Номер 37, страница 171 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Решите уравнения (37–41):

37. 1) $5\sqrt{x} = 15;$

2) $\frac{1}{2\sqrt{x}} = 1;$

3) $\frac{2}{\sqrt{3x}} = 1;$

4) $3 + \sqrt{3x} = 18;$

5) $\sqrt{x - 4} = 6.$

1) $5\sqrt{x} = 15$
Для решения уравнения сначала изолируем радикал. Разделим обе части уравнения на 5:
$\sqrt{x} = \frac{15}{5}$
$\sqrt{x} = 3$
Теперь, чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 = 3^2$
$x = 9$
Подкоренное выражение $x$ должно быть неотрицательным ($x \ge 0$), что выполняется для $x=9$.
Проверка: $5\sqrt{9} = 5 \cdot 3 = 15$. Равенство верно.
Ответ: $x=9$

2) $\frac{1}{2\sqrt{x}} = 1$
Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным ($x \ge 0$), а знаменатель не должен быть равен нулю ($2\sqrt{x} \neq 0$), что означает $x \neq 0$. Таким образом, ОДЗ: $x > 0$.
Умножим обе части уравнения на знаменатель $2\sqrt{x}$:
$1 = 2\sqrt{x}$
Разделим обе части на 2:
$\sqrt{x} = \frac{1}{2}$
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 = (\frac{1}{2})^2$
$x = \frac{1}{4}$
Полученное значение $x = \frac{1}{4}$ удовлетворяет ОДЗ ($x>0$).
Проверка: $\frac{1}{2\sqrt{1/4}} = \frac{1}{2 \cdot 1/2} = \frac{1}{1} = 1$. Равенство верно.
Ответ: $x=\frac{1}{4}$

3) $\frac{2}{\sqrt{3x}} = 1$
ОДЗ: подкоренное выражение и знаменатель не могут быть равны нулю, поэтому $3x > 0$, что означает $x > 0$.
Умножим обе части уравнения на $\sqrt{3x}$:
$2 = \sqrt{3x}$
Возведем обе части в квадрат:
$2^2 = (\sqrt{3x})^2$
$4 = 3x$
Разделим обе части на 3, чтобы найти $x$:
$x = \frac{4}{3}$
Значение $x = \frac{4}{3}$ удовлетворяет ОДЗ ($x>0$).
Проверка: $\frac{2}{\sqrt{3 \cdot (4/3)}} = \frac{2}{\sqrt{4}} = \frac{2}{2} = 1$. Равенство верно.
Ответ: $x=\frac{4}{3}$

4) $3 + \sqrt{3x} = 18$
ОДЗ: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, $3x \ge 0$, откуда $x \ge 0$.
Сначала изолируем радикал. Перенесем 3 из левой части в правую с противоположным знаком:
$\sqrt{3x} = 18 - 3$
$\sqrt{3x} = 15$
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{3x})^2 = 15^2$
$3x = 225$
Разделим обе части на 3:
$x = \frac{225}{3}$
$x = 75$
Значение $x = 75$ удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 0$).
Проверка: $3 + \sqrt{3 \cdot 75} = 3 + \sqrt{225} = 3 + 15 = 18$. Равенство верно.
Ответ: $x=75$

5) $\sqrt{x - 4} = 6$
ОДЗ: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, $x - 4 \ge 0$, откуда $x \ge 4$.
Радикал уже изолирован в левой части. Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x-4})^2 = 6^2$
$x - 4 = 36$
Перенесем -4 в правую часть уравнения:
$x = 36 + 4$
$x = 40$
Значение $x = 40$ удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 4$).
Проверка: $\sqrt{40 - 4} = \sqrt{36} = 6$. Равенство верно.
Ответ: $x=40$