Номер 42, страница 171 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

42. Приведите пример уравнения вида $x^2 - a = 0$, которое:

1) имеет два целых корня;

2) имеет два рациональных корня;

3) имеет два иррациональных корня;

4) не имеет действительных корней.

Общий вид уравнения — $x^2 - a = 0$. Чтобы найти его корни, преобразуем уравнение к виду $x^2 = a$. Решениями (корнями) этого уравнения являются значения $x = \pm\sqrt{a}$. Характер корней (целые, рациональные, иррациональные или их отсутствие в множестве действительных чисел) зависит от значения параметра $a$.

1) имеет два целых корня
Чтобы корни уравнения $x = \pm\sqrt{a}$ были целыми, значение $a$ должно быть квадратом ненулевого целого числа (точным квадратом). Возьмем, к примеру, $a = 36$. Число 36 является квадратом целого числа 6 ($36 = 6^2$). Тогда уравнение примет вид: $x^2 - 36 = 0$. Его корни: $x^2 = 36$, откуда $x = \pm\sqrt{36}$. Получаем два целых корня: $x_1 = 6$ и $x_2 = -6$.
Ответ: $x^2 - 36 = 0$.

2) имеет два рациональных корня
Чтобы корни $x = \pm\sqrt{a}$ были рациональными, $a$ должно быть квадратом рационального числа. Заметим, что любой пример из пункта 1 также удовлетворяет этому условию, так как целые числа являются подмножеством рациональных. Чтобы показать более общий случай, выберем для $a$ квадрат дробного числа. Пусть $a = (1/5)^2 = 1/25$. Уравнение примет вид: $x^2 - 1/25 = 0$. Его корни: $x^2 = 1/25$, откуда $x = \pm\sqrt{1/25}$. Получаем два рациональных корня: $x_1 = 1/5$ и $x_2 = -1/5$.
Ответ: $x^2 - 1/25 = 0$.

3) имеет два иррациональных корня
Чтобы корни $x = \pm\sqrt{a}$ были иррациональными, число $a$ должно быть положительным, но не являться квадратом какого-либо рационального числа. Выберем в качестве $a$ простое положительное число, например, $a = 7$. Уравнение примет вид: $x^2 - 7 = 0$. Его корни: $x^2 = 7$, откуда $x = \pm\sqrt{7}$. Числа $\sqrt{7}$ и $-\sqrt{7}$ являются иррациональными.
Ответ: $x^2 - 7 = 0$.

4) не имеет действительных корней
Уравнение $x^2 = a$ не имеет действительных корней в том случае, если $a < 0$. Это связано с тем, что квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Выберем любое отрицательное значение для $a$, например, $a = -4$. Подставим в исходное уравнение: $x^2 - (-4) = 0$, что равносильно $x^2 + 4 = 0$. Отсюда $x^2 = -4$. В множестве действительных чисел нет числа, квадрат которого равен -4. Следовательно, у этого уравнения нет действительных корней.
Ответ: $x^2 + 4 = 0$.