sqrt{2}$.
Проверяем условие $x < 1$.
Для $x_3 = -1 + 3\sqrt{2}$: поскольку $3\sqrt{2} = \sqrt{18}$, а $2 = \sqrt{4}$, то $3\sqrt{2} > 2$. Следовательно, $-1 + 3\sqrt{2} > 1$. Этот корень не удовлетворяет условию.
Для $x_4 = -1 - 3\sqrt{2}$: этот корень очевидно отрицательный, значит, он меньше 1 и удовлетворяет условию.
Объединяя решения из обоих случаев, получаем два корня исходного уравнения.
Ответ: $x = 1 + \sqrt{14}$, $x = -1 - 3\sqrt{2}$.